Ти навчишся називати всі відрізки на кресленні й знаходити довжину відрізка або його частини за основною властивістю вимірювання відрізків. Також навчишся визначати, чи лежать три точки на одній прямій, і знаходити обидва розв'язки задачі, коли розміщення точок не задано.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке відрізок
Позначимо на прямій дві точки. Вони разом з усіма точками прямої, що лежать між ними, утворюють відрізок.
Відрізком називають частину прямої, яка складається з двох її точок і всіх точок, що лежать між ними. Ці дві точки називають кінцями відрізка.
Відрізок називають двома буквами його кінців. Записи CD і DC позначають той самий відрізок, бо порядок кінців неважливий.
На кресленні ліворуч точка M належить відрізку CD, але не є його кінцем. Таку точку називають внутрішньою точкою відрізка. Точка P відрізку CD не належить.
Праворуч відрізки KL і FN мають одну спільну точку. Тоді кажуть, що ці відрізки перетинаються.
Приклад 1. Запиши всі відрізки, зображені на кресленні
Точки A, B, C і D лежать на відрізку AD саме в такому порядку. З точки B проведено ще відрізок BE. Запишемо всі відрізки, які є на цьому кресленні.
Розв'язання.
- 1)Точки A, B, C і D лежать на одному відрізку AD. Будь-які дві з них є кінцями відрізка, що весь лежить на AD. Тому випишемо всі пари по черзі: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Таких відрізків шість.
- 2)Відрізок BE має кінці B і E. Інших відрізків з кінцем E на кресленні немає, бо точку E з'єднано лише з точкою B.
- 3)Разом маємо 6 + 1 = 7 відрізків.
Відповідь: AB, AC, AD, BC, BD, CD, BE — 7 відрізків.
Пари виписуй так: першу точку з кожною наступною, потім другу з кожною наступною і так далі. Тоді жоден відрізок не загубиться і не повториться.
Як вимірюють відрізки
Щоб виміряти відрізок, потрібна одиниця вимірювання. Її ще називають одиничним відрізком. Одиницями довжини є 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м і 1 км.
Найчастіше відрізки вимірюють лінійкою з поділками. Довгі відрізки вимірюють рулеткою, складаним метром або сантиметровою стрічкою, якою користуються кравці. У підручнику цю стрічку називають клейончастим сантиметром.
Щоб виміряти відрізок лінійкою, приклади нуль лінійки до одного його кінця. Число на поділці навпроти другого кінця і є довжиною відрізка.
Якщо довжина відрізка AB дорівнює 3 см, пишуть AB = 3 см. Коротко кажуть: «Відрізок AB дорівнює 3 см». Кожен відрізок має довжину, і ця довжина більша за нуль.
1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм = 100 см, 1 км = 1000 м.
Ту саму довжину можна записати в різних одиницях. Наприклад, відрізок завдовжки 2 см 4 мм можна записати так: 2,4 см = 24 мм.
Щоб накреслити відрізок завдовжки 5 см 7 мм, познач точку і приклади до неї нуль лінійки. Відрахуй 5 великих поділок, тобто 5 см, і ще 7 маленьких, тобто 7 мм. Там познач другу точку і з'єднай точки по лінійці.
Основна властивість вимірювання відрізків
Точка C лежить на відрізку AB і ділить його на два відрізки: AC і CB. Нехай AC = 3 см, а CB = 2 см. Якщо виміряти весь відрізок AB, вийде 5 см, тобто 3 + 2 = 5.
Основна властивість вимірювання відрізків. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які його ділить будь-яка внутрішня точка. Для точки C на відрізку AB це записують так: AC + CB = AB.
Довжину відрізка називають також відстанню між його кінцями. Отже, відстань між точками A і B — це число, а саме довжина відрізка AB. На кресленні вище відстань між точками A і C дорівнює 3 см.
Як знайти відрізок або його частину
- Накресли відрізок і познач на ньому точки. Так видно, який відрізок цілий, а які відрізки є його частинами.
- Запиши всі довжини в однакових одиницях. Додавати й віднімати можна лише довжини, записані в однакових одиницях.
- Запиши основну властивість для свого креслення: сума частин дорівнює цілому відрізку.
- Щоб знайти цілий відрізок, додай частини. Щоб знайти частину, відніми від цілого відрізка відому частину. Якщо невідомі обидві частини, познач одну з них через $x$ і склади рівняння.
Приклад 2. Знайди частину відрізка, коли довжини дано в різних одиницях
Точка C лежить між точками A і B. Відомо, що AB = 1,2 дм, а AC = 7 см. Знайдемо довжину відрізка CB.
