Ти навчишся множити й ділити степені з однаковими основами, підносити до степеня степінь і добуток. А ще розберемо, як ці формули допомагають швидко обчислювати й порівнювати великі степені.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Множення степенів з однаковими основами
Степінь — це добуток однакових множників. Тому добуток двох степенів з однаковою основою можна розписати і порахувати множники:
$a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)\cdot(a\cdot a)=a^5$
Степінь $a^3$ дає три множники $a$, а степінь $a^2$ дає ще два такі множники. Разом виходить п'ять множників $a$, тому показник результату дорівнює 3 + 2 = 5.
Для будь-якого числа $a$ і натуральних чисел $m$ і $n$ правильна рівність $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. Її називають основною властивістю степеня.
Правило множення степенів: щоб помножити степені з однаковими основами, основу залишають тією самою, а показники додають.
Правило діє і для трьох та більше множників: $a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n+k}$. Основою може бути від'ємне число чи вираз у дужках. Наприклад, $(-7)^3\cdot(-7)^4=(-7)^7$, а $(a+b)^3(a+b)^5=(a+b)^8$.
Показником може бути й буква: $x^n\cdot x^3=x^{n+3}$. Формулу можна читати і справа наліво. Тоді $x^{12}$ можна записати, наприклад, як добуток $x^5\cdot x^7$, бо 5 + 7 = 12.
Сумніваєшся, додавати показники чи множити? Перевір правило на малих числах.
Наприклад, $2^2\cdot2^3=4\cdot8=32$, а $2^5$ теж дорівнює 32. Якби показники множили, вийшло б $2^6=64$, а це вже інше число.
Приклад 1. Подай у вигляді степеня добуток $x^4\cdot x\cdot x^6$
Розв'язання.
| $x^4\cdot x\cdot x^6=x^4\cdot x^1\cdot x^6$ |
| $=x^{4+1+6}=x^{11}$ |
- 1)У другого множника показника не видно. Він дорівнює 1, бо $x^1=x$. Запишемо його явно, щоб не загубити.
- 2)Основи однакові, тому основу $x$ лишаємо, а показники додаємо:
4 + 1 + 6 = 11.
Відповідь: $x^{11}$.
Ділення степенів з однаковими основами
Ділення перевіряють множенням. З попереднього розділу відомо, що $a^2\cdot a^3=a^5$. Тому $a^5:a^3=a^2$, і показник частки дорівнює 5 − 3 = 2.
Якщо $a\ne0$, а $m$ і $n$ — натуральні числа і $m\gt n$, то $a^m:a^n=a^{m-n}$.
Правило ділення степенів: щоб поділити степінь на степінь з тією самою основою, основу залишають тією самою. Від показника діленого віднімають показник дільника.
Основа не може дорівнювати нулю, бо на нуль ділити не можна. Якщо у дільника показника не видно, він дорівнює 1: $m^9:m=m^9:m^1=m^8$.
Приклад 2. Обчисли $\dfrac{1{,}2^{10}}{1{,}2^8}$
Розв'язання.
Риска дробу означає ділення. Підносити 1,2 до десятого степеня довго, тому спершу поділимо степені за правилом.
$\dfrac{1{,}2^{10}}{1{,}2^8}=1{,}2^{10-8}=1{,}2^2=1{,}44$
- 1)Основи однакові, тому віднімаємо показники:
10 − 8 = 2. - 2)Обчислюємо квадрат:
1,2 · 1,2 = 1,44.
Так само ділять степені мішаного числа:
$\left(2\dfrac{1}{2}\right)^5:\left(2\dfrac{1}{2}\right)^3=\left(2\dfrac{1}{2}\right)^2$. Щоб обчислити цей квадрат, мішане число спершу перетворюють на неправильний дріб:
$\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{5\cdot5}{2\cdot2}=\dfrac{25}{4}=6\dfrac{1}{4}$.
Відповідь: 1,44.
Піднесення степеня до степеня
Вираз $(a^4)^3$ — це степінь, основа якого сама є степенем. Показник 3 означає три однакові множники $a^4$:
$(a^4)^3=a^4\cdot a^4\cdot a^4=a^{4+4+4}=a^{12}$
Ми тричі додали число 4, тобто помножили 4 на 3. Тому показник результату дорівнює 4 · 3 = 12.
