Ти навчишся підносити до степеня цілі числа, десяткові й звичайні дроби та мішані числа. А ще розберемо, як без обчислень визначити знак степеня і чому $-5^2$ та $(-5)^2$ — різні числа.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке степінь
Добуток 3 · 3 · 3 · 3 складається з чотирьох однакових множників. Його коротко записують так: $3^4$. Такий запис називають степенем.
Степінь числа $a$ з натуральним показником $n$, де $n\gt1$, — це добуток $n$ множників, кожен з яких дорівнює $a$. Степінь числа $a$ з показником 1 — це саме число $a$: $a^1=a$.
У записі $a^n$ число $a$ називають основою степеня, а число $n$ — показником степеня. Запис читають «$a$ в степені $n$» або «$n$-й степінь числа $a$».
Наприклад, $3^4$ читають «3 в степені 4» або «четвертий степінь числа 3». Основа тут дорівнює 3, а показник дорівнює 4.
Другий степінь числа називають квадратом числа, а третій степінь числа називають кубом. Ці назви прийшли з геометрії. Площа квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a^2$, а об'єм куба з ребром $a$ дорівнює $a^3$.
Приклад 1. Назви основу і показник степеня
1) $(-3)^4$; 2) $0{,}2^5$; 3) $(a-b)^3$.
Розв'язання.
Показник — це маленьке число вгорі праворуч. Основа — те, що стоїть безпосередньо перед показником: число, буква або весь вираз у дужках.
| 1) $(-3)^4$: основа −3, показник 4; |
| 2) $0{,}2^5$: основа 0,2, показник 5; |
| 3) $(a-b)^3$: основа $a-b$, показник 3. |
У першому записі дужки показують, що до степеня підносять усе число −3 разом зі знаком. У третьому записі основою є весь вираз у дужках.
Відповідь: 1) основа −3, показник 4; 2) основа 0,2, показник 5; 3) основа $a-b$, показник 3.
Приклад 2. Запиши добуток у вигляді степеня
1) $(-0{,}6)\cdot(-0{,}6)\cdot(-0{,}6)$; 2) $(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)$.
Розв'язання.
Рахуємо однакові множники: їхня кількість стає показником, а сам множник — основою. Якщо множник записано в дужках, дужки лишаються і в степені.
| 1) $(-0{,}6)\cdot(-0{,}6)\cdot(-0{,}6)$ |
| $=(-0{,}6)^3$; |
| 2) $(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)$ |
| $=(a+2)^4$. |
У першому добутку множник −0,6 повторюється три рази, а в другому множник $a+2$ повторюється чотири рази.
Відповідь: 1) $(-0{,}6)^3$; 2) $(a+2)^4$.
Приклад 3. Запиши степінь $(3b)^4$ у вигляді добутку однакових множників
Розв'язання.
Основа — вираз $3b$, бо він стоїть у дужках. Показник дорівнює 4, тому пишемо чотири однакові множники $(3b)$. Кожен множник беремо в дужки, як і в основі.
| $(3b)^4=(3b)\cdot(3b)\cdot(3b)\cdot(3b)$ |
Відповідь: $(3b)\cdot(3b)\cdot(3b)\cdot(3b)$.
Піднесення до степеня
Обчислити значення степеня означає виконати дію, яку називають піднесенням до степеня. Для цього розписуємо степінь добутком однакових множників і перемножуємо їх.
Приклад 4. Обчисли $(-2)^6$
Розв'язання.
| $(-2)^6$ |
| $=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot$ |
| $\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ |
| $=4\cdot4\cdot4=64$ |
- 1)Розбиваємо шість множників на три пари. Кожна пара дає додатне число:
(−2) · (−2) = 4. - 2)Множимо результати пар:
4 · 4 · 4 = 64.
Усі від'ємні множники розбилися на пари, тому результат додатний.
Відповідь: 64.
Приклад 5. Обчисли $(-0{,}2)^3$
Розв'язання.
| $(-0{,}2)^3=(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)$ |
| $=-0{,}008$ |
- 1)Визначаємо знак. Перші два множники дають додатне число, а третій від'ємний множник робить добуток від'ємним.
