Додавання і віднімання многочленів: як розкрити дужки і не загубити знаки — алгебра 7 клас

Приклад 1. Знайди суму многочленів $4a^2-3a+6$ і $-a^2+5a-8$

Розв'язання.

1. 1)Перед другими дужками стоїть «плюс», тому всі члени переписуємо з тими самими знаками.
2. 2)Зводимо члени з $a^2$:
   4 − 1 = 3. Член $-a^2$ має коефіцієнт −1.
3. 3)Зводимо члени з $a$:
   −3 + 5 = 2.
4. 4)Додаємо числа:
   6 − 8 = −2.

Відповідь: $3a^2+2a-2$.

Так само додають три й більше многочленів: кожен беруть у дужки і всі дужки розкривають. Буває, що многочлени позначено буквами, наприклад $a=2x-1$ і $b=x^2+3$, і треба знайти $a-b$. Тоді замість кожної букви пишуть її многочлен у дужках:
$(2x-1)-(x^2+3)$. Інакше знак перед буквою стосуватиметься лише першого члена многочлена.

Приклад 2. Від многочлена $6y^2+y-3$ відніми многочлен $2y^2-4y-7$

Розв'язання.

1. 1)Перед другими дужками стоїть «мінус». Тому змінюємо знак кожного з трьох членів:
   $2y^2$ стає $-2y^2$, $-4y$ стає $+4y$, а −7 стає +7.
2. 2)Зводимо подібні члени:
   6 − 2 = 4, 1 + 4 = 5 і −3 + 7 = 4. Член $y$ має коефіцієнт 1, бо одиницю не пишуть.

Відповідь: $4y^2+5y+4$.

Чому змінюються знаки всіх членів? Відняти многочлен означає відняти кожен його член. А відняти −7 — те саме, що додати 7.

Двочлени $a-b$ і $b-a$ протилежні: у них однакові члени з протилежними знаками. Тому їхня сума дорівнює нулю:
$(a-b)+(b-a)$
$=a-b+b-a=0$.

А їхня різниця нулем не є:
$(a-b)-(b-a)$
$=a-b-b+a=2a-2b$.

Якщо треба знайти значення суми чи різниці, спершу спрости вираз, а потім підставляй числа. Тоді обчислювати доведеться менше.

Приклад 3. Склади вираз до задачі

Робітник фарбував паркан 3 дні. Першого дня він пофарбував $x$ м, а кожного наступного дня — на 4 м більше, ніж попереднього. Скільки метрів паркану робітник пофарбував за 3 дні?

Розв'язання.

1. 1)Другого дня робітник пофарбував на 4 м більше, ніж першого, тобто $x+4$ (м).
2. 2)Третього дня — ще на 4 м більше, ніж другого:
   $(x+4)+4=x+8$ (м).
3. 3)Додаємо те, що пофарбовано за три дні:
   $x+(x+4)+(x+8)$
   $=x+x+4+x+8=3x+12$ (м).

Відповідь: $3x+12$ м.

Якщо кожного дня робітник фарбував на 4 м менше, ніж попереднього, вирази були б $x-4$ і $x-8$. Якщо питають лише про другий і третій день, додаємо тільки два останні вирази.

Приклад 4. Розв'яжи рівняння з многочленами в дужках

$(3x^2-2x+1)-(3x^2+4x-5)$
$=x-15$

Розв'язання.

Розкриємо дужки в лівій частині рівняння. Перед другими дужками стоїть «мінус», тому знаки всіх трьох членів змінюються:

$3x^2-2x+1-3x^2-4x+5=x-15$.

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву. Кожен перенесений доданок змінює знак:

1. 1)Члени $3x^2$ і $-3x^2$ дають 0, бо 3 − 3 = 0.
2. 2)Члени з $x$:
   −2 − 4 − 1 = −7. Член $x$ із правої частини перейшов уліво зі знаком «−».
3. 3)Числа 1 і 5 перейшли вправо зі знаком «−»:
   −15 − 1 − 5 = −21.
4. 4)Ділимо обидві частини на −7:
   −21 : (−7) = 3.

Відповідь: 3.

Перевіримо підстановкою $x=3$.
Ліва частина:
(27 − 6 + 1) − (27 + 12 − 5) = 22 − 34 = −12. Права частина:
3 − 15 = −12. Частини рівні, тож корінь знайдено правильно.

Завдання «Для якого значення $x$ різниця многочленів дорівнює многочлену чи числу?» розв'язують так само. Спершу записують рівність «різниця = многочлен (число)», а потім розв'язують це рівняння.

Приклад 5. Доведи, що значення виразу додатне для будь-якого значення $x$

Вираз:
$(6x^2+5x-1)-(x^2+5x-9)$
$-(2x^2-3)$.

Доведення.

Спростимо вираз:

1. 1)Члени з $x^2$:
   6 − 1 − 2 = 3. Члени з $x$ знищуються:
   5 − 5 = 0. Числа:
   −1 + 9 + 3 = 11.
2. 2)Значення $x^2$ невід'ємне для будь-якого $x$, бо квадрат числа не буває від'ємним. Тому й $3x^2$ невід'ємне.
3. 3)Якщо до невід'ємного числа додати 11, вийде число, не менше від 11. Отже, значення $3x^2+11$ додатне для будь-якого $x$.

