Кут і транспортир: як виміряти й побудувати кут і провести бісектрису — геометрія 7 клас

Приклад 1. Назви вершину й сторони кута і запиши його

Назвемо вершину й сторони кутів ABC і MNK, які накреслено вище. А потім — кута, який записали як ∠POT.

1. 1)Шукаємо точку, з якої виходять обидва промені. Це вершина кута.
2. 2)Самі промені — сторони кута. Кожен промінь називаємо двома буквами, і першою стоїть вершина.
3. 3)Записуємо кут так, щоб буква вершини була посередині. Дві крайні букви можна міняти місцями.
4. 4)У готовому записі ∠POT середня буква — O. Отже, вершина саме там.

Відповідь: вершини B, N і O; сторони BA і BC, NM і NK, OP і OT.

Приклад 2. Запиши всі кути, які є на кресленні

З вершини B виходять три промені: BA, BD і BC. Промінь BD проходить між сторонами кута ABC, тобто лежить усередині нього.

Три промені з однієї вершини утворюють три кути.

1. 1)Беремо промені парами. Кожна пара дає свій кут.
2. 2)Пар лише три: BA і BD, BD і BC, BA і BC.
3. 3)Тут запис ∠B не годиться: при вершині B аж три кути, і незрозуміло, про який ідеться.

Відповідь: ∠ABD, ∠DBC і ∠ABC.

Приклад 3. Визнач вид кута за його градусною мірою

Розглянемо шість кутів.

1. 1)Порівнюємо міру кута з 90°. Менша міра — кут гострий, рівно 90° — прямий.
2. 2)Якщо міра більша за 90°, порівнюємо її ще й зі 180°.
3. 3)У пункті 5 до 90° бракує 20 мінут, бо в градусі їх 60. Тому цей кут гострий.
4. 4)У пункті 6 понад 90° є ще 30 мінут. Тому кут тупий.

Відповідь: гострі — 17° і 89°40′; прямий — 90°; тупі — 143° і 90°30′; розгорнутий — 180°.

Приклад 4. Виміряй кут транспортиром

Виміряємо кут AOB.

Сторона OB проходить через довгий штрих, біля якого стоять два числа: 120 у зовнішньому ряду і 60 у внутрішньому.

1. 1)Центр транспортира — у вершині O. Сторона OA лежить на нулі зовнішнього ряду.
2. 2)На око кут більший за прямий, тобто тупий.
3. 3)Сторона OB перетинає дугу там, де стоять числа 120 і 60.
4. 4)Нуль зовнішнього ряду лежить на стороні OA, тому читаємо саме цей ряд: 120.
5. 5)Перевіряємо: 120 більше за 90, і кут справді тупий.

Відповідь: ∠AOB = 120°.

Приклад 5. Побудуй кут 150° і проведи його бісектрису

Побудуємо кут MOP, а потім його бісектрису OK.

Однакові дужки показують, що обидві половини кута рівні.

1. 1)Проводимо промінь OP і кладемо на нього транспортир: центр у точці O, промінь на нулі.
2. 2)Ставимо точку M проти позначки 150 того ряду, нуль якого лежить на промені OP.
3. 3)Проводимо промінь OM. Кут MOP дорівнює 150°.
4. 4)Ділимо міру навпіл: 150° : 2 = 75°.
5. 5)Відкладаємо від сторони OP кут 75° і проводимо промінь OK. Це бісектриса.

Відповідь: ∠POK = ∠KOM = 75°.

Приклад 6. Виконай дії з градусами й мінутами

Виконаємо дві дії: 24°47′ + 38°25′ і 71°15′ − 26°40′.

1. 1)Додаємо окремо градуси й окремо мінути: 24 + 38 = 62 і 47 + 25 = 72.
2. 2)У градусі 60 мінут. Число 72′ — це 1° і ще 12′, тому один градус переходить до градусів.
3. 3)У другій дії від 15′ відняти 40′ не вийде. Позичаємо в градусів один градус і замінюємо його на 60′: 15′ + 60′ = 75′.
4. 4)Тепер віднімаємо: 70 − 26 = 44 і 75 − 40 = 35.
5. 5)Так само робимо, коли мінут у зменшуваному немає зовсім: 90° = 89°60′.

Відповідь: 63°12′; 44°35′.

Приклад 7. Вирази кут у мінутах і в секундах

Виразимо в мінутах два кути й у секундах ще два.

1. 1)В одному градусі 60 мінут, тому градуси множимо на 60.
2. 2)У пункті 2 спершу переводимо градуси: 2 · 60 = 120. Потім додаємо свої 25 мінут.
3. 3)В одній мінуті 60 секунд, а в одному градусі 60 · 60 = 3600 секунд. Тому мінути множимо на 60, а градуси — на 3600.
4. 4)У пункті 4 додаємо секунди градуса й секунди мінут: 3600 + 120.

Відповідь: 180′; 145′; 240″; 3720″.

Приклад 8. Знайди цілий кут і його частину

Розв'яжемо дві задачі. У першій промінь OC проходить між сторонами кута AOB, ∠AOC = 35°, ∠COB = 48°. У другій промінь PC проходить між сторонами кута APB, ∠APB = 96°, ∠APC = 54°.

Промінь OC ділить кут AOB на два кути: 35° і 48°.

1. 1)Щоб знайти цілий кут, додаємо обидві його частини.
2. 2)Щоб знайти одну частину, віднімаємо від цілого кута другу частину.
3. 3)Перевіряємо другу задачу: 54° + 42° = 96°. Збіглося.