- 2)Множимо числа без коми:
2 · 2 · 2 = 8. - 3)У кожному множнику одна цифра після коми. Тому в добутку їх 1 + 1 + 1 = 3, і виходить 0,008.
Відповідь: −0,008.
Приклад 6. Обчисли $\left(\frac{2}{3}\right)^4$
Розв'язання.
| $\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}$ |
| $=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{16}{81}$ |
Дроби множать так: чисельник на чисельник, знаменник на знаменник. Тому до степеня підносимо окремо чисельник і окремо знаменник.
Відповідь: $\frac{16}{81}$.
Приклад 7. Обчисли $\left(-1\frac{1}{2}\right)^3$
Розв'язання.
| $\left(-1\frac{1}{2}\right)^3=\left(-\frac{3}{2}\right)^3$ |
| $=\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)$ |
| $=-\frac{27}{8}=-3\frac{3}{8}$ |
- 1)Перетворюємо мішане число на неправильний дріб:
$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, бо 1 · 2 + 1 = 3. - 2)Визначаємо знак. Від'ємних множників три, тобто непарна кількість, тому результат від'ємний.
- 3)Підносимо до куба чисельник і знаменник:
3 · 3 · 3 = 27 і 2 · 2 · 2 = 8. - 4)Виділяємо цілу частину:
27 : 8 = 3 (ост. 3), тому $\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}$.
Мішане число $1\frac{1}{2}$ — це сума $1+\frac{1}{2}$. Тому підносити до степеня окремо 1 і $\frac{1}{2}$ не можна: відповідь вийде хибною. Мішане число завжди спершу перетворюємо на неправильний дріб.
Відповідь: $-3\frac{3}{8}$.
Приклад 8. Заповни таблицю степенів числа 5 для $n$ від 1 до 5
Розв'язання.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $5^n$ | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 |
Кожен наступний степінь у 5 разів більший за попередній, бо в добутку стає на один множник 5 більше. Тому не треба щоразу множити все спочатку. Досить помножити попередній результат на 5:
125 · 5 = 625 і 625 · 5 = 3125.
Відповідь: 5; 25; 125; 625; 3125.
Приклад 9. Розклади число 360 на прості множники і запиши розклад зі степенями
Розв'язання.
Ділимо на найменші прості числа, доки не отримаємо 1:
| 360 : 2 = 180 |
| 180 : 2 = 90 |
| 90 : 2 = 45 |
| 45 : 3 = 15 |
| 15 : 3 = 5 |
| 5 : 5 = 1 |
Отже, $360=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=2^3\cdot3^2\cdot5$.
Однакові прості множники записуємо степенем: три двійки дають $2^3$, а дві трійки — $3^2$. П'ятірка одна, тому показник 1 біля неї не пишуть.
Відповідь: $360=2^3\cdot3^2\cdot5$.
Який знак має степінь
З 6 класу ти знаєш, що добуток двох від'ємних чисел додатний. Тому знак степеня можна визначити ще до обчислень: він залежить від знака основи і від того, парний показник чи непарний.
Якщо $n$ — натуральне число, то:
- $0^n=0$, бо всі множники дорівнюють нулю;
- $a^n\gt0$ для будь-якого $a\gt0$, бо добуток додатних чисел додатний;
- $a^n\gt0$ для $a\lt0$ і парного $n$, бо від'ємні множники розбиваються на пари;
- $a^n\lt0$ для $a\lt0$ і непарного $n$, бо після пар лишається один від'ємний множник.
Для усних обчислень знадобляться ще два правила. Будь-який степінь одиниці дорівнює 1, бо всі множники дорівнюють 1, а 1 · 1 · … · 1 = 1.
Степінь числа −1 дорівнює 1, якщо показник парний, і дорівнює −1, якщо показник непарний. Наприклад, $(-1)^8=1$, а $(-1)^7=-1$.
Приклад 10. Порівняй з нулем значення виразу $-(-5)^6$ і запиши відповідь нерівністю
Розв'язання.
| $(-5)^6\gt0$ |
| $-(-5)^6\lt0$ |
- 1)Основа −5 від'ємна, а показник 6 парний. Тому степінь додатний.