Для будь-якого числа $a$ і натуральних чисел $m$ і $n$ правильна рівність $(a^m)^n=a^{mn}$.
Правило піднесення степеня до степеня: основу залишають тією самою, а показники перемножують.
Якщо степінь кілька разів підносять до степеня, перемножують усі показники: $((p^2)^3)^4=p^{2\cdot3\cdot4}=p^{24}$.
Приклад 3. Спрости вираз $(x^5)^3:x^7$
Розв'язання.
| $(x^5)^3:x^7=x^{5\cdot3}:x^7=x^{15}:x^7$ |
| $=x^{15-7}=x^8$ |
- 1)Спершу підносимо степінь до степеня. Показники перемножуємо:
5 · 3 = 15. - 2)Тепер ділимо степені з однаковою основою. Показники віднімаємо:
15 − 7 = 8.
Піднесення до степеня виконують раніше за ділення. Тому дію з дужками робимо першою.
Відповідь: $x^8$.
Піднесення добутку до степеня
Розпишемо степінь добутку і згрупуємо однакові множники. Переставляти множники можна, бо від цього добуток не змінюється:
| $(ab)^3=ab\cdot ab\cdot ab$ |
| $=(a\cdot a\cdot a)\cdot(b\cdot b\cdot b)=a^3b^3$ |
Для будь-яких чисел $a$ і $b$ та натурального числа $n$ правильна рівність $(ab)^n=a^nb^n$. Вона діє і для трьох та більше множників: $(abc)^n=a^nb^nc^n$.
Правило піднесення добутку до степеня: до цього степеня підносять кожний множник, а отримані результати перемножують.
Числовий множник теж підносять до степеня, разом з його знаком. Якщо показник парний, результат додатний, бо від'ємні множники розбиваються на пари: $(-3x)^2=(-3)^2x^2=9x^2$.
Приклад 4. Піднеси до степеня $(-0{,}5mn)^3$
Розв'язання.
| $(-0{,}5mn)^3=(-0{,}5)^3m^3n^3$ |
| $=-0{,}125m^3n^3$ |
- 1)У дужках три множники: −0,5, $m$ і $n$. До куба підносимо кожен із них.
- 2)Показник 3 непарний, тому куб від'ємного числа від'ємний:
(−0,5)³ = −(0,5 · 0,5 · 0,5) = −0,125.
Відповідь: $-0{,}125m^3n^3$.
Формули справа наліво
Кожну з чотирьох рівностей можна читати в обидва боки. Зліва направо вони спрощують вирази, а справа наліво допомагають обчислювати й порівнювати.
| зліва направо | справа наліво |
|---|---|
| $a^ma^n=a^{m+n}$ | $a^{m+n}=a^ma^n$ |
| $a^m:a^n=a^{m-n}$ | $a^{m-n}=a^m:a^n$ |
| $(a^m)^n=a^{mn}$ | $a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$ |
| $(ab)^n=a^nb^n$ | $a^nb^n=(ab)^n$ |
Як вибрати правило
- Подивись на основи. Якщо вони однакові, а степені перемножують чи ділять, працюй з показниками: при множенні їх додають, а при діленні віднімають.
- Якщо степінь стоїть у дужках під іншим показником, перемнож показники. Ця дія йде першою, бо піднесення до степеня виконують раніше за множення й ділення.
- Якщо в дужках під показником стоїть добуток, піднеси до степеня кожен його множник, зокрема число зі знаком.
- Якщо основи різні, спробуй записати їх через одне число. Наприклад, 4 = 2² і 8 = 2³, тому обидва числа є степенями двійки.
- Якщо показники однакові, а основи різні, перемнож основи за формулою $a^nb^n=(ab)^n$. Це вигідно, коли добуток основ є зручним числом, наприклад 1, 2 чи 10. Степінь такого числа легко обчислити.
Приклад 5. Подай вираз $-8a^3b^6$ у вигляді степеня
Розв'язання.
Множник $a^3$ уже є кубом. Спробуємо також подати решту множників у вигляді кубів.
| $-8a^3b^6=(-2)^3a^3(b^2)^3$ |
| $=(-2ab^2)^3$ |
- 1)Число −8 записуємо кубом:
(−2)³ = −8. Куб від'ємного числа від'ємний, тому основа −2 дає саме знак «мінус». - 2)Множник $b^6$ записуємо кубом, бо $(b^2)^3=b^{2\cdot3}=b^6$.
