Тотожність і тотожні вирази: як спростити вираз і довести тотожність — алгебра 7 клас

Ти навчишся розкривати дужки, зводити подібні доданки і спрощувати вирази. А ще розберемо, як трьома способами довести тотожність і чому кілька перевірених чисел нічого не доводять.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Тотожні вирази

Знайдемо значення виразів $3(x+1)$ і $3x+3$ для кількох значень $x$ і запишемо їх у таблицю.

$x$	−2	−1	0	1	2
$3(x+1)$	−3	0	3	6	9
$3x+3$	−3	0	3	6	9

У кожному стовпчику значення однакові. І це не випадковість: за розподільною властивістю множення $3(x+1)=3x+3$. Тому значення збігатимуться й для будь-якого іншого $x$.

Тотожність

Тотожностями є всі властивості дій, які ти знаєш з 5–6 класів. Їх записують буквами саме тому, що вони правильні для будь-яких чисел:

$a+b=b+a$; $\;ab=ba$

$a(b+c)=ab+ac$; $\;a(b-c)=ab-ac$

$a\cdot0=0$; $\;a\cdot1=a$; $\;a+(-a)=0$

$a\cdot(-b)=-ab$; $\;-a\cdot(-b)=ab$

Правильну числову рівність, наприклад 5 · 4 − 2 = 18, теж вважають тотожністю. Змінних у ній немає, і вона правильна завжди.

Щоб довести, що рівність не є тотожністю, а вирази не тотожні, досить знайти одне значення змінних, для якого частини рівності різні. Таке значення називають контрприкладом.

Чому кількох перевірених чисел мало, щоб довести тотожність

Здається, що можна перевірити кілька чисел і, якщо все збіглося, назвати рівність тотожністю. Подивимося на вирази $x$ і $x+x(x-1)(x-2)$.

значення $x$	0	1	2	3
вираз $x$	0	1	2	3
$x+x(x-1)(x-2)$	0	1	2	9

Для $x=0$, 1 і 2 у добутку $x(x-1)(x-2)$ один із множників дорівнює нулю. Тому добуток дорівнює 0, і другий вираз дає те саме число, що й перший.

А для $x=3$ жоден множник не дорівнює нулю. Другий вираз дає 3 + 3 · 2 · 1 = 9, а перший дає 3.

Отже, три збіги поспіль нічого не довели. Один контрприклад показав, що вирази не тотожні. Тому тотожність доводять перетвореннями, про які йдеться далі.

Тотожні перетворення і спрощення виразу

Як розкривати дужки

• Якщо перед дужками стоїть «+», дужки стираємо, а знаки доданків не змінюємо. Додати суму — те саме, що додати кожен її доданок.
• Якщо перед дужками стоїть «−», дужки стираємо і змінюємо знак кожного доданка в дужках. Відняти суму — те саме, що відняти кожен її доданок. Наприклад, $-(4m-7)=-4m+7$: знак змінився і в $4m$, і в −7.
• Якщо перед дужками стоїть множник, множимо його на кожен доданок у дужках разом зі знаком доданка. Так велить розподільна властивість множення.

Як зводити подібні доданки

Подібні доданки мають однакову буквену частину. Наприклад, $7x$ і $-9x$ подібні, $-4y$ і $y$ подібні, $2ab$ і $-5ab$ теж подібні. Доданки без букв, тобто числа, подібні між собою: 3 і −5 — подібні доданки.

Число перед буквою разом зі своїм знаком називають коефіцієнтом. У доданка $-9x$ коефіцієнт дорівнює −9. У доданка $y$ коефіцієнт 1, а в доданка $-y$ він дорівнює −1.

Щоб звести подібні доданки, додаємо їхні коефіцієнти, а буквену частину лишаємо. Наприклад, 7 яблук і ще 2 яблука — це 9 яблук: так само $7x+2x=9x$.

Як у підручнику, подібні доданки з буквами підкреслюємо: одну групу однією лінією, другу двома лініями, третю трьома. Числа не підкреслюємо: їх і так легко помітити, бо в них немає букв. Знак стоїть перед рискою, але належить доданку, тому коефіцієнт беремо разом зі знаком.