- 2)Мінус перед степенем змінює знак додатного числа на протилежний. Тому весь вираз від'ємний.
Обчислювати сам степінь не треба: для порівняння з нулем досить знати його знак.
Відповідь: $-(-5)^6\lt0$.
Приклад 11. Не виконуючи обчислень, порівняй $(-9)^5$ і $(-2)^6$
Розв'язання.
| $(-9)^5\lt0$, бо показник 5 непарний; |
| $(-2)^6\gt0$, бо показник 6 парний. |
Будь-яке від'ємне число менше за будь-яке додатне. Тому перше число менше за друге.
Відповідь: $(-9)^5\lt(-2)^6$.
На що діє показник: $-5^2$ і $(-5)^2$
Показник діє лише на те, що стоїть безпосередньо перед ним. У записі $-5^2$ перед показником стоїть 5. Тому до квадрата підносимо 5, а мінус ставимо перед результатом:
$-5^2=-(5\cdot5)=-25$.
У записі $(-5)^2$ перед показником стоїть дужка. Тому до квадрата підносимо все число −5 разом зі знаком:
$(-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25$.
| вираз | що підносимо до степеня | значення |
|---|---|---|
| $-5^2$ | 5 | −25 |
| $(-5)^2$ | −5 | 25 |
| $-2^3$ | 2 | −8 |
| $(-2)^3$ | −2 | −8 |
Для парного показника дужки змінюють відповідь: −25 і 25. Для непарного показника відповідь однакова. Обидва вирази від'ємні:
$-2^3=-(2\cdot2\cdot2)=-8$ і $(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$.
Те саме правило діє і для змінної. Квадрат числа $-x$ дорівнює квадрату числа $x$, бо $(-x)\cdot(-x)=x\cdot x$.
А у виразі $-x^2$ мінус ставлять перед квадратом. Тому вирази $-x^2$ і $(-x)^2$ мають протилежні значення, а якщо $x=0$, обидва дорівнюють 0.
У кубі лишається непарна кількість мінусів, тому $(-x)^3=(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)=-x^3$. Отже, вирази $-x^3$ і $(-x)^3$ рівні для будь-якого $x$.
Приклад 12. Знайди значення виразів $-x^2$ і $(-x)^2$, якщо $x=-4$
Розв'язання.
| $-x^2=-(-4)^2=-16$ |
| $(-x)^2=(-(-4))^2=4^2=16$ |
- 1)У виразі $-x^2$ до квадрата підносимо лише $x$, тобто число −4:
$(-4)^2=16$. Мінус перед степенем робить результат від'ємним. - 2)У виразі $(-x)^2$ спершу знаходимо $-x$. Число, протилежне до −4, дорівнює 4. Потім підносимо до квадрата:
4 · 4 = 16.
Від'ємне значення $x$ підставляємо в дужках, щоб показник стосувався всього числа разом зі знаком.
Відповідь: −16 і 16.
Приклад 13. Знайди значення виразу $-\left(-\frac{1}{2}\right)^5$
Розв'язання.
| $-\left(-\frac{1}{2}\right)^5=-\left(-\frac{1}{32}\right)=\frac{1}{32}$ |
- 1)Спершу підносимо до степеня число в дужках. Основа від'ємна, а показник 5 непарний, тому результат від'ємний. У чисельнику 1, а в знаменнику 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
- 2)Мінус перед степенем змінює знак результату:
$-\left(-\frac{1}{32}\right)=\frac{1}{32}$.
Відповідь: $\frac{1}{32}$.
Порядок дій у виразах зі степенями
Якщо у виразі кілька дій, спочатку виконують піднесення до степеня, потім множення і ділення, а вже потім додавання і віднімання. Дії в дужках, як і раніше, виконують першими.
Степінь — це скорочений запис добутку. Наприклад, $15^2$ означає 15 · 15, тобто одне число 225. Тому спершу знаходимо це число, а потім виконуємо з ним інші дії.
Як знайти значення виразу зі степенями
- Якщо є дужки, спершу виконай дії в них.
- Мішане число перед піднесенням до степеня перетвори на неправильний дріб. Мішане число — це сума цілої і дробової частин, тому підносити їх до степеня окремо не можна.