Твердження доведено.

Звідси видно й найменше значення виразу. Член $3x^2$ дорівнює нулю лише при $x=0$, тому найменше значення виразу дорівнює 11 і буває при $x=0$.

Якщо після спрощення лишилося саме число, значення виразу не залежить від змінної. Ось такий вираз дорівнює 5 для будь-якого значення $x$:
$(x^2+3x)-(x^2+3x-5)$
$=x^2+3x-x^2-3x+5=5$.

Тотожність доводять так само, як у § 5: спрощують ліву частину і показують, що вийшла права. Якщо ліва частина вже коротка, спрощують праву.

Приклад 6. Доведи, що вираз ділиться на 5 для будь-якого натурального $n$

Вираз:
$(n^2+7n-2)-(n^2+2n-12)$.

Доведення.

Спростимо вираз:

1. 1)Члени з $n^2$ знищуються. Члени з $n$:
   7 − 2 = 5. Числа:
   −2 + 12 = 10.
2. 2)Доданок $5n$ ділиться на 5 для будь-якого натурального $n$, бо це 5, помножене на ціле число. Доданок 10 теж ділиться на 5.
3. 3)Якщо кожен доданок суми ділиться на 5, то й сума ділиться на 5. Так само й різниця двох чисел, що діляться на 5, ділиться на 5. Ці правила ти знаєш із 5–6 класів.

Твердження доведено.

Слова «кратне 4» означають те саме, що «ділиться на 4». Так само доводять, що сума кількох послідовних натуральних чисел ділиться на якесь число. Три послідовні натуральні числа записують як $n$, $n+1$ і $n+2$, додають ці многочлени і перевіряють, чи ділиться на це число кожен доданок результату.

Інколи треба довести, що при діленні буде певна остача. Тоді число в спрощеному виразі розбивають на дві частини. Перша частина ділиться на дільник з умови, а друга менша від дільника і є остачею. Доданок зі змінною теж має ділитися на дільник.

Наприклад, $4n+9=(4n+8)+1$. Доданки $4n$ і 8 діляться на 4, тому при діленні на 4 залишається 1.

Інколи цифри числа позначають буквами і ставлять над ними риску. Запис $\overline{xy}$ означає число, у якому $x$ десятків і $y$ одиниць, тобто $\overline{xy}=10x+y$. Наприклад, 58 = 10 · 5 + 8.

Так само трицифрове число, у якому $x$ сотень, $y$ десятків і $z$ одиниць, записують як $\overline{xyz}=100x+10y+z$. Після такого запису з числами працюють як з многочленами.

Приклад 7. Подай многочлен $3y^2-x+5xy-4+x^2-y$ у вигляді різниці двох многочленів, перший з яких містить змінну $y$, а другий її не містить

Розв'язання.

1. 1)Члени зі змінною $y$:
   $3y^2$, $5xy$ і $-y$. Їх беремо в перші дужки з тими самими знаками:
   $(3y^2+5xy-y)$.
2. 2)Члени без $y$:
   $-x$, −4 і $x^2$. Перед другими дужками стоїть «мінус». Тому змінюємо знаки цих членів:
   $-x$ стає $x$, −4 стає 4, а $x^2$ стає $-x^2$.
3. 3)Записуємо другі дужки, поставивши член з $x^2$ першим:
   $-(-x^2+x+4)$. Порядок членів у дужках можна змінювати, бо від цього многочлен не змінюється.

Перевіримо, розкривши дужки:
$3y^2+5xy-y+x^2-x-4$. Це ті самі шість членів, що й в умові, з тими самими знаками.

Відповідь: $(3y^2+5xy-y)-(-x^2+x+4)$.

Якщо в умові не сказано, які члени куди брати, правильних відповідей може бути кілька. Наприклад, для суми двочлена й тричлена можна вибрати різні пари членів для двочлена.

Приклад 8. Знайди многочлен $M$, для якого рівність є тотожністю

Рівність:
$M-(2a^2-ab+3)=a^2+4ab-1$.

Розв'язання.

Тут $M$ — зменшуване. Щоб його знайти, до різниці додамо від'ємник:

1. 1)Зводимо подібні:
   1 + 2 = 3, 4 − 1 = 3 і −1 + 3 = 2.
2. 2)Перевіряємо:
   $(3a^2+3ab+2)-(2a^2-ab+3)$
   $=3a^2+3ab+2-2a^2+ab-3$
   $=a^2+4ab-1$. Вийшла права частина, отже, многочлен знайдено правильно.

Відповідь: $M=3a^2+3ab+2$.

Якщо $M$ — доданок, від суми віднімають відомий доданок. Якщо $M$ — від'ємник, від зменшуваного віднімають різницю. Якщо дано $-M$, спершу знаходять $-M$, а потім змінюють знак кожного його члена.