Для зручності ми також фарбуємо групи в різні кольори.

Як довести тотожність

Довести тотожність означає показати, що рівність правильна для будь-яких значень змінних. Для цього виконують тотожні перетворення, і є три способи.

Зазвичай перетворюють ту частину, яка довша або має дужки. Доданків із частини в частину не переносять: так розв'язують рівняння, а тут треба показати, що обидві частини — той самий вираз.

Коли значення виразу не залежить від змінної

Буває, що після спрощення всі доданки зі змінною взаємно знищуються і лишається одне число. Тоді вираз за будь-якого значення змінної дорівнює цьому числу. Саме так доводять, що значення виразу «не залежить від змінної» або «завжди дорівнює тому самому числу».

Доведення з натуральними числами

Тотожні перетворення допомагають довести і властивості чисел. Тут знадобляться дві властивості з 6 класу.

• Якщо кожен доданок суми ділиться на якесь число, то і сума ділиться на це число.
• Сума двох парних чисел є парним числом.

Так само доводять властивості послідовних парних чисел. Парне число ділиться на 2, тому його записують як $2k$, де $k$ — натуральне число.

Кожне наступне парне число на 2 більше за попереднє. Тому, починаючи з найменшого, послідовні парні числа записують так: $2k$, $2k+2$, $2k+4$ і далі.

Як перевірити себе

1. Підстав у вихідний вираз і у свою відповідь те саме число. Тотожні вирази для будь-якого числа мають однакові значення. Якщо значення різні, у перетвореннях є помилка. Наприклад, $2(x-4)$ і $2x-8$ для $x=5$ обидва дорівнюють 2. Якщо значення збіглися, це ще не доведення, але помилку така перевірка ловить часто.
2. Перевір знаки після розкриття дужок, перед якими стоїть «−». Скільки доданків було в дужках, стільки має бути й після їх розкриття, і в кожного знак має змінитися. Якщо знак змінився лише в першого, ти забув змінити знаки решти доданків.
3. Перевір, чи помножив число перед дужками на кожен доданок у дужках. Скільки доданків у дужках, стільки має бути й множень. Найчастіше забувають помножити останній доданок, наприклад число.
4. Доводячи тотожність, не можна переносити доданки з однієї частини в іншу через знак «=». Так розв'язують рівняння. А тут кожну частину перетворюють окремо, своїм ланцюжком рівностей, доки вона не набуде вигляду іншої частини.

Де найчастіше помиляються

1. Після «−» змінили знак лише першого доданка

Завдання: спростити вираз $8-(3x-5)$.

Що сталося: мінус перед дужками змінює знак кожного доданка в дужках. Доданок −5 мав стати +5, а лишився −5.

Як помітити: підстав $x=0$. Вихідний вираз дає 8 − (0 − 5) = 13, а неправильна відповідь дає 3.

2. Число перед дужками помножили лише на перший доданок

Завдання: спростити вираз $4(2a-3)+a$.

Що сталося: число 4 помножили на $2a$, а на $-3$ забули. Треба 4 · (−3) = −12.

Як помітити: підстав $a=0$. Вихідний вираз дає 4 · (−3) = −12, а неправильна відповідь дає −3.

3. Сплутали додавання однакових доданків із множенням

Завдання: спростити вираз $y+y+y$.

Що сталося: $y^3$ — це куб числа, тобто добуток $y\cdot y\cdot y$. А тут $y$ не множать, а додають: три однакові доданки дають $3y$.

Як помітити: підстав $y=2$. Сума 2 + 2 + 2 = 6, а куб 2 · 2 · 2 = 8.

4. Подвійний мінус розкрили один раз

Завдання: спростити вираз $10-(-(3a-4))$.

Що сталося: перед дужками $(3a-4)$ стоять два мінуси, а знаки змінили лише один раз. Два мінуси поспіль дають плюс, тому знаки в дужках лишаються такими, як були.