- Обчисли кожен степінь. Спершу визнач знак, а потім перемнож однакові множники.
- Виконай множення і ділення зліва направо.
- Наостанок виконай додавання і віднімання. Кожну дію можна записувати окремо, якщо так зручніше.
Приклад 14. Знайди значення виразу $\frac{40}{0{,}2^3}$
Розв'язання.
| $\frac{40}{0{,}2^3}=\frac{40}{0{,}008}=5000$ |
- 1)Риска дробу означає ділення. Але спершу підносимо до степеня знаменник:
$0{,}2^3=0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2=0{,}008$. - 2)Ділимо на десятковий дріб. Переносимо кому в діленому й дільнику на три цифри праворуч:
40 : 0,008 = 40 000 : 8 = 5000.
Показник 3 стоїть лише біля числа 0,2, тому до куба підносимо тільки знаменник.
Відповідь: 5000.
Приклад 15. Знайди значення виразу $(2{,}6-3{,}1)^4$
Розв'язання.
| $(2{,}6-3{,}1)^4=(-0{,}5)^4=0{,}0625$ |
- 1)Спершу виконуємо дію в дужках:
2,6 − 3,1 = −0,5. - 2)Показник 4 парний, тому результат додатний. Множимо без коми:
5 · 5 · 5 · 5 = 625. - 3)У числі 0,5 одна цифра після коми, а множників чотири. Тому в результаті 1 · 4 = 4 цифри після коми, і виходить 0,0625.
Відповідь: 0,0625.
Приклад 16. Знайди значення виразу $2^5-3\cdot(-2)^3$
Розв'язання.
| $2^5-3\cdot(-2)^3=32-3\cdot(-8)$ |
| $=32+24=56$ |
- 1)Обчислюємо степені:
$2^5=32$ і $(-2)^3=-8$. Другий степінь від'ємний, бо основа від'ємна, а показник 3 непарний. - 2)Множимо:
3 · (−8) = −24. - 3)Віднімаємо:
32 − (−24) = 32 + 24 = 56.
Відповідь: 56.
Приклад 17. З'ясуй, чи правильна рівність $2^4+3^2=5^2$
Розв'язання.
Обчислимо кожну частину рівності окремо.
| ліва частина: $2^4+3^2=16+9=25$; |
| права частина: $5^2=25$. |
Обидві частини дорівнюють 25, тому рівність правильна.
Відповідь: так, правильна.
Приклад 18. Обчисли суму кубів і куб суми чисел 2 і −3
Розв'язання.
Перше слово в такій назві каже, яку дію виконують останньою. «Сума кубів» означає, що спершу кожне число підносять до куба, а потім результати додають. «Куб суми» означає, що спершу числа додають, а потім суму підносять до куба.
| 1) сума кубів: $2^3+(-3)^3=8+(-27)=-19$; |
| 2) куб суми: $(2+(-3))^3=(-1)^3=-1$. |
Відповідь: 1) −19; 2) −1.
Значення виразу зі степенями для заданих значень змінних
Приклад 19. Знайди значення виразу $2a^3-a^2$, якщо $a=-3$
Розв'язання.
| $2\cdot(-3)^3-(-3)^2=2\cdot(-27)-9$ |
| $=-54-9=-63$ |
- 1)Підставляємо −3 замість $a$ і беремо число в дужки. Так показник стосується всього числа −3 разом зі знаком.
- 2)Обчислюємо степені:
$(-3)^3=-27$, бо показник непарний, і $(-3)^2=9$, бо показник парний. - 3)Множимо:
2 · (−27) = −54. - 4)Віднімаємо:
−54 − 9 = −63.
Відповідь: −63.
Приклад 20. Знайди значення виразу $(5x)^3$, якщо $x=-0{,}2$
Розв'язання.
| $(5\cdot(-0{,}2))^3=(-1)^3=-1$ |
- 1)У дужках стоїть добуток, тому спершу множимо:
5 · (−0,2) = −1. - 2)Підносимо до куба. Показник непарний, тому $(-1)^3=-1$.
У виразі $5x^3$ до куба підносили б лише $x$, бо дужок немає. Тоді відповідь була б інша:
$5\cdot(-0{,}2)^3=5\cdot(-0{,}008)=-0{,}04$.
