Лінійне рівняння з однією змінною: як розв'язати і коли коренів немає або безліч — алгебра 7 клас

Приклад 1. Визнач, чи є рівняння лінійним і скільки в нього коренів

Розглянемо шість рівнянь.

1. 1)Шукаємо вигляд $ax=b$: число, помножене на $x$, дорівнює числу. У пункті 2 є $x^2$ — квадрат змінної. Такого в лінійному рівнянні немає.
2. 2)Дивимося на коефіцієнт $a$ біля $x$. Якщо $a\ne 0$, корінь один.
3. 3)Якщо $a=0$, дивимося на праву частину: 0 — коренів безліч, інше число — коренів немає.

Зверни увагу на пункт 5. Там праворуч 0, але $a\ne 0$. Це звичайне рівняння з одним коренем: $x=0:0{,}45=0$.

Відповідь: лінійні всі, крім 2); один корінь — 1), 5); коренів немає — 3), 6); безліч коренів — 4).

Приклад 2. Розв'яжи рівняння з десятковим, дробовим і від'ємним коефіцієнтом

Розв'яжемо чотири рівняння. Щоразу ділимо праву частину на коефіцієнт $a$.

1. 1)У пункті 1 ділимо 9 на 0,4. Переносимо кому на один знак в обох числах: 90 : 4 = 22,5.
2. 2)У пункті 2 мішане число записуємо неправильним дробом: $1\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$. Ділити на дріб — те саме, що множити на обернений дріб.
3. 3)У пункті 3 запис $-x$ означає $-1\cdot x$. Коефіцієнт $a=-1$, тож корінь — число, протилежне правій частині.
4. 4)У пункті 4 нуль ділимо на $\frac{5}{6}$ і дістаємо 0.

Відповідь: 1) 22,5; 2) $-1\frac{1}{2}$; 3) $-2\frac{3}{5}$; 4) 0.

Приклад 3. Склади лінійне рівняння за умовою

Розв'яжемо п'ять завдань.

1. 1)Корінь — число, яке перетворює рівняння на правильну рівність. Тому в пунктах 1 і 2 підставляємо корінь замість $x$ і рахуємо, що має стояти праворуч.
2. 2)У пункті 2 коефіцієнт $a$ вибираємо самі. Годиться будь-яке число, крім нуля.
3. 3)Для пунктів 3 і 4 беремо $a=0$ за схемою вище. У пункті 3 праворуч — будь-яке число, крім нуля.
4. 4)Рівносильні рівняння мають ті самі корені. У пункті 5 перетворюємо початкове рівняння, як у § 1: розкриваємо дужки, переносимо доданки зі зміною знака, ділимо обидві частини на 2. Дістаємо корінь 5. Кожен рядок ланцюжка має той самий корінь 5, тож будь-який із них — рівносильне рівняння.

Відповідь: 1) $6x=-42$; 2) наприклад, $4x=-2$; 3) наприклад, $0x=5$; 4) $0x=0$; 5) наприклад, $2x=10$.

Приклад 4. З'ясуй, чи рівносильні рівняння, і знайди невідомий коефіцієнт

Нагадаємо: рівносильні рівняння мають ті самі корені. Рівняння без коренів теж рівносильні між собою.

Розв'яжемо чотири завдання.

1. 1)У пунктах 1 і 2 розв'язуємо обидва рівняння і порівнюємо корені. Якби корені були різні, рівняння не були б рівносильними.
2. 2)У пункті 3 перше рівняння має корінь 3. Щоб рівняння були рівносильними, друге рівняння теж має мати корінь 3.
3. 3)Підставляємо $x=3$ у друге рівняння. Тепер невідоме — $b$, і ми розв'язуємо рівняння з ним.
4. 4)У пункті 4 частка $0:x$ за будь-якого $x\ne 0$ дорівнює 0, а на нуль ділити не можна. Тому $0:x=6$ коренів не має. Друге рівняння має коренем будь-яке число, тож рівняння не рівносильні.