Розв'язання.
- 1)Довжини дано в дециметрах і сантиметрах. Переведемо дециметри в сантиметри: 1,2 дм = 12 см, бо в 1 дм 10 см.
- 2)Оскільки AC + CB = AB (за основною властивістю вимірювання відрізків), то CB = AB − AC.
- 3)CB = 12 − 7 = 5 (см).
Відповідь: CB = 5 см.
Якщо відомі обидві частини, а шукають увесь відрізок, частини додають. Наприклад, якщо AC = 7 см і CB = 5 см, то AB = 7 + 5 = 12 (см).
Приклад 3. З'ясуй, чи лежать три точки на одній прямій
Відомо, що PQ = 6 см, QR = 2,8 см, PR = 8,8 см. З'ясуємо, чи лежать точки P, Q і R на одній прямій. Якщо лежать, визначимо, яка з них лежить між двома іншими.
Розв'язання.
Якщо три точки лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими. Тоді найбільший із трьох відрізків є цілим, а два інші є його частинами. Тому найбільший відрізок має дорівнювати сумі двох інших.
- 1)Найбільший із трьох відрізків — PR = 8,8 см.
- 2)Сума двох інших відрізків: PQ + QR = 6 + 2,8 = 8,8 (см).
- 3)Оскільки 8,8 = 6 + 2,8, то PR = PQ + QR. Точки P, Q і R лежать на одній прямій.
- 4)Найбільший відрізок PR має кінці P і R. Отже, між ними лежить третя точка, Q.
Відповідь: так, точка Q лежить між точками P і R.
Якби PR дорівнював 9 см, то 9 ≠ 6 + 2,8. Для точок на одній прямій найбільший відрізок дорівнює сумі двох інших. Отже, точки P, Q і R не лежали б на одній прямій.
Приклад 4. Знайди частини відрізка, якщо одна з них більша на 6 см
Точка E лежить на відрізку CD завдовжки 20 см. Відрізок ED на 6 см більший за відрізок CE. Знайдемо довжини відрізків CE і ED.
Розв'язання.
- 1)Нехай CE = $x$ см, тоді ED = ($x+6$) см.
- 2)Оскільки CE + ED = CD (за основною властивістю вимірювання відрізків), маємо рівняння:
$x+(x+6)=20$.
Розв'яжемо його: $2x+6=20$; $2x=14$; $x=7$ (см). - 3)Отже, CE = 7 см, ED = 7 + 6 = 13 (см).
Відповідь: CE = 7 см, ED = 13 см.
Перевірка: 7 + 13 = 20, і 13 − 7 = 6.
Так само розв'язують задачі з іншими умовами. Якщо одна частина втричі більша за другу, меншу позначають $x$, а більшу позначають $3x$.
Якщо частини відносяться як 3 : 2, перша частина складається з 3 однакових шматків, а друга — з 2 таких самих. Позначимо довжину одного шматка через $x$. Тоді частини дорівнюють $3x$ і $2x$.
Приклад 5. Знайди відрізок між двома точками, коли частини накладаються
Точки C і D лежать на відрізку AB завдовжки 30 см. Відомо, що AC = 18 см, а BD = 20 см. Знайдемо довжину відрізка CD.
Розв'язання.
Спершу з'ясуємо, у якому порядку лежать точки. Один кінець відрізка AC — точка A, а один кінець відрізка BD — точка B. Отже, ці відрізки відкладено від різних кінців відрізка AB.
Разом вони дають 18 + 20 = 38 (см). Це більше за весь відрізок AB, тому ці два відрізки частково накладаються. Отже, точка D лежить між точками A і C.
Зеленим показано відрізок CD, де накладаються відрізки AC і BD.
- 1)Точка D лежить на відрізку AB, тому AD + DB = AB. Звідси AD = AB − BD = 30 − 20 = 10 (см).
- 2)Точка D лежить між A і C, тому AD + DC = AC. Звідси CD = AC − AD = 18 − 10 = 8 (см).
Відповідь: CD = 8 см.
Перевірка: відрізок CD порахували двічі, і в AC, і в BD. Тому AC + BD більше за AB саме на CD: 38 − 30 = 8 (см).
Рівні відрізки і середина відрізка
Два відрізки називають рівними, якщо рівні їхні довжини. З двох відрізків більшим вважають той, довжина якого більша.
На кресленні AB = 3 см і MN = 3 см, тому відрізки AB і MN рівні. Пишуть: MN = AB.
Відрізок PL дорівнює 2 см, тому відрізок MN більший за PL. Пишуть: MN > PL.
