Ти дізнаєшся, чим аксіома відрізняється від теореми й означення. А ще навчишся знаходити в твердженні умову й висновок і записувати коротке доведення з обґрунтуванням кожного кроку.
Уже записав доведення й сумніваєшся, чи його зарахують? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Аксіоми: твердження, які приймають без доведення
Кожне міркування мусить із чогось починатися. Тому кілька найпростіших властивостей точок, прямих, відрізків і кутів приймають без доведення. Такі твердження називають аксіомами.
Слово «аксіома» прийшло з грецької мови. Воно означає «прийняте положення».
Сім аксіом ти вже знаєш з § 1–3. Там вони стояли в рамках, але ще без назви. У підручнику їх нумерують римськими цифрами.
| I. | У кожної прямої є точки, які їй належать, і точки, які їй не належать. |
| II. | Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. |
| III. | З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими. |
| IV. | Довжина кожного відрізка більша за нуль. |
| V. | Внутрішня точка ділить відрізок на дві частини, і сума їхніх довжин дорівнює довжині всього відрізка. |
| VI. | Градусна міра кожного кута більша за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. |
| VII. | Промінь, що проходить між сторонами кута, ділить його на два кути, і сума їхніх градусних мір дорівнює градусній мірі всього кута. |
Перші три аксіоми ти зустрічав у § 1, аксіоми IV і V — у § 2, а VI і VII — у § 3. Аксіому V там називали основною властивістю вимірювання відрізків, а аксіому VII — основною властивістю вимірювання кутів.
Теореми: твердження, які доводять
Теорема — це твердження, правильність якого встановлюють міркуваннями. Самі міркування називають доведенням теореми. Першу теорему курсу, про суміжні кути, доводять у § 5.
Теоремами в підручнику називають найважливіші твердження, на які потім часто посилаються. Інші твердження, які доводять у задачах і прикладах, будують і записують так само. Тому все, що сказано нижче про теореми, стосується і їх.
Кожна теорема має умову і висновок. Умова — це те, що дано. Висновок — це те, що потрібно довести.
Головне правило доведення. У доведенні можна спиратися лише на умову, означення, аксіоми і теореми, які вже доведено раніше. Інші властивості фігур використовувати не можна, навіть якщо вони здаються очевидними.
Чому так суворо? Креслення може обманювати: точка, яка на око лежить на прямій, насправді може бути трохи поруч. А слово «очевидно» нічого не пояснює тому, кому це не очевидно.
Означення: пояснюють, що означає слово
Означення — це твердження, яке пояснює зміст певного поняття (терміна). Наприклад, означення бісектриси кута каже, який саме промінь так називають. Означення не доводять: це домовленість про те, що означає слово.
Ти вже знаєш означення відрізка, кута, бісектриси кута і середини відрізка. У доведенні на означення посилаються так само, як на аксіому: «(за означенням бісектриси кута)».
Пам'ятка: аксіома, теорема чи означення
| Аксіома | Це найпростіша властивість фігур. Її приймають без доведення. Приклад: через дві точки можна провести тільки одну пряму. |
| Теорема | Це твердження, яке доводять міркуваннями. Так само доводять і твердження в задачах. Приклад: половини рівних відрізків рівні. У § 2 це назвали очевидним, а нижче ми це доведемо. |
| Означення | Воно пояснює, що означає слово. Його не доводять. Приклад: середина відрізка — це точка, яка ділить відрізок на два рівні відрізки. |
Як визначити, чи є твердження означенням, аксіомою чи теоремою
- Запитай себе, чи пояснює твердження, що означає якесь слово. Якщо пояснює, це означення.
- Перевір, чи є твердження серед аксіом I–VII. Якщо є, його приймають без доведення і лише посилаються на нього.
- Якщо твердження не пояснює слова і його немає серед аксіом, його треба довести. Коли його доведено, на нього можна посилатися так само, як на аксіому.
Приклад 1. Визнач, що це: означення, аксіома чи твердження, яке треба довести
1) Розгорнутий кут — це кут, сторони якого є доповняльними променями.
2) Будь-який розгорнутий кут дорівнює 180°.
3) Половини рівних кутів рівні.
Розв'язання. Для кожного твердження ставимо ті самі запитання з рамки вище.
| 1) | Твердження пояснює, який кут називають розгорнутим. Отже, це означення. |
| 2) | Таке твердження є в аксіомі VI. Отже, це аксіома. |
| 3) | Твердження не пояснює слова, і серед аксіом його немає. Отже, його треба довести. |
Третє твердження в § 3 назвали очевидним. Але очевидність не звільняє від доведення. Його доводять за аксіомою VII так само, як нижче доводимо твердження про половини рівних відрізків.
Відповідь: 1) означення; 2) аксіома VI; 3) твердження, яке треба довести.
Умова і висновок
Найлегше знайти умову й висновок, коли твердження звучить як «Якщо …, то …». Те, що стоїть після слова «якщо», — умова. Те, що стоїть після слова «то», — висновок.
Багато тверджень записують коротше, без слова «якщо». Тоді їх спершу переказують у формі «Якщо …, то …».