Перевіримо пункт 3: $2x-5=1$, $2x=6$, $x=3$. Корінь той самий.

Відповідь: 1) рівносильні; 2) рівносильні; 3) $b=-5$; 4) не рівносильні.

Приклад 5. Розв'яжи рівняння з дужками й перенесенням доданків

Розв'яжемо два рівняння. Знаменників тут немає, тож починаємо з кроку 2.

1. 1)Розкриваємо дужки. $4(2x-3)=8x-12$. Перед дужкою $(5x+1)$ стоїть мінус, тому обидва доданки змінюють знак: $-5x-1$.
2. 2)Доданок $-2x$ переносимо ліворуч, він стає $+2x$. Числа −12 і −1 переносимо праворуч, вони стають +12 і +1.
3. 3)Зводимо подібні: $8x-5x+2x=5x$ і 7 + 12 + 1 = 20. Ділимо 20 на коефіцієнт 5.
4. 4)У пункті 2 дужок немає: одразу переносимо $0{,}7x$ ліворуч, а −3 праворуч.

Відповідь: 1) 4; 2) 9.

Приклад 6. Розв'яжи рівняння з дужками в дужках

1. 1)Починаємо з внутрішніх дужок: $2(x-1)=2x-2$. У великій дужці зводимо подібні: −2 + 3 = 1.
2. 2)Тепер дужка одна: $4(2x+1)=8x+4$. Праворуч $5(x+2)=5x+10$.
3. 3)Переносимо, зводимо подібні і ділимо: $x=6:3=2$.

Відповідь: 2.

Приклад 7. Розв'яжи рівняння з дробами

Розв'яжемо два рівняння.

1. 1)Знаменники 2 і 5. Найменший спільний знаменник — 10. Множимо на 10 обидві частини: кожен дріб і число 4 праворуч.
2. 2)Скорочуємо: 10 : 2 = 5, 10 : 5 = 2. Чисельники одразу пишемо в дужках: $5(x+4)$ і $2(x-1)$.
3. 3)Перед $2(x-1)$ стоїть мінус. Тому $-2(x-1)=-2x+2$: знак змінює і $x$, і число.
4. 4)У пункті 2 знаменники 3 і 2, множимо на 6: 6 : 3 = 2, 6 : 2 = 3. Далі — як у прикладі 5.

Перевіримо пункт 1: $\frac{6+4}{2}-\frac{6-1}{5}=5-1=4$. Правильно.

Відповідь: 1) 6; 2) 14.

Приклад 8. Розв'яжи рівняння, у яких змінна «зникає»

Розв'яжемо два рівняння.

1. 1)Розв'язуємо за тими самими кроками. Після зведення подібних коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю: 3 − 1 − 2 = 0, а в пункті 2 — 2 + 1 − 3 = 0.
2. 2)Далі дивимося на схему «Скільки коренів». $0x=0$ — коренем є будь-яке число. $0x=-1$ — коренів немає.
3. 3)У пункті 2 множимо на 6: 6 : 3 = 2, 6 : 6 = 1, 6 : 2 = 3. Дріб $\frac{x-2}{6}$ перетворюється на $(x-2)$: дужки зберігаємо, щоб не помилитися зі знаком.

Відповідь: 1) будь-яке число; 2) коренів немає.

Приклад 9. Знайди, для якого x значення виразу дорівнює числу або іншому виразу

Щоб відповісти, записуємо умову рівнянням і розв'язуємо його.

1. 1)Якщо значення двох виразів рівні, просто ставимо між ними знак «=». Наприклад, $3x-1=x+5$, звідки $x=3$.
2. 2)«Утричі більше» означає: більший вираз дорівнює меншому, помноженому на 3. Менший вираз $x+1$ беремо в дужки, бо на 3 множимо весь вираз.
3. 3)«На 6,5 більше» означає: більший вираз дорівнює меншому плюс 6,5. «На 6,5 менше» — навпаки: менший вираз дорівнює більшому мінус 6,5.

