Ти навчишся перемножувати одночлени й підносити одночлен до степеня, не гублячи знаків і коефіцієнтів. А ще розберемо обернені завдання: як подати одночлен у вигляді квадрата і який одночлен поставити замість «зірочки».
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Множення одночленів
Одночлен — це добуток чисел, змінних і їхніх степенів. Тому добуток двох одночленів — теж один великий добуток.
У ньому можна переставляти й групувати множники, і значення від цього не зміниться. Це переставна і сполучна властивості множення.
Отже, під час множення одночленів ми збираємо разом усі числа, а потім степені кожної букви. Степені однакової букви множимо за правилом множення степенів з однаковими основами. За цим правилом показники додаємо:
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
Як перемножити одночлени
- Перемнож коефіцієнти разом з їхніми знаками. Якщо від'ємних множників непарна кількість, добуток від'ємний, а якщо парна, то додатний.
- Збери степені кожної букви й додай їхні показники. Буква без показника має показник 1, бо $y=y^1$.
- Букву, яка є лише в одному множнику, перепиши без змін. Її показник ні з чим додавати.
- Запиши відповідь у стандартному вигляді: спершу число, потім степені різних букв. Кожна буква стоїть лише один раз, бо однакові букви ти вже зібрав.
Приклад 1. Перемнож одночлени $-4a^2b^5$ і $6ab^3c$
Розв'язання.
| $-4a^2b^5\cdot6ab^3c$ |
| $=(-4\cdot6)(a^2a)(b^5b^3)c$ |
| $=-24a^3b^8c$ |
- 1)Перемножуємо коефіцієнти:
−4 · 6 = −24. Від'ємний множник один, тому добуток від'ємний. - 2)Збираємо степені $a$. Множник $a$ без показника — це $a^1$, тому показник дорівнює 2 + 1 = 3.
- 3)Збираємо степені $b$:
5 + 3 = 8. - 4)Буква $c$ є лише в другому одночлені, тому переходить у відповідь без змін.
Відповідь: $-24a^3b^8c$.
Так само множать одночлени з десятковими коефіцієнтами. Якщо добуток коефіцієнтів дорівнює −1, пишуть лише мінус, бо $-1\cdot x^3y=-x^3y$. Наприклад, 0,4 · (−2,5) = −1, тому
$0{,}4x\cdot(-2{,}5x^2y)=-x^3y$.
Приклад 2. Знайди добуток одночленів $-\dfrac{4}{5}m^2n$, $\dfrac{5}{6}mn^3$ і $-3n^2$
Розв'язання.
Трьох одночленів не треба множити по два. Усі числа збираємо в одні дужки, а степені кожної букви — в інші.
| $-\dfrac{4}{5}m^2n\cdot\dfrac{5}{6}mn^3\cdot(-3n^2)$ |
| $=\left(-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot(-3)\right)(m^2m)(nn^3n^2)$ |
| $=2m^3n^6$ |
- 1)Визначаємо знак. Від'ємних множників два, а це парна кількість, тому добуток додатний.
- 2)Перемножуємо дроби. Ціле число 3 вважаємо дробом $\dfrac{3}{1}$, тому воно потрапляє в чисельник. Спершу скорочуємо 5 і 5, а потім 3 і 6:
$\dfrac{4\cdot5\cdot3}{5\cdot6}=\dfrac{4}{2}=2$. - 3)Збираємо степені $m$:
2 + 1 = 3. Збираємо степені $n$:
1 + 3 + 2 = 6.
Відповідь: $2m^3n^6$.
Піднесення одночлена до степеня
Одночлен — це добуток, тому до степеня його підносять за правилом піднесення добутку до степеня: $(ab)^n=a^nb^n$. До степеня підносять кожен множник, і коефіцієнт теж. Степінь букви підносять до степеня за правилом $(a^m)^n=a^{mn}$, тобто показники множать.