Відповідь: −1.
Як подати число у вигляді степеня
Приклад 21. Подай число $2\frac{1}{4}$ у вигляді квадрата
Розв'язання.
| $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=\frac{3\cdot3}{2\cdot2}$ |
| $=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(1\frac{1}{2}\right)^2$ |
- 1)Перетворюємо мішане число на неправильний дріб:
$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, бо 2 · 4 + 1 = 9. - 2)Шукаємо числа, квадрати яких дорівнюють чисельнику і знаменнику:
9 = 3 · 3 і 4 = 2 · 2. - 3)Записуємо дріб $\frac{3}{2}$ у квадраті і за бажання повертаємо мішане число:
$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.
Підходить і від'ємна основа:
$\left(-1\frac{1}{2}\right)^2=2\frac{1}{4}$, бо показник парний.
Відповідь: $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$.
Від'ємне число можна подати у вигляді куба, бо непарний показник зберігає знак основи. Наприклад, $-8=(-2)^3$. А у вигляді квадрата від'ємне число подати не можна: квадрат будь-якого числа додатний або дорівнює нулю.
Приклад 22. Подай число 81 у вигляді степеня з основою −3
Розв'язання.
Підносимо −3 до степенів 2, 3, 4 по черзі, доки не отримаємо 81.
| $(-3)^2=9$ |
| $(-3)^3=-27$ |
| $(-3)^4=81$ |
Показник 4 парний, тому результат додатний, як і число 81.
Відповідь: $81=(-3)^4$.
Знак виразу для будь-яких значень змінної
Квадрат будь-якого числа додатний або дорівнює нулю, тобто невід'ємний. Будь-який парний степінь теж невід'ємний, бо його множники розбиваються на пари однакових чисел. Тому $a^2\geqslant0$ для будь-якого $a$.
Знак $\geqslant$ читають «більше або дорівнює», а знак $\leqslant$ — «менше або дорівнює». Знаки $\gt$ і $\lt$ називають строгими: нерівність зі строгим знаком неправильна, якщо обидві частини рівні.
Приклад 23. Заміни зірочку знаком $\gt$, $\lt$, $\geqslant$ або $\leqslant$ так, щоб нерівність $-(m+2)^2 * 0$ була правильною для будь-якого $m$
Розв'язання.
| $(m+2)^2\geqslant0$ |
| $-(m+2)^2\leqslant0$ |
- 1)Квадрат невід'ємний для будь-якого $m$.
- 2)Мінус змінює знак на протилежний, тому вираз $-(m+2)^2$ недодатний: він від'ємний або дорівнює нулю.
Строгий знак $\lt$ не годиться. Якщо $m=-2$, то $m+2=0$, і вираз дорівнює нулю, а нуль не менший від нуля.
Відповідь: $-(m+2)^2\leqslant0$.
Приклад 24. Знайди найменше значення виразу $(x-4)^2+3$
Замість $x$ можна підставити будь-яке число, і щоразу вираз матиме якесь значення. Треба знайти найменше з усіх можливих значень. Наприклад, підставимо кілька чисел:
| $x$ | 0 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $(x-4)^2+3$ | 19 | 4 | 3 | 7 |
Серед цих значень найменше дорівнює 3. Але чисел для підстановки безліч, тому перебором усіх не перевіриш. Доведемо, що менше за 3 не вийде ніколи.
Розв'язання.
| $(x-4)^2\geqslant0$ |
| $(x-4)^2+3\geqslant3$ |
- 1)Квадрат невід'ємний. Якщо до нього додати 3, вийде число, не менше за 3.
- 2)Вираз дорівнює 3, коли $(x-4)^2=0$, тобто коли $x=4$.
Отже, найменше значення виразу дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Найбільше значення виразу шукають так само. Це найбільше число, яке може вийти, якщо підставляти у вираз різні значення змінної. У виразі $6-(y+2)^2$ від 6 віднімають невід'ємне число, тому вираз не більший за 6.
Вираз дорівнює 6, якщо $y=-2$, бо тоді $(y+2)^2=0$. Отже, найбільше значення цього виразу дорівнює 6.