На кресленнях рівні відрізки позначають однаковою кількістю рисочок, а нерівні — різною кількістю рисочок.
Щоб порівняти відрізки, довжини яких записано в різних одиницях, спершу переведи їх в однакові одиниці. Наприклад, відрізок 4 см 6 мм дорівнює 46 мм, а відрізок 0,5 дм дорівнює 50 мм. Оскільки 46 < 50, перший відрізок менший за другий.
Точку відрізка, яка ділить його на два рівні відрізки, називають серединою відрізка.
Якщо M — середина відрізка AB і AB = 8 см, то AM = MB = 8 : 2 = 4 (см). Якщо два відрізки рівні, то їхні половини теж рівні. І навпаки: якщо половини двох відрізків рівні, то й самі відрізки рівні.
Приклад 6. Обґрунтуй, чому відрізки рівні
Точки M, N, P і Q лежать на одній прямій саме в такому порядку. Відомо, що MP = NQ. Обґрунтуємо, чому MN = PQ.
Синім показано відрізок MP, помаранчевим — відрізок NQ, зеленим — їхню спільну частину NP.
Розв'язання.
- 1)Точка N лежить на відрізку MP. Тому MN + NP = MP (за основною властивістю вимірювання відрізків), звідки MN = MP − NP.
- 2)Точка P лежить на відрізку NQ. Тому NP + PQ = NQ (за основною властивістю вимірювання відрізків), звідки PQ = NQ − NP.
- 3)Відрізки MP і NQ рівні за умовою. Від кожного з них віднімаємо ту саму довжину NP, тому залишки теж рівні: MN = PQ.
Чисел в умові немає, але міркування підходить для будь-яких довжин. Наприклад, якщо MP = NQ = 9 см і NP = 5 см, то MN = PQ = 9 − 5 = 4 (см).
Скільки розв'язків має задача
Буває, що умова не каже, яка з трьох точок лежить між двома іншими. Тоді треба розглянути всі можливі розміщення точок. Часто таких розміщень два, і задача має два розв'язки.
Приклад 7. Знайди відстань між точками, якщо їхнє розміщення не задано
Точки A, B і C лежать на одній прямій. Відомо, що AB = 7 см, а BC = 3 см. Знайдемо відстань між точками A і C і з'ясуємо, скільки розв'язків має задача.
Розв'язання.
Одна з трьох точок лежить між двома іншими. Розглянемо по черзі кожну з них.
- 1)Нехай точка C лежить між A і B. Тоді AC + CB = AB, звідки AC = 7 − 3 = 4 (см).
- 2)Нехай точка B лежить між A і C. Тоді AC = AB + BC = 7 + 3 = 10 (см).
- 3)Нехай точка A лежить між B і C. Тоді відрізок AB був би частиною відрізка BC. Але частина не може бути більшою за цілий відрізок, а 7 см більше за 3 см. Тому так розмістити точки не можна.
Відповідь: AC = 4 см або AC = 10 см; задача має два розв'язки.
Якщо в умові немає креслення і не сказано, яка точка лежить між двома іншими, завжди перевір усі три розміщення.
Як перевірити себе
- Порівняй частину з цілим відрізком. Частина завжди менша за весь відрізок, бо до неї ще додається друга частина з довжиною, більшою за нуль.
- Додай знайдені частини. Їхня сума має дорівнювати цілому відрізку, бо так каже основна властивість вимірювання відрізків.
- Перевір одиниці у відповіді. Якщо в умові були міліметри, сантиметри й дециметри, переконайся, що ти перевів усі довжини в однакові одиниці. Інакше сума вийде хибною.
- Пошукай другий випадок. Якщо креслення немає і не сказано, яка точка лежить між двома іншими, задача може мати два розв'язки.
Де найчастіше помиляються
1. Додали довжини, записані в різних одиницях
Завдання: точка C лежить між точками A і B, AC = 4 см, CB = 2 дм. Знайди AB.
Неправильно
| AB = 4 + 2 = 6 (см) |
Правильно
| 2 дм = 20 см |
| AB = 4 + 20 = 24 (см) |
Що сталося: додали 4 см і 2 дм так, ніби обидві довжини були в сантиметрах. А 2 дм — це 20 см.
Як помітити: перед тим як додавати чи віднімати, подивись, чи однакові одиниці біля всіх чисел.
2. Суму порівняли не з найбільшим відрізком
Завдання: AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 8 см. Чи лежать точки A, B і C на одній прямій?
Неправильно
| 3 ≠ 5 + 8 |
| ні, не лежать |
Правильно
| 8 = 3 + 5 |
| так, B лежить між A і C |
Так розміщено точки A, B і C.
