Множення одночлена на многочлен: правило, знаки і рівняння з дужками — алгебра 7 клас

Приклад 1. Виконай множення $-2xy(3x^2-5xy+y^2)$

Розв'язання.

Спершу запишемо всі проміжні добутки. Одночлен $-2xy$ беремо в дужки, щоб не загубити його «мінус»:

1. 1)Множимо $-2xy$ на $3x^2$. Коефіцієнти:
   −2 · 3 = −6. Змінні:
   $x\cdot x^2=x^3$, а $y$ переписуємо. Виходить $-6x^3y$.
2. 2)Множимо $-2xy$ на $-5xy$. Коефіцієнти:
   (−2) · (−5) = 10, бо добуток двох від'ємних чисел додатний. Змінні:
   $x\cdot x=x^2$ і $y\cdot y=y^2$. Виходить $+10x^2y^2$.
3. 3)Множимо $-2xy$ на $y^2$. Коефіцієнт −2 не змінюється, бо коефіцієнт $y^2$ дорівнює 1. А $y\cdot y^2=y^3$. Виходить $-2xy^3$.

Коли правило вже зрозуміле, проміжні добутки пропускають і пишуть одразу відповідь:
$-2xy(3x^2-5xy+y^2)$
$=-6x^3y+10x^2y^2-2xy^3$.

Відповідь: $-6x^3y+10x^2y^2-2xy^3$.

Подивись на знаки. Коефіцієнт одночлена $-2xy$ дорівнює −2, тобто від'ємний, тому кожен добуток має знак, протилежний знаку свого члена многочлена: $+3x^2$ дав «мінус», а $-5xy$ дав «плюс». Так виходить, бо множення на від'ємне число змінює знак.

Якщо многочлен записано першим, а одночлен другим, множать так само, бо від перестановки множників добуток не змінюється:
$(x^2-4x)\cdot3x=3x^3-12x^2$.

Мішане число спершу перетворюють на неправильний дріб. Потім коефіцієнти множать, як у 6 класі:
$1\frac{1}{2}a\cdot\frac{2}{3}a=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}a^2=a^2$.

Якщо одночлени стоять і перед дужками, і після них, спершу перемнож ці одночлени:
$3a(a^2-b)\cdot b=3ab(a^2-b)$
$=3a^3b-3ab^2$.

Якщо показник містить букву $n$, показники так само додають:
$x^{n+2}\cdot x^n=x^{2n+2}$.

Приклад 2. Спрости вираз $4x(x-3)-2(x^2-5x)$

Розв'язання.

1. 1)Множимо $4x$ на кожен член двочлена:
   $4x\cdot x=4x^2$ і $4x\cdot(-3)=-12x$.
2. 2)Множимо 2 на кожен член другого двочлена і беремо добуток у дужки. Дужки потрібні, бо «мінус» стоїть перед усім добутком.
3. 3)Розкриваємо дужки. Перед ними «мінус», тому знаки обох членів змінюються:
   $2x^2$ стає $-2x^2$, а $-10x$ стає $+10x$.
4. 4)Зводимо подібні члени:
   4 − 2 = 2 і −12 + 10 = −2.

Відповідь: $2x^2-2x$.

Можна й одразу множити двочлен на −2, тобто на число разом із його знаком. Тоді $-2\cdot x^2=-2x^2$ і $-2\cdot(-5x)=+10x$, і вийде те саме.

Якщо треба ще й знайти значення виразу, спершу спрости його, а потім підстав число. Так обчислень менше.

Наприклад, знайдемо значення $2x^2-2x$ при $x=-\frac{1}{2}$. Спершу $x^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$. Тоді:
$2\cdot\frac{1}{4}-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1=1{,}5$.

Приклад 3. Доведи, що значення виразу $3a(a-2)-a(4a-6)-5$ від'ємне для будь-якого $a$

Доведення.

Спростимо вираз:

1. 1)Другий добуток дорівнює $4a^2-6a$. Перед ним «мінус», тому пишемо $-4a^2+6a$.
2. 2)Члени з $a^2$:
   3 − 4 = −1. Члени з $a$ знищуються:
   −6 + 6 = 0.
3. 3)Значення $a^2$ невід'ємне для будь-якого $a$, бо квадрат числа не буває від'ємним. Тому $-a^2$ не більше від нуля.
4. 4)Якщо від числа, не більшого за нуль, відняти 5, вийде число, не більше за −5. Отже, значення $-a^2-5$ від'ємне для будь-якого $a$.

Твердження доведено.

Якщо після спрощення лишилося саме число, значення виразу не залежить від змінної. Ось такий вираз дорівнює 4 для будь-якого $x$:
$x(x+4)-4(x-1)-x^2$
$=x^2+4x-4x+4-x^2=4$.

Якщо після спрощення вийшов 0, вираз тотожно дорівнює нулю. Його значення дорівнює нулю для будь-яких значень змінних.

Приклад 4. Розв'яжи рівняння $2x(x-4)-x(2x+1)=18$

Розв'язання.