Як помітити: підстав $a=0$. Вихідний вираз дає 10 − (−(−4)) = 10 − 4 = 6, а неправильна відповідь дає 14.

Спробуй сам

1. Чи тотожно рівні вирази $5(b-2)$ і $5b-10$?
2. Чи тотожно рівні вирази $m-4$ і $4-m$? Наведи контрприклад або доведи.
3. Чи є тотожністю рівність $6a-2=4a$?
4. Розкрий дужки: $-(-3p+8)$.
5. Розкрий дужки: $-4(5-2c)$.
6. Зведи подібні доданки: $6b-2a-9b+5a-1$.
7. Назви два вирази, тотожні виразу $9x-x$.
8. Спрости вираз $-1{,}5x\cdot(-4y)$.
9. Спрости вираз $5(x-3)-2(4x-7)$.
10. Спрости вираз $3(a-2b)-(a-5b)$ і знайди його значення, якщо $a=-2$, $b=0{,}5$.
11. Ширина прямокутника дорівнює $y$ см, а довжина на 4 см більша за ширину. Запиши периметр прямокутника виразом і спрости його.
12. Розкрий дужки та спрости вираз $a-(2a-(3a-(a-1)))$.
13. Спрости вираз $\frac{2}{3}(9x-6y)-\frac{1}{4}(8x+4y)$.
14. Доведи тотожність $7(c-1)-4c=3(c-2)-1$.
15. Доведи тотожність $9k-(-(4-3k))=2(3k+2)$.
16. Доведи тотожність $3(x-y+z)-2(x-y)-3z=x-y$.
17. Доведи, що значення виразу $2(3m-1)-3(2m-4)$ не залежить від значення $m$.
18. Доведи, що сума чотирьох послідовних натуральних чисел — парне число.
19. Доведи, що сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на 4.

Перевірити відповіді

1. Так: $5(b-2)=5b-10$ за розподільною властивістю.
2. Ні. Наприклад, якщо $m=0$, то перший вираз дорівнює −4, а другий дорівнює 4.
3. Ні. Наприклад, якщо $a=0$, то ліва частина дорівнює −2, а права дорівнює 0.
4. $3p-8$.
5. $-20+8c$.
6. $3a-3b-1$.
7. Наприклад, $8x$ і $10x-2x$.
8. $6xy$.
9. $-3x-1$.
10. Вираз дорівнює $2a-b$, а його значення дорівнює −4,5.
11. $P=4y+8$ (см).
12. $a+1$.
13. $4x-5y$.
14. Обидві частини дорівнюють $3c-7$.
15. Обидві частини дорівнюють $6k+4$.
16. Ліва частина дорівнює $x-y$.
17. Вираз дорівнює 10 за будь-якого $m$, тому його значення не залежить від $m$.
18. Сума дорівнює $4n+6$. Числа $4n$ і 6 парні, тому їхня сума теж парна.
19. Сума дорівнює $8k+12$. Доданки $8k$ і 12 діляться на 4, тому й сума ділиться на 4.

Повний розв'язок завдання 12

$a-(2a-(3a-(a-1)))$

$=a-(2a-(3a-a+1))$

$=a-(2a-(2a+1))$

$=a-(2a-2a-1)$

$=a-(-1)=a+1$

Розкриваємо дужки, починаючи з внутрішніх. Щоразу перед дужками стоїть «−», тому знаки доданків у них змінюються. Усередині середніх дужок доданки з $a$ взаємно знищуються, бо 2a − 2a = 0.

Повний розв'язок завдання 18

Позначимо найменше число буквою $n$. Тоді наступні три числа дорівнюють $n+1$, $n+2$, $n+3$.

$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)$

$=n+n+1+n+2+n+3$

$=4n+6$

Число $4n$ парне, бо $4n=2\cdot2n$. Число 6 теж парне. Сума двох парних чисел парна, тому сума чотирьох послідовних натуральних чисел — парне число.

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Часто причина в знаку, який не змінився після «−» перед дужками.

Для батьків