Як піднести одночлен до степеня
- Піднеси до степеня коефіцієнт разом з його знаком. Від'ємне число в парному степені дає додатне число, а в непарному степені воно дає від'ємне.
- Показник кожної букви помнож на показник степеня. Буква без показника отримує саме показник степеня, бо $y=y^1$.
- Якщо перед буквами стоїть лише мінус, запиши його як множник −1. Так знак не загубиться.
Приклад 3. Піднеси до куба одночлен $-3a^2b^4$
Розв'язання.
| $(-3a^2b^4)^3=(-3)^3(a^2)^3(b^4)^3$ |
| $=-27a^6b^{12}$ |
- 1)Підносимо до куба коефіцієнт:
(−3)³ = −27. Показник 3 непарний, тому результат від'ємний. - 2)Множимо показники букв на 3:
2 · 3 = 6 і 4 · 3 = 12.
Відповідь: $-27a^6b^{12}$.
Якщо коефіцієнт дорівнює −1, його виписують явно:
$(-x^3y)^4=(-1)^4(x^3)^4y^4=x^{12}y^4$. Показник 4 парний, тому мінус зникає.
Додавати чи множити показники? Розпиши!
Найлегше переплутати два правила: у добутку степенів з однаковою основою показники додають, а в степені степеня множать. Якщо сумніваєшся, розпиши степінь множенням. Тоді видно, скільки букв стоїть насправді.
| вираз | розписуємо | результат |
|---|---|---|
| $x^3\cdot x^2$ | $(xxx)(xx)$ — 5 множників $x$ | $x^5$, показники додали |
| $(x^2)^3$ | $x^2\cdot x^2\cdot x^2$ — 6 множників $x$ | $x^6$, показники помножили |
| $(2a^2b)^3$ | $2a^2b\cdot2a^2b\cdot2a^2b$ | $8a^6b^3$ |
В останньому рядку двійка теж стоїть тричі. Тому коефіцієнт підносять до куба:
2 · 2 · 2 = 8.
Приклад 4. Спрости вираз $\left(-\dfrac{1}{2}a^2b\right)^3\cdot6ab^4$
Розв'язання.
Тут дві дії: піднесення до степеня і множення. Спершу виконуємо піднесення до степеня, бо в порядку дій воно йде раніше за множення.
| $\left(-\dfrac{1}{2}a^2b\right)^3\cdot6ab^4$ |
| $=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3(a^2)^3b^3\cdot6ab^4$ |
| $=-\dfrac{1}{8}a^6b^3\cdot6ab^4$ |
| $=\left(-\dfrac{1}{8}\cdot6\right)(a^6a)(b^3b^4)$ |
| $=-\dfrac{3}{4}a^7b^7$ |
- 1)Підносимо до куба дріб:
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3=-\dfrac{1}{8}$. Чисельник і знаменник підносимо до куба окремо, а знак лишається мінусом, бо показник непарний. - 2)Множимо показники букв на 3:
$(a^2)^3=a^6$ і $b^3$. - 3)Перемножуємо коефіцієнти:
$-\dfrac{1}{8}\cdot6=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$. - 4)Додаємо показники:
6 + 1 = 7 для $a$ і 3 + 4 = 7 для $b$.
Відповідь: $-\dfrac{3}{4}a^7b^7$.
Якщо коефіцієнт вийшов неправильним дробом, його можна записати мішаним числом:
$-\dfrac{16}{3}=-5\dfrac{1}{3}$.
Добуток двох степенів одночленів спрощують так само. Спершу кожен одночлен підносять до свого степеня, а потім перемножують результати.
Обернені завдання
Приклад 5. Подай одночлен $49a^6b^{10}$ у вигляді квадрата одночлена
Розв'язання.
Шукаємо одночлен, який у квадраті дає $49a^6b^{10}$. Під час піднесення до квадрата показники множаться на 2. Тому тепер ділимо їх на 2, а для коефіцієнта шукаємо число, квадрат якого дорівнює 49.
