Ти навчишся відрізняти одночлени від інших виразів і зводити одночлен до стандартного вигляду. А ще розберемо, як знайти його коефіцієнт, степінь і значення.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке одночлен
Подивись на вирази 7, $-\dfrac{3}{4}$, $x$, $a^5$, $-2m^3n$ і $6x\cdot(-3)xy$. У кожному з них є лише числа, змінні та їхні степені. Між ними стоїть тільки знак множення.
Одночленами називають цілі вирази, які є числами, змінними, їхніми степенями або добутками таких множників.
Нагадаємо, що цілими називають вирази без ділення на вираз зі змінною.
Вирази $a+b^2$, $c^3-5m$ і $0{,}9a^2:m$ одночленами не є. У них є дія додавання, віднімання чи ділення. Одночлен складається лише з множників, тому інших дій у ньому немає.
Приклад 1. Визнач, які з виразів є одночленами
Вирази: $-k$; 0; $x^8:x^2$; $3(a+b)^2$; $0{,}4m^3\cdot n$.
Розв'язання.
У кожному виразі шукаємо дії додавання, віднімання чи ділення. Дужки теж переглядаємо, бо дія всередині дужок є частиною виразу.
| вираз | одночлен? | чому |
|---|---|---|
| $-k$ | так | це добуток $-1\cdot k$ |
| 0 | так | це число |
| $x^8:x^2$ | ні | є ділення |
| $3(a+b)^2$ | ні | у дужках є додавання |
| $0{,}4m^3\cdot n$ | так | це добуток числа і степенів |
Знак «мінус» перед буквою не є дією віднімання. Він означає множник −1, тому $-k$ — одночлен.
Для $x\ne0$ вираз $x^8:x^2$ дорівнює $x^6$. Але записано його з діленням, тому одночленом його не вважають.
Відповідь: одночлени — $-k$, 0 і $0{,}4m^3\cdot n$.
Стандартний вигляд одночлена
Множники в добутку можна переставляти й групувати, і добуток від цього не зміниться. Це переставна і сполучна властивості множення. Тому в будь-якому одночлені можна зібрати всі числа разом і всі однакові букви разом.
Одночлен називають одночленом стандартного вигляду, якщо в ньому лише один числовий множник і цей множник стоїть на першому місці. Інші множники такого одночлена є степенями різних змінних.
Числа 5 і −9 теж мають стандартний вигляд. Вирази $b$ і $-p^3$ мають його також. У них є невидимий числовий множник:
$b=1\cdot b$, а $-p^3=-1\cdot p^3$.
Порядок букв не важливий: $x^9c^7$ — теж стандартний вигляд. Але букви зручно писати за алфавітом, тоді одночлени легше порівнювати.
Як звести одночлен до стандартного вигляду
- Заміни мінус перед буквою множником −1, бо $-b=-1\cdot b$. Так жоден мінус не загубиться.
- Перемнож усі числові множники разом з їхніми знаками. Якщо від'ємних множників парна кількість, добуток додатний, а якщо непарна, то від'ємний. Запиши цей добуток на першому місці, бо в стандартному вигляді число стоїть спереду.
- Збери разом степені кожної букви й додай їхні показники. Так працює правило множення степенів з однаковими основами.
- Не загуби показник 1. Буква без показника є степенем з показником 1, наприклад $x=x^1$.
Приклад 2. Зведи до стандартного вигляду одночлен $0{,}6x^3\cdot(-5)xy^2\cdot y$
Розв'язання.
| $0{,}6x^3\cdot(-5)xy^2\cdot y$ |
| $=0{,}6\cdot(-5)\cdot x^3x\cdot y^2y$ |
| $=-3x^4y^3$ |
- 1)Перемножуємо числа:
0,6 · (−5) = −3. Від'ємний множник один, тому добуток від'ємний. - 2)Збираємо степені $x$. Множник $x$ без показника — це $x^1$, тому показник дорівнює 3 + 1 = 4.
- 3)Так само збираємо степені $y$:
2 + 1 = 3.
Так само зводять одночлен, у якому числа дробові чи мішані. Якщо серед множників є і десятковий, і звичайний дріб, їх спершу записують в одному вигляді. Мішане число записують неправильним дробом:
$-1\dfrac{1}{2}a\cdot4a^2=-\dfrac{3}{2}\cdot4\cdot a\cdot a^2=-6a^3$.