Перевіримо пункт 2: 2 · 2 + 5 = 9 і 2 + 1 = 3. Справді, 9 = 3 · 3.

Відповідь: 1) −3; 2) 2; 3) 0,9.

Приклад 10. Розв'яжи рівняння, де x — змінна

Розв'яжемо два рівняння.

1. 1)Доданки з $x$ переносимо ліворуч, доданки з $m$ — праворуч. Знаки при перенесенні змінюємо, як із числами.
2. 2)Зводимо подібні: $-6m-3m=-9m$. Ділимо на коефіцієнт 3.
3. 3)У пункті 2 праворуч лишаються різні букви $c$ і $b$. Їх не зводимо: відповідь записуємо дробом.

Відповідь: 1) $-3m$; 2) $\frac{5c-b}{3}$.

Приклад 11. Знайди значення букви, якщо відомий корінь

Розв'яжемо два завдання.

1. 1)Корінь підставляємо замість $x$. Виходить рівняння, де невідоме — $a$.
2. 2)Розв'язуємо його за звичайними кроками.

Перевіримо пункт 2: за $a=-7$ рівняння має вигляд $-5x=15$, його корінь $x=-3$.

Відповідь: 1) $a=4$; 2) $a=-7$.

Приклад 12. Знайди, за яких значень букви рівняння не має коренів або має їх безліч

Розв'яжемо чотири завдання. Коефіцієнт при $x$ тут записано з буквою, тому дивимося на схему «Скільки коренів».

1. 1)У пункті 1 коренів немає, коли коефіцієнт при $x$ дорівнює 0, а права частина — ні. Права частина 7 від $a$ не залежить, тож досить $a-3=0$.
2. 2)У пункті 2 коренів безліч, коли нулю дорівнюють обидва коефіцієнти. Тут обидва дорівнюють $m+4$. За інших $m$ корінь один: $x=(m+4):(m+4)=1$.
3. 3)У пункті 3 за $n=0$ маємо $0x=8$ — коренів немає. Інакше $x=\frac{8}{n}$. Цей дріб — ціле число, коли 8 ділиться на $n$. Не забудь від'ємні дільники. Якщо корінь має бути натуральним, беремо лише ті дільники, за яких $\frac{8}{n}$ додатне: 1, 2, 4, 8.
4. 4)У пункті 4 права частина стає нулем разом із коефіцієнтом. Тому за $a=-5$ коренів безліч, а за інших $a$ корінь один. Коренів немає за жодного $a$.

Відповідь: 1) $a=3$; 2) $m=-4$; 3) $n$ — одне з чисел −8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8; 4) таких значень немає.

Приклад 13. Розв'яжи рівняння |2x + 3| = 7

1. 1)Під модулем стоїть вираз $2x+3$. Його значення дорівнює 7 або −7. Записуємо два рівняння поруч.
2. 2)Розв'язуємо кожне: переносимо 3 праворуч і ділимо на 2.

Перевіримо: $|2\cdot 2+3|=|7|=7$ і $|2\cdot(-5)+3|=|{-7}|=7$. Обидва корені підходять.

Відповідь: 2; −5.

Приклад 14. Розв'яжи рівняння, де модуль спершу треба виразити

Розв'яжемо чотири рівняння. Спершу знаходимо, чому дорівнює модуль, а потім — $x$.

1. 1)У пункті 1 переносимо 3 праворуч і ділимо на 2: $|x-1|=4$. Далі — два випадки, як у прикладі 13.
2. 2)У пункті 2 модуль дорівнює від'ємному числу. Так не буває, тож коренів немає.
3. 3)У пункті 3 модуль дорівнює нулю лише тоді, коли сам вираз дорівнює нулю. Тому корінь один.
4. 4)У пункті 4 розкриваємо дужки і працюємо з $|x|$ як з однією буквою: $3|x|-|x|=2|x|$.

Відповідь: 1) 5; −3; 2) коренів немає; 3) 6; 4) 3; −3.