Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Многочлен: як звести подібні члени і знайти степінь многочлена — алгебра 7 клас

Ти навчишся впізнавати многочлен, зводити його подібні члени й записувати многочлен у стандартному вигляді. А ще розберемо, як правильно знайти степінь многочлена і його значення.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке многочлен

Многочленом називають суму одночленів. Наприклад, вираз $4x^3-2xy+7$ є сумою одночленів $4x^3$, $-2xy$ і 7.

Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Знак перед членом належить цьому члену. Тому члени многочлена $4x^3-2xy+7$ — це $4x^3$, $-2xy$ і 7. Другий член береться разом із мінусом.

Многочлен із двох членів називають двочленом, а з трьох членів — тричленом. Наприклад, $a^2-5b$ — двочлен, а $4x^3-2xy+7$ — тричлен. Сам одночлен теж вважають многочленом, тільки з одного члена.

Щоб скласти многочлен з одночленів, їх записують через знак «+». Якщо коефіцієнт одночлена від'ємний, знак «+» перед ним не пишуть, а лишають тільки мінус. Наприклад, з одночленів $5m^2$, $-2m$ і 3 виходить многочлен $5m^2-2m+3$, а не $5m^2+(-2m)+3$.

Многочлен чи ні

Будь-який многочлен є цілим виразом. Але не кожен цілий вираз є многочленом: добуток, у якому є сума чи різниця, і степінь суми чи різниці не є сумою одночленів.

виразмногочлен?чому
$3x^2-\dfrac{1}{2}x+4$такце сума трьох одночленів, а дробовий коефіцієнт не заважає
$-5a^3b$такце одночлен, тобто многочлен з одного члена
7такчисло теж є одночленом
$\dfrac{x}{3}+y$так$\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$, тож це сума одночленів $\dfrac{1}{3}x$ і $y$
$2(x+1)$ніце добуток числа 2 і суми $x+1$
$(a-b)^2$ніце степінь різниці, а не сума одночленів
$\dfrac{4}{x-1}$нітут ділять на вираз зі змінною, тому це дробовий вираз, а не цілий

Подібні члени многочлена

Подібні доданки ти вже зводив у § 5. У многочлені їх називають подібними членами, а їх зведення — зведенням подібних членів многочлена.

Подібні члени мають однакову буквену частину: ті самі букви з тими самими показниками. Порядок букв не важливий, бо множники можна переставляти. Числа без букв теж подібні між собою.

пара членівподібні?чому
$6m^3n$ і $-2nm^3$такбукви й показники ті самі, змінився лише порядок
$x^2y$ і $xy^2$ніквадрат стоїть біля різних букв
5 і $-\dfrac{1}{2}$такобидва члени — числа без букв
$4ab$ і $4abc$ніу другому члені є ще буква $c$
$c^2c$ і $3c^3$так$c^2c=c^3$, тому буквена частина однакова
$2x$ і $2x^2$ніоднакові коефіцієнти не роблять члени подібними, бо показники різні

Щоб звести подібні члени, додаємо їхні коефіцієнти, а буквену частину лишаємо. Як і в § 5, подібні члени підкреслюємо: одну групу однією лінією, другу двома. Числа не підкреслюємо, бо їх і так видно. Для зручності групи ще й пофарбовано в різні кольори.

Як звести подібні члени

  1. Знайди члени з однаковою буквеною частиною і підкресли їх. Порядок букв не має значення. Показники ж мають бути ті самі.
  2. Кожен член бери разом зі знаком перед ним, бо цей знак належить коефіцієнту.
  3. Додай коефіцієнти кожної групи і допиши її буквену частину. Окремо додай числа без букв.
  4. Члени, які не мають подібних, перепиши без змін.

Приклад 1. Зведи подібні члени многочлена $4a^2b-3+5ba^2-ab^2+7$

Розв'язання.

${\color{#d86f12}{\underline{4a^2b}}}-3+{\color{#d86f12}{\underline{5ba^2}}}-ab^2+7$
$=9a^2b-ab^2+4$
  1. 1)Члени $4a^2b$ і $5ba^2$ подібні, бо $ba^2=a^2b$. Додаємо коефіцієнти:
    4 + 5 = 9, отже, виходить $9a^2b$.
  2. 2)Член $-ab^2$ не подібний до них: тут у квадраті стоїть буква $b$. Тому переписуємо його без змін.
  3. 3)Числа −3 і 7 теж подібні між собою:
    −3 + 7 = 4.

Відповідь: $9a^2b-ab^2+4$.