Як перевірити себе
- Порахуй множники. У степені $a^n$ має бути рівно $n$ однакових множників. Наприклад, $3^2=3\cdot3=9$. Якщо в тебе вийшло 6, ти помножив основу на показник.
- Визнач знак до обчислень. Якщо основа від'ємна, парний показник дає додатне число, а непарний — від'ємне. Так виходить, бо від'ємні множники розбиваються на пари, і кожна пара дає додатне число.
- Порахуй цифри після коми. Кількість цифр після коми в основі помнож на показник: стільки цифр після коми буде у відповіді. Так виходить, бо під час множення десяткових дробів кількості цифр після коми в множниках додаються. Наприклад, у $0{,}2^3=0{,}008$ цифр після коми 1 · 3 = 3.
- Прикинь розмір відповіді. Квадрат додатного числа, меншого за 1, менший за саме число, бо його множать на число, менше за 1. Наприклад, $0{,}5^2=0{,}25$, а 0,25 менше за 0,5.
Де найчастіше помиляються
1. Основу помножили на показник
Завдання: обчислити $0{,}3^2$.
Неправильно
| $0{,}3^2=0{,}3\cdot{\color{#a72727}{2}}={\color{#a72727}{0{,}6}}$ |
Правильно
| $0{,}3^2=0{,}3\cdot{\color{#176b3a}{0{,}3}}={\color{#176b3a}{0{,}09}}$ |
Що сталося: показник 2 означає, що число 0,3 беруть множником двічі. Множити на 2 тут не треба.
Як помітити: квадрат додатного числа, меншого за 1, має бути меншим за саме число. А 0,6 більше за 0,3.
2. Мінус піднесли до степеня разом із числом
Завдання: обчислити $-4^2$.
Неправильно
| $-4^2={\color{#a72727}{(-4)\cdot(-4)}}={\color{#a72727}{16}}$ |
Правильно
| $-4^2={\color{#176b3a}{-(4\cdot4)}}={\color{#176b3a}{-16}}$ |
Що сталося: дужок немає, тому показник стосується лише числа 4. Мінус ставлять перед результатом.
Як помітити: подивись, що стоїть безпосередньо перед показником. Якщо там число без дужки, мінус до степеня не підносять. Мінус підносять разом із числом лише тоді, коли перед показником стоїть дужка.
3. Мішане число піднесли до степеня частинами
Завдання: обчислити $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$.
Неправильно
| $\left(1\frac{1}{2}\right)^2={\color{#a72727}{1\frac{1}{4}}}$ |
Правильно
| $\left(1\frac{1}{2}\right)^2={\color{#176b3a}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}}$ |
| $=\frac{9}{4}={\color{#176b3a}{2\frac{1}{4}}}$ |
Що сталося: до квадрата піднесли окремо цілу частину і окремо дробову. Мішане число — це сума, тому так робити не можна. Спершу його перетворюють на неправильний дріб.
Як помітити: число $1\frac{1}{2}$ більше за 1, тому його квадрат має бути більшим за саме число. А $1\frac{1}{4}$ менше за $1\frac{1}{2}$.
4. Порушили порядок дій
Завдання: знайти значення виразу $0{,}5\cdot4^2$.
Неправильно
| $0{,}5\cdot4^2={\color{#a72727}{2^2}}={\color{#a72727}{4}}$ |
Правильно
| $0{,}5\cdot4^2={\color{#176b3a}{0{,}5\cdot16}}={\color{#176b3a}{8}}$ |
Що сталося: спершу помножили 0,5 на 4, а потім піднесли до квадрата. Але піднесення до степеня виконують раніше за множення.
Як помітити: показник стоїть біля числа 4. Щоб піднести до квадрата весь добуток, його мали б записати в дужках: $(0{,}5\cdot4)^2$.
Спробуй сам
- Назви основу і показник степеня $(-0{,}7)^3$.
- Запиши добуток у вигляді степеня: $(x-y)(x-y)(x-y)(x-y)(x-y)$.
- Запиши степінь $(2m)^3$ у вигляді добутку однакових множників.
- Обчисли $(-3)^4$.
- Обчисли $(-0{,}1)^5$.