Умову прийнято записувати після слова «Дано», а висновок — після слова «Довести». Букви для цього запису беруть із креслення.
У § 5–13 доведення теорем у підручнику записано суцільним текстом, без рядків «Дано» і «Довести». Але подумки умову й висновок однаково треба розділити.
Приклад 2. Знайди умову й висновок у твердженні «Половини рівних відрізків рівні»
Розв'язання.
- 1)Переказуємо твердження зі словом «якщо»: «Якщо два відрізки рівні, то їхні половини теж рівні».
- 2)Креслимо два рівні відрізки AB і CD. Позначаємо середини: M — середина відрізка AB, N — середина відрізка CD.
- 3)Записуємо умову й висновок буквами креслення.
AB = CD; M і N — середини відрізків.
| Дано: AB = CD; M — середина відрізка AB; N — середина відрізка CD. |
| Довести: AM = CN. |
Чому у висновку саме AM і CN? AM — половина відрізка AB, а CN — половина відрізка CD. Замість них можна взяти будь-яку половину кожного відрізка, наприклад MB і ND.
Відповідь: умова — два відрізки рівні; висновок — їхні половини рівні.
Як записують доведення
Доведення починають словом «Доведення.». Далі називають фігури з умови: «Нехай …». Після кожного кроку в дужках пишуть обґрунтування: «(за умовою)», «(за аксіомою V)», «(за означенням середини відрізка)».
У підручнику доведення теореми закінчують словами «Теорему доведено». Ми доводимо не теореми підручника, тому пишемо «Твердження доведено». Так читач бачить, що міркування закінчилося.
Як записати доведення
- Зроби креслення і познач на ньому все, що дано в умові.
- Почни словом «Доведення.» і назви фігури з умови: «Нехай …».
- До кожного кроку допиши в дужках, на що він спирається: на умову, означення, аксіому чи доведену теорему.
- Дійди до висновку й порівняй його з тим, що треба було довести. Якщо вони збігаються, напиши «Твердження доведено».
Приклад 3. Доведи, що половини рівних відрізків рівні
Дано: AB = CD; M — середина відрізка AB; N — середина відрізка CD. Довести: AM = CN.
AB = CD; M і N — середини відрізків.
Доведення. Нехай відрізки AB і CD рівні, а M і N — їхні середини.
| 1) | AM = MB (за означенням середини відрізка). |
| 2) | AM + MB = AB (за аксіомою V). Тому AM + AM = AB, тобто AM = AB : 2. |
| 3) | Так само CN = ND (за означенням середини відрізка) і CN + ND = CD (за аксіомою V). Тому CN = CD : 2. |
| 4) | AB = CD (за умовою), тому AB : 2 = CD : 2. Отже, AM = CN. Твердження доведено. |
- 1)Першим кроком розгортаємо слово «середина» за означенням: точка M ділить відрізок AB на дві рівні частини.
- 2)Аксіома V пов'язує частини відрізка з усім відрізком. Саме вона дозволяє сказати, що кожна половина дорівнює AB : 2.
- 3)Рівність AB = CD ми не вимірювали, а взяли з умови. Тому в дужках стоїть «за умовою».
Перевірка на числах: якщо AB = CD = 6 см, то AM = CN = 3 см. Числа не є доведенням, але допомагають помітити хибне твердження.
Як перевірити себе
- Перевір дужки. Після кожного кроку доведення має стояти обґрунтування. Крок без нього — це місце, де ти щось прийняв на віру.
- Порівняй обґрунтування з висновком. Якщо в дужках стоїть те, що треба довести, міркування ходить по колу. Таке доведення нічого не доводить.
- Перевір, чи використано всю умову. Зазвичай у доведенні потрібна кожна частина умови. Якщо одна частина не знадобилася, перечитай доведення: можливо, ти пропустив крок.
- Підстав зручні числа. Числа не доводять твердження, але швидко показують, коли воно хибне. Чи правда, що половини будь-яких двох кутів рівні? Візьми кути 80° і 70°: їхні половини 40° і 35° різні. Отже, без умови «кути рівні» твердження хибне.
Де найчастіше помиляються
1. Написали «очевидно» або «видно з креслення» замість обґрунтування
Завдання: точка C лежить між точками A і B. Довести, що AC < AB.
Неправильно
| З креслення видно, що AC коротший. |
| Очевидно, AC < AB. |
Правильно
| AC + CB = AB (за аксіомою V) |
| CB > 0 (за аксіомою IV) |
| До AC додали додатне CB, тому AC < AC + CB = AB. |
Що сталося: креслення допомагає уявити умову, але нічого не доводить. Якби точка C стояла зовсім близько до B, на око не було б видно, що AC коротший за AB. Проте твердження однаково було б правильним.
Як помітити: шукай у своєму доведенні слова «очевидно», «видно», «зрозуміло». Кожне з них заміни посиланням на умову, означення чи аксіому.
2. Переплутали умову й висновок
Завдання: записати умову й висновок твердження «Якщо точка C — середина відрізка AB, то AC = AB : 2».