Відповідь: 83°; 42°.

Приклад 9. З'ясуй, чи проходить промінь між сторонами кута

У першій задачі ∠ABC = 64° і ∠ABK = 71°: треба сказати, чи проходить промінь BK між сторонами кута ABC. У другій задачі за кресленням треба сказати, чи є промінь OK бісектрисою кута AOB.

Кут AOB дорівнює 130°, а кути AOK і KOB — по 115°.

1. 1)Якби промінь BK проходив між сторонами, кут ABK був би частиною кута ABC. Частина завжди менша від цілого кута.
2. 2)У другій задачі кути AOK і KOB рівні. Але разом вони дають 230°, тобто більше за весь кут AOB.
3. 3)Отже, промінь OK лежить у зовнішній області кута AOB. Бісектрисою він бути не може.

Відповідь: 1) не проходить; 2) не є бісектрисою.

Приклад 10. Знайди частину кута, задану дробом або відсотками

У першій задачі ∠AOB = 84°, промінь OC проходить між сторонами, і ∠AOC становить $\frac{3}{7}$ кута AOB. У другій задачі ∠MON = 120°, промінь OK проходить між сторонами, і ∠MOK становить 35 % кута MON. Знайдемо обидві частини кожного кута.

1. 1)Щоб знайти частину, задану дробом, ділимо кут на знаменник і множимо на чисельник.
2. 2)Відсотки спершу записуємо десятковим дробом: 35 % = 0,35.
3. 3)Другу частину щоразу знаходимо відніманням від цілого кута.

Відповідь: 36° і 48°; 42° і 78°.

Приклад 11. Знайди кут між стрілками годинника

Знайдемо кут між годинною і хвилинною стрілками о 4, 8 і 6 годині.

О 4 годині між стрілками 4 проміжки по 30°.

1. 1)О цілій годині хвилинна стрілка показує на 12, а годинна — на своє число.
2. 2)Рахуємо проміжки між стрілками коротшим шляхом і множимо їх на 30°.
3. 3)О 8 годині коротший шлях іде від 12 ліворуч: там теж 4 проміжки.

Відповідь: 120°; 120°; 180°.

Приклад 12. Знайди кут, коли бісектрису провели двічі

Кут ABC дорівнює 140°. Промінь BK — бісектриса кута ABC, промінь BL — бісектриса кута KBC. Знайдемо ∠ABL.

1. 1)Бісектриса BK ділить кут ABC навпіл. Половина — 70°.
2. 2)Бісектриса BL ділить навпіл уже кут KBC. Виходить половина половини — 35°.
3. 3)Промінь BL проходить між сторонами кута ABC, тому ∠ABL = ∠ABC − ∠LBC.

Відповідь: 105°.

Приклад 13. Знайди кут між бісектрисою і продовженням сторони

У першій задачі ∠AOB = 116°, промінь OK — бісектриса, а сторону OA продовжили за вершину до променя OC. У другій задачі кут між бісектрисою кута і продовженням його сторони дорівнює 145°: треба знайти сам кут.

Промені OA і OC — доповняльні, тому кут AOC розгорнутий.

1. 1)Промені OA і OC доповняльні, тому кут AOC розгорнутий і дорівнює 180°.
2. 2)Бісектриса OK проходить між сторонами кута AOC. Отже, ∠AOK + ∠KOC = 180°.
3. 3)У першій задачі спершу ділимо кут навпіл, а потім віднімаємо половину від 180°.
4. 4)У другій задачі йдемо у зворотному порядку: знаходимо половину кута, а тоді подвоюємо її.

Відповідь: 122°; 70°.

Приклад 14. Знайди середній кут із трьох

У першій задачі розгорнутий кут AOB поділено променями OM і ON. Промені йдуть у порядку OA, ON, OM, OB, а ∠AOM = 130° і ∠BON = 110°.

У другій задачі прямий кут COD поділено променями OM і ON у порядку OC, OM, ON, OD. Тут ∠CON = 62°, а ∠MOD = 55°. Знайдемо середній кут MON.

Кути 130° і 110° перекриваються: середній кут входить в обидва.

1. 1)Кути AOM і BON накладаються один на одного. Спільна частина — середній кут MON.
2. 2)Тому їхня сума дорівнює всьому куту й ще раз середньому куту.
3. 3)Віднімаємо від суми весь кут: 240° − 180° = 60°.
4. 4)У другій задачі весь кут прямий, тому віднімаємо 90°.

Відповідь: 60°; 27°.

Приклад 15. Склади рівняння й знайди обидві частини кута

Промінь OC проходить між сторонами кута AOB, ∠AOB = 108°. Знайдемо обидві частини кута в трьох випадках.

1. Кут AOC у 5 разів менший від кута COB.
2. Кут AOC на 24° більший за кут COB.
3. ∠AOC : ∠COB = 4 : 5.

1. 1)Позначаємо один з кутів через $x$ градусів. Другий кут одразу виражаємо через $x$.
2. 2)За основною властивістю сума частин дорівнює 108°. Звідси й складаємо рівняння.
3. 3)У пункті 3 відношення 4 : 5 означає, що частини дорівнюють $4x$ і $5x$ градусів.
4. 4)Перевіряємо кожну відповідь: 18 + 90 = 108, 66 + 42 = 108, 48 + 60 = 108.

Відповідь: 1) 18° і 90°; 2) 66° і 42°; 3) 48° і 60°.