- 1)Коефіцієнт:
49 = 7², тому коефіцієнт шуканого одночлена дорівнює 7. - 2)Показники:
6 : 2 = 3, тому $a^6=(a^3)^2$; 10 : 2 = 5, тому $b^{10}=(b^5)^2$.
| $49a^6b^{10}=7^2(a^3)^2(b^5)^2$ |
| $=(7a^3b^5)^2$ |
Відповідь: $(7a^3b^5)^2$.
Правильний і другий варіант:
$(-7a^3b^5)^2=49a^6b^{10}$, бо квадрат від'ємного числа додатний. Якщо треба знайти одночлен у дужках у рівності «$(\ \ldots\ )^2=49a^6b^{10}$», записують обидва.
Куб подають так само, але показники ділять на 3. Варіант тут лише один, бо куб зберігає знак:
$-64x^9y^3=(-4x^3y)^3$.
Для іншого степеня показники ділять на показник цього степеня. Якщо показник парний, варіантів два, як для квадрата. Якщо непарний, варіант один, як для куба.
Буває, що вираз треба подати у вигляді добутку числа 5 і квадрата одночлена. Тоді коефіцієнт ділять на 5, а частку подають у вигляді квадрата. Наприклад, 20 : 5 = 4, тому
$20c^4d^2=5\cdot4c^4d^2=5\cdot(2c^2d)^2$.
Приклад 6. Знайди одночлен стандартного вигляду, який треба записати замість «зірочки»: $*\cdot3a^2b=12a^5b^3$
Розв'язання.
Невідомий одночлен помножили на $3a^2b$ і отримали $12a^5b^3$. Під час множення коефіцієнти перемножуються, а показники додаються. Тому тепер коефіцієнти ділимо, а показники віднімаємо.
- 1)Коефіцієнт:
12 : 3 = 4. - 2)Показник $a$:
5 − 2 = 3. - 3)Показник $b$:
3 − 1 = 2. Тут віднімаємо 1, бо в множнику $3a^2b$ буква $b$ стоїть без показника, тобто $b=b^1$.
Перевіряємо множенням:
$4a^3b^2\cdot3a^2b=12a^5b^3$. Вийшла права частина, отже, одночлен знайдено правильно.
Відповідь: $4a^3b^2$.
Якщо показники букви однакові, після віднімання виходить 0, і цієї букви в шуканому одночлені немає. Наприклад, у рівності $*\cdot(-6x^2y)=2x^2y^4$ шуканий одночлен дорівнює $-\dfrac{1}{3}y^3$.
Його коефіцієнт дорівнює $2:(-6)=-\dfrac{1}{3}$. Показник $x$ дорівнює 2 − 2 = 0, а показник $y$ дорівнює 4 − 1 = 3.
Буває, що жодного множника не дано і треба записати одночлен як добуток двох різними способами. Тоді один множник обирають самі, а другий знаходять, як у прикладі 6.
Показники обраного множника не мають бути більшими за показники одночлена із завдання, бо інакше при відніманні вийде від'ємне число. Наприклад:
| $-12m^2n^5=3mn^2\cdot(-4mn^3)$ |
| $-12m^2n^5=-2m^2\cdot6n^5$ |
Приклад 7. Відомо, що $2xy^3=5$. Знайди значення виразу $-4x^2y^6$
Розв'язання.
Значень $x$ і $y$ ми не знаємо. Тому спробуємо записати вираз через одночлен $2xy^3$, значення якого відоме.
Коефіцієнт 4 дорівнює 2², а показники 2 і 6 удвічі більші за 1 і 3. Отже, тут є квадрат одночлена $2xy^3$.
| $-4x^2y^6=-(2xy^3)^2$ |
| $=-5^2=-25$ |
Мінус стоїть перед квадратом, тому до квадрата його не підносять.
Відповідь: −25.