Буває, що коефіцієнти групи в сумі дають 0. Тоді вся група зникає, бо нуль, помножений на будь-яку буквену частину, дає 0. Наприклад, у многочлені $3xy-2-3xy$ члени з $xy$ дають 3 − 3 = 0, і лишається лише −2.

Замість підкреслень подібні члени можна зібрати в дужки. Тоді запис такий:
$(4a^2b+5ba^2)+(-3+7)-ab^2$.

Многочлен стандартного вигляду

Многочлен має стандартний вигляд, якщо кожен його член є одночленом стандартного вигляду і серед членів немає подібних. Наприклад, $9a^2b-ab^2+4$ має стандартний вигляд.

Отже, многочлен не має стандартного вигляду в двох випадках. Перший: хоча б один член записано не в стандартному вигляді, як $2x\cdot3y$ чи $c^2c$. Другий: у многочлені є подібні члени, як у $5m+2-m$.

Як записати многочлен у стандартному вигляді

  1. Зведи кожен член до стандартного вигляду: перемнож числа й збери степені кожної букви. Це ти вже вмієш робити з § 8 і § 9.
  2. Тепер знайди подібні члени. До першого кроку їх часто не видно, бо вони записані по-різному.
  3. Зведи подібні члени.

Приклад 2. Запиши многочлен у стандартному вигляді

Розв'язання.

Спершу зведемо до стандартного вигляду кожен член, а потім зведемо подібні члени.

$2x\cdot3xy+x^2y\cdot(-4)+5x\cdot x-2x^2$
$={\color{#d86f12}{\underline{6x^2y}}}-{\color{#d86f12}{\underline{4x^2y}}}+{\color{#176fc1}{\underline{\underline{5x^2}}}}-{\color{#176fc1}{\underline{\underline{2x^2}}}}$
$=2x^2y+3x^2$
  1. 1)Перший член:
    $2x\cdot3xy=6x^2y$, бо 2 · 3 = 6, а $x\cdot x=x^2$.
  2. 2)Другий член:
    $x^2y\cdot(-4)=-4x^2y$. Коефіцієнт пишемо на початку, а мінус стає знаком перед членом.
  3. 3)Третій член:
    $5x\cdot x=5x^2$. Четвертий член $-2x^2$ уже має стандартний вигляд.
  4. 4)Тепер видно дві групи подібних членів. Зводимо їх:
    6 − 4 = 2 і 5 − 2 = 3.

Відповідь: $2x^2y+3x^2$.

Чому не можна зводити одразу? У записі $2x\cdot3xy$ і $x^2y\cdot(-4)$ подібність не видно. Після першого кроку обидва члени мають буквену частину $x^2y$.

Степінь многочлена

Нагадаємо, що степінь одночлена дорівнює сумі показників усіх його букв. Наприклад, $-2a^3b^2$ — одночлен п'ятого степеня, бо 3 + 2 = 5. Число без букв має нульовий степінь.

Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів його членів. Наприклад, у многочлені $3x^4y-x^2+8$ член $3x^4y$ має степінь 4 + 1 = 5, бо буква $y$ без показника має показник 1. Член $-x^2$ має степінь 2, а число 8 — нульовий. Отже, це многочлен п'ятого степеня.

Якщо многочлен записано не в стандартному вигляді, його спершу зводять до стандартного вигляду. Степінь отриманого многочлена і вважають степенем початкового многочлена.

Як знайти степінь многочлена

  1. Запиши многочлен у стандартному вигляді. Під час зведення подібних членів ті, що мають найбільший степінь, можуть зникнути.
  2. Для кожного члена знайди його степінь: додай показники всіх букв. Буква без показника має показник 1.
  3. Обери найбільший із цих степенів. Це і є степінь многочлена.

Приклад 3. Визнач степінь многочлена $3a^2b^3+4ab-3b^3a^2+a^3-1$

Розв'язання.

Спершу запишемо многочлен у стандартному вигляді.

${\color{#d86f12}{\underline{3a^2b^3}}}+4ab-{\color{#d86f12}{\underline{3b^3a^2}}}+a^3-1$
$=4ab+a^3-1$
  1. 1)Члени $3a^2b^3$ і $-3b^3a^2$ подібні. Їхні коефіцієнти в сумі дають 3 − 3 = 0, тому обидва члени зникають.
  2. 2)Знаходимо степені членів, що лишилися. У $4ab$ степінь дорівнює 1 + 1 = 2, у $a^3$ степінь дорівнює 3, а число −1 має нульовий степінь.
  3. 3)Найбільший із цих степенів дорівнює 3.