Розкриємо дужки і зведемо подібні члени:

1. 1)Розкриваємо дужки. Перший добуток дорівнює $2x^2-8x$. Другий добуток дорівнює $2x^2+x$, а «мінус» перед ним дає $-2x^2-x$.
2. 2)Члени $2x^2$ і $-2x^2$ дають 0, бо 2 − 2 = 0. Члени з $x$:
   −8 − 1 = −9.
3. 3)Ділимо обидві частини на −9:
   18 : (−9) = −2.

Відповідь: −2.

Перевіримо підстановкою $x=-2$. Дужки дорівнюють −2 − 4 = −6 і 2 · (−2) + 1 = −3.
Ліва частина:
2 · (−2) · (−6) − (−2) · (−3) = 24 − 6 = 18. Вийшла права частина, тож корінь знайдено правильно.

Буває, що члени з $x^2$ стоять у різних частинах рівняння. Тоді член з $x^2$ переносять уліво зі зміною знака і зводять подібні. У вправах цього параграфа такі члени знищуються.

Так буває в завданні «Для якого значення $x$ добуток виразів $2x$ і $x-3$ дорівнює сумі виразів $2x^2$ і 12?». За словами умови записуємо рівняння $2x(x-3)=2x^2+12$.

Після розкриття дужок маємо $2x^2-6x=2x^2+12$. Члени $2x^2$ знищуються, тому $-6x=12$ і $x=-2$.

Приклад 5. Розв'яжи рівняння $\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{2x-1}{6}=\dfrac{x-5}{12}$

Розв'язання.

Найменший спільний знаменник чисел 4, 6 і 12 дорівнює 12. Помножимо на 12 обидві частини рівняння. Перший дріб помножиться на 12 : 4 = 3, другий — на 12 : 6 = 2, а третій — на 1.

1. 1)Кожен чисельник беремо в дужки. Чисельник $2x-1$ — це весь многочлен, тому на 2 множимо обидва його члени.
2. 2)Розкриваємо дужки:
   $-2(2x-1)=-4x+2$, бо (−2) · (−1) = 2.
3. 3)Переносимо доданки зі змінною вліво, а числа — вправо, змінюючи їхні знаки:
   3 − 4 − 1 = −2 і −5 − 9 − 2 = −16.
4. 4)Ділимо обидві частини на −2:
   −16 : (−2) = 8.

Відповідь: 8.

Перевіримо:
$\frac{11}{4}-\frac{15}{6}=\frac{11}{4}-\frac{10}{4}=\frac{1}{4}$ і $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Частини рівні.

Якщо в рівнянні є член без знаменника, наприклад $2x$, його теж множать на спільний знаменник. Після множення на 12 він стане $24x$.

Приклад 6. Розв'яжи задачу за допомогою рівняння

Зошит у клітинку коштує на 6 грн більше, ніж зошит у лінійку. За 5 зошитів у клітинку і 3 зошити в лінійку заплатили 190 грн. Скільки коштує кожен зошит?

Розв'язання.

Нехай зошит у лінійку коштує $x$ грн. Тоді зошит у клітинку коштує $x+6$ (грн). Запишемо дані в таблицю.

Разом заплатили 190 грн, тому маємо рівняння:

1. 1)Зошит у лінійку коштує 20 грн.
2. 2)Зошит у клітинку коштує 20 + 6 = 26 (грн).

Перевіримо:
5 · 26 + 3 · 20 = 130 + 60 = 190 (грн).

Відповідь: 20 грн і 26 грн.

Задачі про човен, що пливе за течією і проти течії, розв'язують так само. Нехай власна швидкість човна $x$ км/год, а швидкість течії 2 км/год. Тоді швидкість за течією дорівнює $x+2$, а проти течії $x-2$. Шлях, який човен пропливе за течією за 3 год, дорівнює $3(x+2)$.

Приклад 7. Знайди одночлен, який треба записати замість «зірочки», щоб справджувалася рівність

Рівність:
$*\cdot(2x-3y)=-6x^2y+9xy^2$.

Розв'язання.

1. 1)Перший член многочлена $2x$ після множення дав перший член добутку $-6x^2y$.
2. 2)Коефіцієнт шуканого одночлена:
   −6 : 2 = −3, бо 2 · (−3) = −6. Змінні: у $-6x^2y$ є $x^2$ і $y$, а в $2x$ лише один множник $x$. Тому в шуканому одночлені ще один множник $x$ і множник $y$. Отже, шуканий одночлен дорівнює $-3xy$.
3. 3)Перевіряємо другим членом:
   $-3xy\cdot(-3y)=9xy^2$. Це другий член добутку, тож одночлен знайдено правильно.

Відповідь: $-3xy$.

Перевірка другим членом обов'язкова. Якщо він не збігся, такого одночлена немає або помилку зроблено в першому кроці.

Буває, що «зірочки» стоять у дужках, а одночлен перед дужками відомий: $2a\cdot(*+*)=6a^2+10ab$. Тоді кожен член у дужках шукають окремо.

Для $6a^2$:
6 : 2 = 3, а $a\cdot a=a^2$, тому $2a\cdot3a=6a^2$. Для $10ab$:
10 : 2 = 5, а до $a$ треба дописати $b$, тому $2a\cdot5b=10ab$. Отже, у дужках стоїть $3a+5b$.