- 3)Усі три множники тепер мають показник 3. Тому за формулою $a^nb^nc^n=(abc)^n$ збираємо їх в один куб.
Так само $a^5b^5=(ab)^5$, а $m^2n^2=(mn)^2$. Добуток степенів з однаковими показниками стає степенем добутку.
Відповідь: $(-2ab^2)^3$.
Приклад 6. Обчисли $4^7\cdot0{,}25^6$
Розв'язання.
Добуток 4 · 0,25 дорівнює 1, але показники різні. Тому спершу відокремимо від $4^7$ один множник 4, щоб показники стали однаковими.
| $4^7\cdot0{,}25^6=4^6\cdot4\cdot0{,}25^6$ |
| $=(4\cdot0{,}25)^6\cdot4=1^6\cdot4=4$ |
- 1)Розкладаємо $4^7=4^6\cdot4$, бо 6 + 1 = 7.
- 2)Степені $4^6$ і $0{,}25^6$ мають однаковий показник. За формулою $a^nb^n=(ab)^n$ записуємо їх як $(4\cdot0{,}25)^6$.
- 3)Обчислюємо:
4 · 0,25 = 1, а будь-який степінь одиниці дорівнює 1.
Так само обчислюють добуток, у якому один із множників є дробом. Наприклад, $\left(\dfrac{1}{3}\right)^5\cdot6^5=\left(\dfrac{1}{3}\cdot6\right)^5=2^5=32$.
Відповідь: 4.
Приклад 7. Обчисли $\dfrac{4^5\cdot8^2}{2^{13}}$
Розв'язання.
Основи 4, 8 і 2 різні, але 4 і 8 є степенями двійки. Запишемо все через основу 2.
| $\dfrac{4^5\cdot8^2}{2^{13}}=\dfrac{(2^2)^5\cdot(2^3)^2}{2^{13}}=\dfrac{2^{10}\cdot2^6}{2^{13}}$ |
| $=\dfrac{2^{16}}{2^{13}}=2^3=8$ |
- 1)Замінюємо 4 = 2² і 8 = 2³. Перемножуємо показники:
$(2^2)^5=2^{10}$ і $(2^3)^2=2^6$. - 2)У чисельнику множимо степені:
10 + 6 = 16. - 3)Ділимо на знаменник:
16 − 13 = 3, а $2^3=8$.
Відповідь: 8.
Приклад 8. Обчисли $\dfrac{12^4}{2^7\cdot3^3}$
Розв'язання.
Число 12 не є степенем ні двійки, ні трійки. Але його можна розкласти на прості множники: 12 = 2² · 3. Тоді $12^4$ підносимо до степеня як добуток.
| $\dfrac{12^4}{2^7\cdot3^3}=\dfrac{(2^2\cdot3)^4}{2^7\cdot3^3}=\dfrac{2^8\cdot3^4}{2^7\cdot3^3}$ |
| $=2^{8-7}\cdot3^{4-3}=2\cdot3=6$ |
- 1)Підносимо добуток до степеня. Кожен множник беремо в четвертому степені:
$(2^2)^4=2^8$ і $3^4$. - 2)Ділимо степені двійки окремо і степені трійки окремо:
$2^8:2^7=2$ і $3^4:3^3=3$. - 3)Перемножуємо результати:
2 · 3 = 6.
Відповідь: 6.
Буває, що в чисельнику і знаменнику стоїть той самий степінь, наприклад $\dfrac{2\cdot5^3}{5^3}$. Тоді дріб скорочують на цей степінь, і він зникає: $\dfrac{2\cdot5^3}{5^3}=2$.
Якщо ж показник більший у знаменнику, степінь залишається в знаменнику. Наприклад, $\dfrac{2^3}{2^5}=\dfrac{2^3}{2^3\cdot2^2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$.
Приклад 9. Знайди значення $x$, для якого правильна рівність $5^x\cdot5^3=5^{10}$
Розв'язання.
| $5^x\cdot5^3=5^{x+3}$ |
| $5^{x+3}=5^{10}$ |
| $x+3=10$ |
| $x=7$ |
- 1)Ліву частину записуємо одним степенем. Основи однакові, тому показники додаємо.
- 2)Тепер обидві частини є степенями числа 5. Що більший показник, то більший степінь числа 5, тому однакові степені мають однакові показники: $x+3=10$.