Неправильно
| Дано: AC = AB : 2. |
| Довести: C — середина відрізка AB. |
Правильно
| Дано: C — середина відрізка AB. |
| Довести: AC = AB : 2. |
Що сталося: умову й висновок поміняли місцями. Вийшло інше твердження, а доводити треба було те, яке дали.
Як помітити: умова стоїть після слова «якщо», а висновок — після слова «то». Звір рядок «Дано» з тим, що стоїть після «якщо».
3. В обґрунтуванні послалися на те, що треба довести
Завдання: кути AOB і CPD рівні, промінь OK — бісектриса кута AOB, промінь PL — бісектриса кута CPD. Довести, що ∠AOK = ∠CPL.
Неправильно
| Довести: ∠AOK = ∠CPL. |
| ∠AOK = ∠CPL (бо половини рівних кутів рівні). |
Правильно
| ∠AOK = ∠KOB (за означенням бісектриси кута) |
| ∠AOK + ∠KOB = ∠AOB (за аксіомою VII), тому ∠AOK + ∠AOK = ∠AOB і ∠AOK = ∠AOB : 2 |
| Так само ∠CPL = ∠LPD (за означенням бісектриси кута) і ∠CPL + ∠LPD = ∠CPD (за аксіомою VII), тому ∠CPL = ∠CPD : 2 |
| ∠AOB = ∠CPD (за умовою), тому ∠AOK = ∠CPL |
Що сталося: твердження «половини рівних кутів рівні» ще не доведено. Його саме й треба довести для кутів AOK і CPL. Спиратися на недоведене не можна, тому таке доведення нічого не доводить.
Як помітити: прочитай обґрунтування в дужках і порівняй його з рядком «Довести». Якщо в дужках те саме, лише загальними словами, міркування ходить по колу.
Звідки взялися аксіоми
Так будувати геометрію запропонував давньогрецький учений Евклід у праці «Начала» (III ст. до н. е.). Спершу формулюють аксіоми, а потім з них міркуваннями доводять теореми. Науку, викладену в «Началах», називають евклідовою геометрією.
У 1880 році український математик Михайло Ващенко-Захарченко видав переклад «Начал» і додав пояснення інших питань геометрії. А повну систему аксіом геометрії Евкліда на межі XIX і XX століть завершив німецький математик Давид Гільберт.
Спробуй сам
- Визнач, що це: означення, аксіома чи твердження, яке треба довести. 1) Відрізок — це дві точки прямої разом з усіма точками прямої, що лежать між ними. 2) Довжина кожного відрізка більша за нуль. 3) Якщо точка C лежить між точками A і B, то CB < AB.
- Перекажи у формі «Якщо …, то …» твердження «Бісектриса прямого кута ділить його на два кути по 45°». Назви умову й висновок.
- Розгорнутий кут AOB поділено променем OC, ∠AOC = 50°. Знайди ∠COB і допиши в дужках обґрунтування кожного кроку.
- Доведи: якщо промінь OC проходить між сторонами кута AOB, то ∠AOC < ∠AOB.
- Відрізки AB і CD рівні. Точка M лежить між A і B, точка N лежить між C і D, і AM = CN. Доведи, що MB = ND.
Перевірити відповіді
- 1) Означення відрізка; 2) аксіома IV; 3) твердження, яке треба довести.
- Якщо промінь — бісектриса прямого кута, то він ділить цей кут на два кути по 45°. Умова: промінь є бісектрисою прямого кута. Висновок: він ділить кут на два кути по 45°.
- ∠AOC + ∠COB = ∠AOB (за аксіомою VII); ∠AOB = 180° (за аксіомою VI). Тому ∠COB = 180° − 50° = 130°.
- Повне доведення — нижче.
- Повне доведення — нижче.
Повне доведення завдання 4
| 1) | ∠AOC + ∠COB = ∠AOB (за аксіомою VII). |
| 2) | ∠COB > 0° (за аксіомою VI). |
| 3) | Тому ∠AOC < ∠AOC + ∠COB, тобто ∠AOC < ∠AOB. Твердження доведено. |
Повне доведення завдання 5
| 1) | AM + MB = AB (за аксіомою V), тому MB = AB − AM. |
| 2) | CN + ND = CD (за аксіомою V), тому ND = CD − CN. |
| 3) | AB = CD і AM = CN (за умовою). Від рівних довжин віднімаємо рівні довжини, тому MB = ND. Твердження доведено. |
Перевірка на числах: якщо AB = CD = 7 см і AM = CN = 2 см, то MB = ND = 5 см.
Якщо твоє доведення не збіглося з нашим, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше в ньому бракує обґрунтування в дужках.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чим аксіома відрізняється від теореми. Добра відповідь: аксіому приймають без доведення, а теорему доводять, спираючись на аксіоми.
Коли дитина записує доведення, після кожного рядка запитуйте, чому це так. На кожне таке запитання має бути відповідь у дужках: умова, означення, аксіома або доведена теорема.
Не приймайте відповіді «бо видно з малюнка». Малюнок допомагає побачити ідею, але не гарантує точності. Тому твердження доводять міркуванням.