Так само знаходять значення куба цього одночлена: $8x^3y^9=(2xy^3)^3=5^3=125$.
Буває, що показники ті самі, а коефіцієнт інший, як у виразі $3xy^3$. Тоді спершу ділимо на коефіцієнт: з $2xy^3=5$ маємо $xy^3=5:2=2{,}5$. Потім множимо на новий коефіцієнт:
$3xy^3=3\cdot2{,}5=7{,}5$.
Показники з буквою n
Показник степеня може бути виразом з буквою $n$, де $n$ — натуральне число. Правила від цього не змінюються: у добутку степенів з однаковою основою показники додають, а під час піднесення до степеня множать.
Наприклад, $a^{n+2}\cdot a^{n+1}=a^{2n+3}$, бо $(n+2)+(n+1)=2n+3$. А $(a^{2n-1})^2=a^{4n-2}$, бо $(2n-1)\cdot2=4n-2$.
Як перевірити себе
- Розпиши, якщо сумніваєшся в показнику. Запис $(x^2)^3=x^2\cdot x^2\cdot x^2$ одразу показує, що показники треба множити. Так ти не переплутаєш правило множення з правилом піднесення до степеня.
- Визнач знак окремо. У добутку порахуй від'ємні множники: непарна кількість дає мінус. У степені подивись на показник: парний показник дає плюс, а непарний зберігає знак коефіцієнта.
- Підстав замість букв невеликі числа. Обчисли значення виразу із завдання і своєї відповіді для тих самих чисел, наприклад для $a=2$ і $b=-3$. Значення мають збігтися, бо перетворення не змінює значення виразу. Числа 1 і −1 не бери: будь-який їхній степінь дорівнює 1 або −1, і помилки в показнику не буде видно.
- Перевір обернену дію множенням. Знайдений одночлен постав замість «зірочки» чи в дужки й виконай дію. Має вийти той одночлен, який дано в умові.
Де найчастіше помиляються
1. Під час множення показники перемножили
Завдання: перемножити одночлени $2x^3$ і $5x^2$.
Неправильно
| $2x^3\cdot5x^2=10x^{\color{#a72727}{6}}$ |
Правильно
| $2x^3\cdot5x^2=10x^{\color{#176b3a}{5}}$ |
Що сталося: показники 3 і 2 перемножили, як у степені степеня. А тут множать два степені з однаковою основою, тому показники додають: 3 + 2 = 5.
Як помітити: розпиши: $x^3\cdot x^2=(xxx)(xx)$, це п'ять множників $x$.
2. Коефіцієнт не піднесли до степеня
Завдання: піднести до куба одночлен $2a^2b$.
Неправильно
| $(2a^2b)^3={\color{#a72727}{2}}a^6b^3$ |
Правильно
| $(2a^2b)^3={\color{#176b3a}{8}}a^6b^3$ |
Що сталося: до степеня піднесли лише букви. Але коефіцієнт теж є множником одночлена, тому 2³ = 8.
Як помітити: перед тим як писати відповідь, піднеси до степеня кожен множник у дужках, починаючи з числа.
3. Під час піднесення до степеня показники додали
Завдання: піднести до куба одночлен $-a^4b$.
Неправильно
| $(-a^4b)^3=-a^{\color{#a72727}{7}}b^3$ |
Правильно
| $(-a^4b)^3=-a^{\color{#176b3a}{12}}b^3$ |
Що сталося: показники 4 і 3 додали, як у добутку. А тут $a^4$ береться множником тричі, тому показники множать: 4 · 3 = 12.
Як помітити: якщо показник стоїть над дужками, показник кожної букви в дужках множать на число над дужками.
4. Загубили мінус, який стоїть перед степенем
Завдання: спростити вираз $-(-m^2n^3)^4$.