Відповідь: многочлен третього степеня.

Якби ми шукали степінь одразу, то взяли б член $3a^2b^3$ п'ятого степеня. Але цей член зник під час зведення, тому відповідь «п'ятого степеня» була б хибною.

Члени многочлена з однією змінною зазвичай упорядковують за спаданням або за зростанням показників цієї змінної. Тоді степінь многочлена видно одразу.

Наприклад, $3y-5y^3+y^4+2$ за спаданням показників записують так: $y^4-5y^3+3y+2$, а за зростанням — так: $2+3y-5y^3+y^4$. Кожен член переносимо разом із його знаком.

Перший член многочлена записують без знака, але насправді перед ним стоїть «+». Тому, коли член $3y$ перейшов у середину, перед ним написали «+». А член $y^4$ став першим, і свій «+» він утратив.

Значення многочлена

Значення многочлена шукають так само, як значення будь-якого виразу зі змінними. Але спершу многочлен варто записати в стандартному вигляді. Тоді членів стає менше, і рахувати доводиться менше.

Приклад 4. Знайди значення многочлена $5x^2y-3xy+2-5yx^2+4xy$, якщо $x=-2$, $y=\dfrac{1}{2}$

Розв'язання.

Спершу зведемо подібні члени, а потім підставимо значення змінних.

${\color{#d86f12}{\underline{5x^2y}}}-{\color{#176fc1}{\underline{\underline{3xy}}}}+2-{\color{#d86f12}{\underline{5yx^2}}}+{\color{#176fc1}{\underline{\underline{4xy}}}}$
$=xy+2$
  1. 1)Члени з $x^2y$ зникають, бо 5 − 5 = 0.
  2. 2)Члени з $xy$ дають $xy$, бо −3 + 4 = 1, а коефіцієнт 1 не пишуть.
  3. 3)Підставляємо значення змінних:
    $xy+2=-2\cdot\dfrac{1}{2}+2=-1+2=1$.

Відповідь: 1.

Якщо підставляти одразу в многочлен з умови, доведеться обчислити п'ять членів. Відповідь буде та сама, бо зведення подібних не змінює значення многочлена. Але після зведення лишилося лише $xy+2$, тож і помилитися важче.

Чи може многочлен бути від'ємним

Квадрат будь-якого числа не буває від'ємним: він додатний або дорівнює нулю. Так само і будь-який інший парний степінь, наприклад четвертий, бо його можна записати квадратом: $a^4=(a^2)^2$.

Приклад 5. Доведи, що многочлен $3x^2+y^4+2$ для будь-яких значень $x$ і $y$ набуває лише додатних значень

Доведення.

  1. 1)Вираз $x^2$ не буває від'ємним, бо це квадрат числа. Тоді і член $3x^2$ не буває від'ємним, бо невід'ємне число помножили на додатне число 3.
  2. 2)Член $y^4$ не буває від'ємним, бо 4 — парний показник.
  3. 3)Отже, сума $3x^2+y^4$ додатна або дорівнює нулю. Якщо додати до неї 2, вийде число, не менше від 2. Тому значення многочлена завжди додатне.

Твердження доведено.

Звідси видно, що такий многочлен не може дорівнювати нулю чи бути від'ємним. А многочлен на кшталт $-a^2-4$ завжди від'ємний. Вираз $a^2$ не буває від'ємним, тому протилежний йому член $-a^2$ від'ємний або дорівнює нулю, а потім ми ще віднімаємо 4.

Якщо ж якась змінна стоїть у непарному степені, так міркувати не можна, бо непарний степінь від'ємного числа від'ємний. Наприклад, $c^3+1$ при $c=-2$ дорівнює −8 + 1 = −7.

Як дописати член, щоб вийшов потрібний степінь

Приклад 6. Запиши замість «зірочки» такий одночлен, щоб многочлен $a^5-3a^2b^2+2ab+*$ став многочленом четвертого степеня

Розв'язання.

  1. 1)Знаходимо степені членів. Член $a^5$ має п'ятий степінь, $-3a^2b^2$ — четвертий (2 + 2 = 4), а $2ab$ — другий.
  2. 2)Через член $a^5$ многочлен зараз має п'ятий степінь. Щоб степінь став четвертим, цей член має зникнути.
  3. 3)Член зникає, якщо додати до нього протилежний член, тобто $-a^5$, бо 1 − 1 = 0. Тому замість «зірочки» пишемо $-a^5$.