- Обчисли $\left(\frac{3}{4}\right)^3$.
- Обчисли $\left(-2\frac{1}{3}\right)^2$.
- Заповни таблицю степенів числа 3 для $n$ від 1 до 5.
- Розклади число 540 на прості множники і запиши розклад зі степенями.
- Порівняй з нулем значення виразу $-(-4)^7$ і запиши відповідь нерівністю.
- Не виконуючи обчислень, порівняй $(-8)^4$ і $-8^4$.
- Знайди значення виразів $-6^2$ і $(-6)^2$.
- Знайди значення виразу $-\left(-\frac{1}{3}\right)^3$.
- Знайди значення виразу $\frac{12}{0{,}2^2}$.
- Знайди значення виразу $(1{,}5-2{,}3)^2$.
- Знайди значення виразу $3^4-2\cdot(-3)^3$.
- З'ясуй, чи правильна рівність $2^3+3^2=4^2$.
- Обчисли квадрат різниці чисел 0,5 і −1,5.
- Знайди значення виразу $3x^2-x^3$, якщо $x=-2$.
- Знайди значення виразу $(4y)^3$, якщо $y=-\frac{1}{2}$.
- Подай число $1\frac{9}{16}$ у вигляді квадрата.
- Подай число −32 у вигляді степеня з основою −2.
- Заміни зірочку знаком $\gt$, $\lt$, $\geqslant$ або $\leqslant$ так, щоб нерівність $(a-5)^2+1 * 0$ була правильною для будь-якого $a$.
- Знайди найбільше значення виразу $10-(c-1)^2$.
- Знайди найменше значення виразу $(b+3)^4-2$.
Перевірити відповіді
- Основа −0,7, показник 3.
- $(x-y)^5$.
- $(2m)\cdot(2m)\cdot(2m)$.
- 81.
- −0,00001.
- $\frac{27}{64}$.
- $\frac{49}{9}=5\frac{4}{9}$.
- 3, 9, 27, 81, 243.
- $540=2^2\cdot3^3\cdot5$.
- $-(-4)^7\gt0$.
- $(-8)^4\gt-8^4$: перше число додатне, а друге від'ємне.
- −36 і 36.
- $\frac{1}{27}$.
- 300.
- 0,64.
- 135.
- Ні: ліва частина дорівнює 17, а права дорівнює 16.
- 4.
- 20.
- −8.
- $\left(1\frac{1}{4}\right)^2$ або $\left(-1\frac{1}{4}\right)^2$.
- $-32=(-2)^5$.
- $(a-5)^2+1\gt0$.
- 10.
- −2.
Повний розв'язок завдання 16
| $3^4-2\cdot(-3)^3=81-2\cdot(-27)$ |
| $=81+54=135$ |
- 1)Обчислюємо степені:
$3^4=81$ і $(-3)^3=-27$. Другий степінь від'ємний, бо основа від'ємна, а показник 3 непарний. - 2)Множимо:
2 · (−27) = −54. - 3)Віднімаємо:
81 − (−54) = 81 + 54 = 135.
Повний розв'язок завдання 23
Квадрат невід'ємний:
$(a-5)^2\geqslant0$. Якщо додати 1, вираз стане не меншим за 1. Тому $(a-5)^2+1\geqslant1$, а отже, він завжди більший за 0.
Тут годиться строгий знак $\gt$: навіть якщо $a=5$, вираз дорівнює 1, тобто більший за 0. Знак $\geqslant$ теж дав би правильну нерівність, але $\gt$ точніший.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в мінусі перед степенем або в тому, що основу помножили на показник.
Для батьків
Попросіть дитину обчислити $-3^2$ і $(-3)^2$ та пояснити різницю. Правильні відповіді такі: −9 і 9. У першому записі до квадрата підносять лише 3, а мінус стоїть перед результатом.
Запитайте, яким буде знак числа $(-1)^{25}$, не обчислюючи його. Знак буде «мінус», бо показник непарний і один від'ємний множник лишається без пари.
Якщо дитина пише $0{,}3^2=0{,}6$, попросіть її розписати степінь добутком однакових множників: 0,3 · 0,3. Так вона сама побачить, що показник означає кількість однакових множників.