- 3)Розв'язуємо рівняння:
$x=10-3=7$.
Перевірка:
$5^7\cdot5^3=5^{7+3}=5^{10}$. Завдання із «зірочкою» замість степеня розв'язують так само: у $a^3\cdot{*}=a^{10}$ зірочка дорівнює $a^7$.
Відповідь: $x=7$.
Приклад 10. Порівняй значення виразів $3^{30}$ і $5^{20}$
Розв'язання.
Основи й показники різні, а обчислювати значення таких великих степенів довго. Показники 30 і 20 обидва діляться на 10. Тому запишемо обидва степені з показником 10.
| $3^{30}=(3^3)^{10}=27^{10}$ |
| $5^{20}=(5^2)^{10}=25^{10}$ |
| $27^{10}\gt25^{10}$ |
- 1)Число 30 дорівнює 3 · 10. Тому $3^{30}=(3^3)^{10}$, а $3^3=27$.
- 2)Так само 20 = 2 · 10. Тому $5^{20}=(5^2)^{10}$, а $5^2=25$.
- 3)Тепер у степенів однаковий показник 10. Кожен із них є добутком десяти однакових додатних множників, і більший той, у якого більший множник. Число 27 більше за 25, тому $27^{10}\gt25^{10}$.
Відповідь: $3^{30}\gt5^{20}$.
Як перевірити себе
- Перевір правило на малих числах. Якщо не пам'ятаєш, додавати показники чи множити, візьми основу 2 і маленькі показники. Наприклад, $(2^2)^3=4^3=64$, і $2^6$ теж дорівнює 64. Отже, при піднесенні степеня до степеня показники множать.
- Не загуби показник 1. Буква чи число без показника — це степінь з показником 1, наприклад $x=x^1$. Якщо цю одиницю не додати, показник відповіді вийде на одиницю меншим.
- Перевір знак числового множника. Від'ємні множники розбиваються на пари, і кожна пара дає додатне число. Тому в парному степені від'ємне число дає додатний результат. Якщо показник непарний, один від'ємний множник лишається без пари, і результат від'ємний.
- Підстав замість букви маленьке число. Наприклад, візьми $x=2$ і обчисли вираз з умови та свою відповідь. Якщо результати різні, у перетвореннях є помилка.
Де найчастіше помиляються
1. При множенні степенів показники перемножили
Завдання: подати у вигляді степеня $a^3\cdot a^5$.
Неправильно
| $a^3\cdot a^5=a^{\color{#a72727}{3\cdot5}}=a^{\color{#a72727}{15}}$ |
Правильно
| $a^3\cdot a^5=a^{\color{#176b3a}{3+5}}=a^{\color{#176b3a}{8}}$ |
Що сталося: правило степеня степеня застосували до добутку степенів. У добутку три множники $a$ і ще п'ять множників $a$ разом дають вісім множників.
Як помітити: якщо степені стоять поруч через знак множення, показники додають. Множать їх лише тоді, коли степінь стоїть у дужках під іншим показником.
2. Перемножили основи степенів
Завдання: подати у вигляді степеня $3^7\cdot3^5$.
Неправильно
| $3^7\cdot3^5={\color{#a72727}{9}}^{12}$ |
Правильно
| $3^7\cdot3^5={\color{#176b3a}{3}}^{12}$ |
Що сталося: основи 3 і 3 помножили, хоча за правилом основу залишають тією самою. Множник 3 повторюється 7 + 5 = 12 разів, тому відповідь дорівнює $3^{12}$.
Як помітити: перевір правило на показниках 1. Правильно $3^1\cdot3^1=3\cdot3=9$, а за хибним правилом вийшло б $9^{1+1}=81$.
3. У степені добутку не піднесли числовий множник
Завдання: піднести до степеня $(-2a)^5$.
Неправильно
| $(-2a)^5={\color{#a72727}{-2}}a^5$ |
Правильно
| $(-2a)^5={\color{#176b3a}{(-2)^5}}a^5={\color{#176b3a}{-32}}a^5$ |
Що сталося: до п'ятого степеня піднесли лише букву $a$. Але в дужках стоїть добуток, і до степеня підносять кожен його множник, зокрема число −2.
Як помітити: підстав $a=1$. Ліва частина дорівнює $(-2)^5=-32$, а права частина хибної відповіді дорівнює −2.