Відповідь: $-3x^4y^3$.
Приклад 3. Зведи до стандартного вигляду одночлен $a^4\cdot(-b)\cdot(-2ab^3)\cdot(-a)$
Розв'язання.
Окремих чисел тут майже не видно. Але мінус перед буквою означає множник −1: $-b=-1\cdot b$ і $-a=-1\cdot a$.
| $a^4\cdot(-b)\cdot(-2ab^3)\cdot(-a)$ |
| $=(-1)\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot a^4aa\cdot bb^3$ |
| $=-2a^6b^4$ |
- 1)Рахуємо від'ємні множники:
−1, −2 і ще −1. Їх три, тобто непарна кількість, тому добуток від'ємний. Якщо не зважати на знаки, числа дають 1 · 2 · 1 = 2. Отже, коефіцієнт дорівнює −2. - 2)Збираємо степені $a$:
4 + 1 + 1 = 6. - 3)Збираємо степені $b$:
1 + 3 = 4.
Буває, що буква з мінусом стоїть у дужках, а над дужками є показник. Тоді мінус теж замінюють множником −1 і підносять до степеня кожен множник: $(-p)^5=(-1)^5p^5=-p^5$. Число −1 у непарному степені дорівнює −1, а в парному дорівнює 1, тому $(-p)^4=p^4$.
Відповідь: $-2a^6b^4$.
Коефіцієнт і степінь одночлена
Коефіцієнтом називають числовий множник одночлена стандартного вигляду. У $-3x^4y^3$ коефіцієнт дорівнює −3, а в $\dfrac{2}{5}m^3$ коефіцієнт дорівнює $\dfrac{2}{5}$.
Якщо перед буквами стоїть коефіцієнт 1, його не пишуть: $1\cdot c^2d=c^2d$. Якщо перед буквами стоїть коефіцієнт −1, пишуть лише знак «мінус»: $-1\cdot p^7=-p^7$.
Степенем одночлена називають суму показників усіх змінних, які в ньому є. Степінь одночлена-числа, наприклад −7, вважають нульовим, бо змінних у ньому немає.
Коефіцієнт називають лише після зведення до стандартного вигляду, бо до зведення чисел може бути кілька. Степінь можна порахувати й одразу. Під час зведення показники однакових букв лише додаються, тому сума всіх показників не змінюється.
Приклад 4. Назви коефіцієнт і степінь одночлена $-x^5y$
Розв'язання.
Одночлен уже має стандартний вигляд. Ні коефіцієнта, ні показника біля $y$ не видно, тому запишемо їх явно:
$-x^5y=-1\cdot x^5y^1$
- 1)Перед буквами стоїть лише «мінус». Він заміняє коефіцієнт −1.
- 2)Додаємо показники всіх змінних:
5 + 1 = 6.
Відповідь: коефіцієнт −1, степінь 6.
Перевір себе на одночленах, де найлегше помилитися. Закрий дві праві колонки й назви коефіцієнт і степінь сам.
| одночлен | коефіцієнт | степінь |
|---|---|---|
| $3x\cdot5x=15x^2$ | 15 | 2 |
| $y$ | 1 | 1 |
| −8 | −8 | 0 |
| $y^4x$ | 1 | 5 |
| $-a^3b^2c$ | −1 | 6 |
У першому рядку дві букви $x$, тому спершу одночлен зводять до стандартного вигляду. У рядку $y^4x$ букви стоять не за алфавітом, але кожна буква трапляється один раз, тож вигляд стандартний.
Значення одночлена
Значення одночлена шукають так само, як значення будь-якого виразу. Замість букв підставляють числа, спершу підносять до степеня, а потім множать. Від'ємне число підставляють у дужках, щоб його знак теж потрапив під показник.
Приклад 5. Знайди значення одночлена $-0{,}5a^2b$, якщо $a=-4$, $b=3$
Розв'язання.
| $-0{,}5a^2b=-0{,}5\cdot(-4)^2\cdot3$ |
| $=-0{,}5\cdot16\cdot3=-24$ |
- 1)Підносимо до квадрата:
(−4)² = 16. Показник парний, тому квадрат від'ємного числа додатний. - 2)Множимо:
−0,5 · 16 = −8, а −8 · 3 = −24.
Таблицю значень одночлена заповнюють так само. Для кожного значення змінної значення одночлена рахують окремо.