Неправильно
| $-(-m^2n^3)^4={\color{#a72727}{m^8n^{12}}}$ |
Правильно
| $-(-m^2n^3)^4={\color{#176b3a}{-m^8n^{12}}}$ |
Що сталося: мінус у дужках у четвертому степені справді зникає, бо показник парний. Але мінус перед дужками до степеня не підносять, тому він лишається у відповіді.
Як помітити: спершу знайди степінь у дужках, $(-m^2n^3)^4=m^8n^{12}$. Потім допиши мінус, який стояв перед дужками.
Спробуй сам
- Перемнож одночлени: $-5x^3y\cdot4xy^2$.
- Знайди добуток: $\dfrac{3}{8}a^2b\cdot\left(-\dfrac{2}{3}ab^4\right)\cdot(-4b)$.
- Перемнож одночлени: $1{,}2m^2n\cdot(-0{,}5mn)$.
- Піднеси до степеня: $(-2x^3y^2)^5$.
- Піднеси до степеня: $(-a^2b^5)^6$.
- Спрости вираз: $\left(\dfrac{1}{3}p^4q\right)^2\cdot18pq^3$.
- Спрости вираз: $-(-c^3d)^4\cdot(2cd^2)^3$.
- Подай у вигляді квадрата одночлена: $81x^4y^{12}$.
- Подай у вигляді куба одночлена: $-27a^6b^9$.
- Який одночлен треба записати замість «зірочки»: $*\cdot(-5mn^2)=20m^4n^5$?
- Подай вираз $45k^6p^2$ у вигляді добутку числа 5 і квадрата одночлена.
- Відомо, що $4ab=3$. Знайди значення виразу $-16a^2b^2$.
- Відомо, що $4ab=3$. Знайди значення виразу $2ab$.
- Спрости вираз, де $n$ — натуральне число: $(x^{2n})^3\cdot x^n$.
Перевірити відповіді
- $-20x^4y^3$.
- $a^3b^6$.
- $-0{,}6m^3n^2$.
- $-32x^{15}y^{10}$.
- $a^{12}b^{30}$.
- $2p^9q^5$.
- $-8c^{15}d^{10}$.
- $(9x^2y^6)^2$. Правильний і варіант $(-9x^2y^6)^2$.
- $(-3a^2b^3)^3$.
- $-4m^3n^3$.
- $5\cdot(3k^3p)^2$.
- −9.
- 1,5.
- $x^{7n}$.
Повне розв'язання завдання 7
| $-(-c^3d)^4\cdot(2cd^2)^3$ |
| $=-c^{12}d^4\cdot8c^3d^6$ |
| $=-8c^{15}d^{10}$ |
- 1)Підносимо до степеня кожен одночлен:
$(-c^3d)^4=c^{12}d^4$, бо показник 4 парний. Мінус перед дужками лишається. А $(2cd^2)^3=8c^3d^6$. - 2)Перемножуємо:
−1 · 8 = −8, показник $c$ дорівнює 12 + 3 = 15, а показник $d$ дорівнює 4 + 6 = 10.
Повне розв'язання завдання 10
Коефіцієнт:
20 : (−5) = −4. Показник $m$:
4 − 1 = 3. Показник $n$:
5 − 2 = 3.
Перевірка:
$-4m^3n^3\cdot(-5mn^2)=20m^4n^5$.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що показники додали замість того, щоб їх помножити, або забули піднести до степеня коефіцієнт.
Для батьків
Запитайте дитину, чому $x^3\cdot x^2=x^5$, а $(x^3)^2=x^6$. Добре, якщо вона розпише обидва вирази множенням і порахує букви $x$.
Попросіть піднести до квадрата $3a$. Якщо дитина відповіла $3a^2$, нагадайте, що число 3 теж множник, тому $(3a)^2=9a^2$.
Хай дитина перевірить відповідь підстановкою, наприклад для $a=2$. Тоді $(3\cdot2)^2=36$ і $9\cdot2^2=36$. Значення збіглися, тож помилки не видно.