Перевіряємо:
$a^5-3a^2b^2+2ab-a^5=-3a^2b^2+2ab$. Найбільший степінь членів тепер дорівнює 4.

Відповідь: $-a^5$.

Якщо в многочлені немає членів четвертого чи вищого степеня, то досить дописати будь-який одночлен четвертого степеня. Наприклад, для $x^3+2x-1+*$ підійде $x^4$ або $5x^2y^2$. Тут правильних відповідей багато.

Так само міркують, коли треба, щоб у многочлені зникла змінна. Спершу зводять подібні члени з цією змінною. Якщо вийшов один член, замість «зірочки» пишуть член, протилежний до нього.

Заміна змінної одночленом

Приклад 7. Заміни в многочлені $x^3-2x^2+x-5$ змінну $x$ одночленом $-3b$ і запиши результат у стандартному вигляді

Розв'язання.

Скрізь, де стоїть $x$, пишемо $-3b$ у дужках. Дужки потрібні, бо до степеня підносимо весь одночлен разом зі знаком.

$(-3b)^3-2\cdot(-3b)^2+(-3b)-5$
$=-27b^3-2\cdot9b^2-3b-5$
$=-27b^3-18b^2-3b-5$
  1. 1)Підносимо одночлен до куба:
    $(-3b)^3=-27b^3$. Показник 3 непарний, тому мінус лишається.
  2. 2)Підносимо одночлен до квадрата:
    $(-3b)^2=9b^2$, бо показник 2 парний. Потім множимо:
    $-2\cdot9b^2=-18b^2$.
  3. 3)Член $+(-3b)$ записуємо як $-3b$.

Відповідь: $-27b^3-18b^2-3b-5$.

Подібних членів тут не з'явилося, бо різні показники $x$ дали різні показники $b$. Так буває завжди, коли в многочлені одна змінна і її замінюють одночленом.

Як перевірити себе

  1. Перевір, чи не повторюються буквені частини. У многочлені стандартного вигляду кожна буквена частина трапляється не більше ніж один раз. Член без букв теж може бути лише один, а може й не бути зовсім. Якщо якась буквена частина повторюється, ти звів не всі подібні члени.
  2. Перевір знаки. Подивись, який знак стояв перед кожним членом в умові. Коефіцієнт члена, перед яким стоїть мінус, додавай як від'ємне число, бо цей знак належить члену.
  3. Визначай степінь лише після зведення. Член найбільшого степеня може зникнути, і тоді степінь многочлена стане меншим.
  4. Підстав замість букв невеликі числа. Обчисли значення многочлена з умови і своєї відповіді для тих самих чисел, наприклад для $x=2$ і $y=3$. Значення мають збігтися, бо зведення подібних не змінює значення. Числа 0, 1 і −1 не бери: їхні степені майже не відрізняються, і помилку в показнику не видно.

Де найчастіше помиляються

1. Степінь визначили до зведення подібних членів

Завдання: визначити степінь многочлена $p^6+2p-p^6$.

Неправильно

$p^6+2p-p^6$ — шостого степеня

Правильно

$p^6+2p-p^6=2p$ — першого степеня

Що сталося: степінь узяли за членом $p^6$. Але члени $p^6$ і $-p^6$ подібні й разом дають 0, тож лишається $2p$.

Як помітити: перш ніж шукати степінь, перевір, чи многочлен має стандартний вигляд.

2. Степінь члена взяли за найбільшим показником однієї букви

Завдання: визначити степінь многочлена $2x^2y^3-x^4+1$.

Неправильно

$2x^2y^3-x^4+1$ — четвертого степеня

Правильно

$2x^2y^3-x^4+1$ — п'ятого степеня

Що сталося: найбільшим показником виявилося 4 у члені $-x^4$. Але степінь члена $2x^2y^3$ дорівнює сумі показників: 2 + 3 = 5.

Як помітити: біля кожного члена запиши його степінь як суму показників і лише потім обирай найбільший.

3. Подібними вважали члени, у яких показники стоять біля різних букв

Завдання: звести подібні члени многочлена $x^2y+xy^2$.

Неправильно

$x^2y+xy^2={\color{#a72727}{2x^2y}}$

Правильно

у $x^2y+xy^2$ подібних членів немає

Що сталося: члени мають ті самі букви, але в першому в квадраті стоїть $x$, а в другому — $y$. Тому буквені частини різні, і члени не подібні.

Як помітити: порівняй показники кожної букви окремо. Біля $x$ у першому члені стоїть показник 2, а в другому — 1, тому буквені частини різні.