Відповідь: −24.
Приклад 6. Знайди значення $y$, для якого значення одночлена $-2{,}5y$ дорівнює 10
Розв'язання.
Тут значення одночлена відоме, а значення змінної треба знайти. Тому складаємо рівняння і розв'язуємо його.
| $-2{,}5y=10$ |
| $y=10:(-2{,}5)$ |
| $y=-4$ |
Перевірка:
−2,5 · (−4) = 10.
Якщо змінних дві, як в одночлені $6ab$, підходить багато пар чисел. Щоб знайти одну пару, значення однієї змінної вибирають самі. Наприклад, для $6ab=-12$ візьмемо $a=1$, тоді $6b=-12$ і $b=-2$.
Відповідь: $y=-4$.
Приклад 7. Перевір, чи правда, що одночлен $5x^4$ для будь-яких значень $x$ набуває додатних значень
Розв'язання.
Показник 4 парний. Тому $x^4$ не буває від'ємним: від'ємні множники розбиваються на пари, і кожна пара дає додатне число. Але для $x=0$ маємо $x^4=0$:
$5\cdot0^4=5\cdot0=0$
Число 0 не є додатним. Отже, твердження хибне, а $x=0$ його спростовує.
Щоб спростувати твердження «для будь-яких значень», досить одного числа, для якого воно хибне. Для непарного показника таким числом часто буде від'ємне. Наприклад, $2b^3$ набуває від'ємного значення для $b=-1$:
2 · (−1)³ = −2.
Відповідь: ні, неправда; для $x=0$ значення дорівнює 0.
Приклад 8. Запиши одночленом об'єм коробки
Коробка має форму прямокутного паралелепіпеда. Її ширина дорівнює $a$ см, довжина в 4 рази більша за ширину, а висота вдвічі менша від довжини.
Розв'язання.
- 1)Довжина в 4 рази більша за ширину, тому вона дорівнює $4a$ см.
- 2)Висота вдвічі менша від довжини:
$4a:2=2a$ (см). - 3)Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:
$V=a\cdot4a\cdot2a=8a^3$ (см³).
Так само записують одночленом площу прямокутника: її знаходять як добуток довжини і ширини.
Відповідь: $8a^3$ см³.
Як перевірити себе
- Підстав замість букв невеликі числа. Обчисли значення одночлена з умови та своєї відповіді для тих самих чисел. Результати мають збігтися, бо зведення до стандартного вигляду не змінює значення одночлена. Бери числа 2 чи 3: для числа 1 будь-який степінь дорівнює 1, і помилки в показнику не буде видно.
- Порахуй мінуси ще раз. Знайди всі від'ємні множники, зокрема мінуси перед буквами. Якщо їх непарна кількість, коефіцієнт відповіді має бути від'ємним.
- Перевір степінь сумою. Додай показники всіх букв умови, зокрема невидимі показники 1. Ця сума має дорівнювати степеню твоєї відповіді, бо під час зведення до стандартного вигляду показники лише додаються.
Де найчастіше помиляються
1. Числовий множник узяли за коефіцієнт до зведення
Завдання: знайти коефіцієнт одночлена $3x\cdot4y$.
Неправильно
| коефіцієнт ${\color{#a72727}{3}}$ |
Правильно
| $3x\cdot4y={\color{#176b3a}{12}}xy$, коефіцієнт ${\color{#176b3a}{12}}$ |
Що сталося: в одночлені є два числові множники, 3 і 4. Коефіцієнт є лише в одночлена стандартного вигляду, де число одне.
Як помітити: якщо в одночлені більше ніж одне число, спершу перемнож усі числа.
2. У степені одночлена забули показник 1
Завдання: знайти степінь одночлена $a^4b$.
Неправильно
| степінь ${\color{#a72727}{4}}$ |
Правильно
| $a^4b^1$, степінь ${\color{#176b3a}{4+1=5}}$ |
Що сталося: урахували лише видимий показник. Буква $b$ без показника — це $b^1$, і її показник теж входить у суму.
Як помітити: перед тим як додавати, допиши показник 1 до кожної букви, біля якої його не видно.
3. Загубили знак при непарній кількості мінусів
Завдання: звести до стандартного вигляду $(-x)\cdot(-2y)\cdot(-x^3)$.