4. Правило степеня добутку застосували до суми
Завдання: обчислити $(1+2)^2$.
Неправильно
| $(1+2)^2={\color{#a72727}{1^2+2^2}}={\color{#a72727}{5}}$ |
Правильно
| $(1+2)^2={\color{#176b3a}{3^2}}={\color{#176b3a}{9}}$ |
Що сталося: формула $(ab)^n=a^nb^n$ діє лише для добутку. Для суми такої формули немає, тому спершу виконують дію в дужках.
Як помітити: подивись, який знак стоїть між числами в дужках. Кожне число окремо підносять до степеня лише тоді, коли між ними стоїть знак множення.
Спробуй сам
- Подай у вигляді степеня: $y^7\cdot y\cdot y^3$.
- Запиши $m^9$ у вигляді добутку двох степенів, один з яких дорівнює $m^4$.
- Подай у вигляді степеня: $(a-b)^4(a-b)^9$.
- Обчисли $\dfrac{0{,}3^{12}}{0{,}3^9}$.
- Обчисли $\left(1\dfrac{1}{2}\right)^9:\left(1\dfrac{1}{2}\right)^7$.
- Спрости вираз $(c^4)^5:c^{11}$.
- Піднеси до степеня $(-3xy)^4$.
- Подай у вигляді степеня: $0{,}001p^3q^3$.
- Обчисли $\left(\dfrac{1}{5}\right)^4\cdot10^4$.
- Обчисли $\dfrac{9^4\cdot27}{3^9}$.
- Обчисли $\dfrac{15^3}{3^2\cdot5^3}$.
- Знайди значення $x$, для якого правильна рівність $7^{12}:7^x=7^5$.
- Заміни «зірочку» степенем з основою $a$ так, щоб рівність $a^2\cdot{*}\cdot a^4=a^{11}$ стала тотожністю.
- Подай у вигляді степеня ($n$ — натуральне число): $x^{2n}\cdot x^n$.
- Порівняй значення виразів $2^{40}$ і $3^{30}$.
Перевірити відповіді
- $y^{11}$.
- $m^4\cdot m^5$.
- $(a-b)^{13}$.
- 0,027.
- $\dfrac{9}{4}=2\dfrac{1}{4}$.
- $c^9$.
- $81x^4y^4$.
- $(0{,}1pq)^3$.
- 16.
- 9.
- 3.
- $x=7$.
- $a^5$.
- $x^{3n}$.
- $2^{40}\lt3^{30}$.
Повний розв'язок завдання 10
| $\dfrac{9^4\cdot27}{3^9}=\dfrac{(3^2)^4\cdot3^3}{3^9}=\dfrac{3^8\cdot3^3}{3^9}$ |
| $=\dfrac{3^{11}}{3^9}=3^2=9$ |
- 1)Записуємо все через основу 3:
9 = 3², тому $9^4=(3^2)^4=3^8$, а 27 = 3³. - 2)Множимо степені в чисельнику:
8 + 3 = 11. - 3)Ділимо на знаменник:
11 − 9 = 2, а $3^2=9$.
Повний розв'язок завдання 15
| $2^{40}=(2^4)^{10}=16^{10}$ |
| $3^{30}=(3^3)^{10}=27^{10}$ |
| $16^{10}\lt27^{10}$ |
Показники 40 і 30 обидва діляться на 10, тому записуємо обидва степені з показником 10. Тепер обидва вирази є добутками десяти однакових додатних множників. Число 16 менше від 27, тому $2^{40}\lt3^{30}$.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що показники перемножили замість додати або забули показник 1.
Для батьків
Попросіть дитину розписати $a^3\cdot a^2$ множниками й порахувати їх. Вийде п'ять множників $a$, тобто $a^5$. Так дитина сама побачить, чому показники при множенні додають.
Запитайте, чим відрізняються $a^3\cdot a^2$ і $(a^3)^2$. У першому виразі показники додають і отримують $a^5$, а в другому множать і отримують $a^6$. Якщо дитина вагається, хай перевірить обидва вирази для $a=2$: 32 і 64.
Попросіть піднести до квадрата $(-3x)$. Правильна відповідь така: $9x^2$. Якщо вийшло $-3x^2$, нагадайте, що до степеня підносять кожен множник, зокрема число зі знаком.