4. Знак перед членом не взяли разом із членом

Завдання: звести подібні члени многочлена $3a^2-7a+2-5a^2$.

Неправильно

$3a^2-7a+2-5a^2={\color{#a72727}{8a^2}}-7a+2$

Правильно

$3a^2-7a+2-5a^2={\color{#176b3a}{-2a^2}}-7a+2$

Що сталося: коефіцієнти 3 і 5 додали, хоча перед $5a^2$ стоїть мінус. Коефіцієнт цього члена дорівнює −5, тому 3 + (−5) = −2.

Як помітити: підкресли подібні члени разом зі знаками перед ними і випиши їхні коефіцієнти: 3 і −5.

Спробуй сам

  1. Які з виразів є многочленами: $2x^2-\dfrac{1}{3}x$; $(a-4)(a+1)$; $\dfrac{5}{b+1}$; −7; $c^2(c-1)$?
  2. Зведи подібні члени многочлена: $6mn^2-4+3n^2m-m^2n+9$.
  3. Запиши многочлен у стандартному вигляді й визнач його степінь: $4a\cdot3ab-2a^2b+a\cdot5a\cdot(-a)$.
  4. Визнач степінь многочлена: $c^5-2c^3+4-c^5$.
  5. Запиши многочлен за спаданням показників степенів змінної: $3y^2-8+y^5-6y^3+2y$.
  6. Знайди значення многочлена $3x^2-x^3+x^3-2x^2+x$, якщо $x=-\dfrac{1}{2}$.
  7. Доведи, що многочлен $-a^2-2b^4-1$ для будь-яких значень $a$ і $b$ набуває лише від'ємних значень.
  8. Запиши замість «зірочки» такий одночлен, щоб у многочлені $5x-1+2y-8x+*$ після зведення подібних не лишилося змінної $x$.
  9. Запиши замість «зірочки» такий одночлен, щоб многочлен $y^6-2y^4+y+*$ став многочленом четвертого степеня.
  10. Заміни в многочлені $2x^2-x+4$ змінну $x$ одночленом $-3a$ і запиши результат у стандартному вигляді.
Перевірити відповіді
  1. Многочлени: $2x^2-\dfrac{1}{3}x$ і −7. Решта — добутки й дробовий вираз.
  2. $9mn^2-m^2n+5$.
  3. $10a^2b-5a^3$, многочлен третього степеня.
  4. Третього степеня, бо $c^5-2c^3+4-c^5=-2c^3+4$.
  5. $y^5-6y^3+3y^2+2y-8$.
  6. $-\dfrac{1}{4}$.
  7. $a^2$ і $b^4$ не бувають від'ємними, тому $-a^2-2b^4$ від'ємне або дорівнює нулю. Після віднімання 1 значення завжди від'ємне.
  8. $3x$.
  9. $-y^6$.
  10. $18a^2+3a+4$.

Повне розв'язання завдання 3

$4a\cdot3ab-2a^2b+a\cdot5a\cdot(-a)$
$={\color{#d86f12}{\underline{12a^2b}}}-{\color{#d86f12}{\underline{2a^2b}}}-5a^3$
$=10a^2b-5a^3$
  1. 1)Зводимо члени до стандартного вигляду:
    $4a\cdot3ab=12a^2b$ і $a\cdot5a\cdot(-a)=-5a^3$.
  2. 2)Зводимо подібні:
    12 − 2 = 10.
  3. 3)Степені членів: у $10a^2b$ він дорівнює 2 + 1 = 3, у $-5a^3$ теж 3. Тому многочлен третього степеня.

Повне розв'язання завдання 10

$2\cdot(-3a)^2-(-3a)+4$
$=2\cdot9a^2+3a+4$
$=18a^2+3a+4$

Квадрат дає $(-3a)^2=9a^2$, бо показник парний. Мінус перед дужками змінює знак: $-(-3a)=3a$.

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що степінь шукали до зведення подібних або загубили знак перед членом.

Для батьків

Запитайте дитину, чи подібні члени $x^2y$ і $xy^2$. Правильна відповідь — ні, бо в квадраті стоять різні букви. Добре, якщо дитина пояснить це сама.

Попросіть визначити степінь многочлена $a^4+3a-a^4$. Якщо дитина відповіла «четвертого», нагадайте, що спершу треба звести подібні члени. Тоді лишається $3a$, тобто многочлен першого степеня.

Хай дитина перевірить свою відповідь підстановкою, наприклад для $a=2$. Значення многочлена із завдання і відповіді мають збігтися, бо зведення подібних значення не змінює.

Повідомити про помилку