Неправильно
| $(-x)\cdot(-2y)\cdot(-x^3)={\color{#a72727}{2}}x^4y$ |
Правильно
| $(-x)\cdot(-2y)\cdot(-x^3)={\color{#176b3a}{-2}}x^4y$ |
Що сталося: два мінуси дали плюс, а про третій забули. Від'ємних множників тут три, тому добуток від'ємний.
Як помітити: перед множенням підкресли всі мінуси й порахуй їх.
4. Під час підстановки загубили мінус перед буквою
Завдання: знайти значення одночлена $-x^2$, якщо $x=-3$.
Неправильно
| $-x^2={\color{#a72727}{(-3)^2}}={\color{#a72727}{9}}$ |
Правильно
| $-x^2={\color{#176b3a}{-(-3)^2}}={\color{#176b3a}{-9}}$ |
Що сталося: число −3 поставили замість «$-x$», і мінус коефіцієнта зник. А до квадрата підносять лише $x$, тобто −3, а коефіцієнт −1 лишається перед степенем.
Як помітити: спершу перепиши вираз, замінивши лише букву на дужки: $-(\ )^2$. Потім впиши в дужки число.
Спробуй сам
- Які з виразів є одночленами: −0,7; $(a-3)\cdot b$; $-k^2m$; $y^5:y^2$?
- Зведи до стандартного вигляду: $-3m\cdot2n\cdot m^4$.
- Зведи до стандартного вигляду: $(-x)\cdot y^3\cdot(-4x^2)\cdot(-y)$.
- Зведи до стандартного вигляду: $-1\dfrac{1}{4}a^3\cdot8ab^2$.
- Зведи до стандартного вигляду: $t^2\cdot(-s)^5\cdot t$.
- Назви коефіцієнт і степінь одночлена $-x^2y^6z$.
- Зведи до стандартного вигляду і назви коефіцієнт і степінь: $0{,}2a\cdot5a^3$.
- Знайди значення одночлена $-2x^3$, якщо $x=-3$.
- Знайди значення одночлена $0{,}5ab^2$, якщо $a=4$, $b=-3$.
- Знайди значення $x$, для якого значення одночлена $-1{,}5x$ дорівнює 6.
- Знайди яку-небудь пару значень $a$ і $b$, для яких значення одночлена $3ab$ дорівнює 12.
- Чи правда, що одночлен $3y^3$ для будь-яких значень $y$ набуває додатних значень?
- Ширина прямокутника дорівнює $k$ м, а довжина в 4 рази більша. Запиши площу прямокутника одночленом.
Перевірити відповіді
- −0,7 і $-k^2m$.
- $-6m^5n$.
- $-4x^3y^4$.
- $-10a^4b^2$.
- $-s^5t^3$.
- Коефіцієнт −1, степінь 9.
- $a^4$; коефіцієнт 1, степінь 4.
- 54.
- 18.
- $x=-4$.
- Наприклад, $a=1$ і $b=4$. Підходить будь-яка пара, у якій $ab=4$.
- Ні. Для $y=-1$ значення дорівнює −3.
- $4k^2$ м².
Повне розв'язання завдання 3
| $(-x)\cdot y^3\cdot(-4x^2)\cdot(-y)$ |
| $=(-1)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot xx^2\cdot y^3y$ |
| $=-4x^3y^4$ |
- 1)Від'ємних множників три:
−1, −4 і −1. Кількість непарна, тому коефіцієнт від'ємний, і він дорівнює −4. - 2)Збираємо степені $x$:
1 + 2 = 3. Збираємо степені $y$:
3 + 1 = 4.
Повне розв'язання завдання 12
Показник 3 непарний, тому для від'ємного $y$ куб теж від'ємний. Візьмемо $y=-1$:
3 · (−1)³ = 3 · (−1) = −3.
Число −3 не є додатним, тому твердження хибне.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в загубленому мінусі або в невидимому показнику 1.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чому $-m$ — одночлен, а $m^6:m^2$ — ні. Правильна відповідь така: мінус перед буквою означає множник −1, а в другому виразі є ділення.
Запитайте, який коефіцієнт і степінь в одночлена $-ab^3$. Правильна відповідь така: коефіцієнт −1 і степінь 4. Якщо дитина назвала степінь 3, нагадайте, що буква без показника має показник 1.
Хай дитина перевірить своє зведення підстановкою. Наприклад, для $a=2$ значення $3a\cdot a^2$ і $3a^3$ однакові: 24 і 24.