Що сталося: склали два довші відрізки і порівняли їх з найкоротшим. Цілим відрізком може бути лише найбільший, бо кожна частина менша за цілий відрізок.
Як помітити: спершу знайди найбільше з трьох чисел. Лише його порівнюй із сумою двох інших.
3. Знайшли лише один розв'язок
Завдання: точки K, L і M лежать на одній прямій, KL = 6 см, LM = 2 см. Знайди KM.
Неправильно
| KM = 6 − 2 = 4 (см) |
Правильно
| M між K і L: KM = 6 − 2 = 4 (см) |
| L між K і M: KM = 6 + 2 = 8 (см) |
Два можливі розміщення точок K, L і M.
Що сталося: намалювали точки лише одним способом. Умова не каже, яка точка лежить між двома іншими, тому можливі обидва креслення.
Як помітити: якщо креслення в умові немає, намалюй точки кількома способами й перевір кожен.
4. Відстанню назвали відрізок
Завдання: AB = 4 см. Яка відстань між точками A і B?
Неправильно
| Відстань між A і B — це відрізок AB. |
Правильно
| Відстань між A і B дорівнює 4 см. |
Що сталося: переплутали фігуру і число. Відрізок AB — це фігура на кресленні, а відстань між точками A і B — це його довжина.
Як помітити: відповідь на запитання «яка відстань» завжди має число й одиницю довжини.
Спробуй сам
- Точки K, L, M і N лежать на відрізку KN саме в такому порядку. Запиши всі відрізки, які утворилися на кресленні.
- Порівняй відрізки AB = 7 см 2 мм і MN = 0,7 дм.
- Точка C лежить між точками A і B, AC = 35 мм, CB = 4,5 см. Знайди AB у сантиметрах.
- Точка M — середина відрізка AB, AB = 9 см. Знайди AM.
- Відомо, що KL = 1,2 дм, LM = 7 см, KM = 50 мм. Чи лежать точки K, L і M на одній прямій? Якщо так, яка точка лежить між двома іншими?
- Точка C лежить на відрізку AB завдовжки 24 см. Відрізок AC утричі менший від відрізка CB. Знайди AC і CB.
- Точка K лежить на відрізку MN завдовжки 35 см, і MK : KN = 3 : 4. Знайди MK і KN.
- Точки C і D лежать на відрізку AB завдовжки 26 см. Відомо, що AC = 15 см, BD = 17 см. Знайди CD.
- Точки A, B, C і D лежать на одній прямій саме в такому порядку, і AB = CD. Обґрунтуй, чому AC = BD.
- Точки A, M і N лежать на одній прямій, AM = 5,4 см, MN = 1,8 см. Знайди відстань між точками A і N. Скільки розв'язків має задача?
Перевірити відповіді
- 6 відрізків: KL, KM, KN, LM, LN, MN.
- AB = 72 мм, MN = 70 мм, тому AB > MN.
- 35 мм = 3,5 см, AB = 3,5 + 4,5 = 8 (см).
- AM = 9 : 2 = 4,5 (см).
- KL = 12 см, LM = 7 см, KM = 5 см. Оскільки 12 = 7 + 5, точки лежать на одній прямій, і M лежить між K і L.
- AC = 6 см, CB = 18 см.
- MK = 15 см, KN = 20 см; повне розв'язання — нижче.
- AD = 26 − 17 = 9 (см), CD = 15 − 9 = 6 (см).
- AC = AB + BC і BD = BC + CD. До рівних відрізків AB і CD додали ту саму довжину BC, тому AC = BD.
- AN = 3,6 см або AN = 7,2 см, два розв'язки; повне розв'язання — нижче.
Повне розв'язання завдання 7
- 1)MK : KN = 3 : 4, тобто MK складається з 3 однакових шматків, а KN — з 4 таких самих шматків. Нехай один шматок дорівнює $x$ см. Тоді MK = $3x$ см, KN = $4x$ см.
- 2)Оскільки MK + KN = MN (за основною властивістю вимірювання відрізків), маємо рівняння:
$3x+4x=35$; $7x=35$; $x=5$ (см). - 3)MK = 3 · 5 = 15 (см), KN = 4 · 5 = 20 (см).
Відповідь: MK = 15 см, KN = 20 см.
Повне розв'язання завдання 10
Одна з трьох точок лежить між двома іншими. Розглянемо по черзі кожну з них.
- 1)Нехай точка N лежить між A і M. Тоді AN + NM = AM, звідки AN = 5,4 − 1,8 = 3,6 (см).
- 2)Нехай точка M лежить між A і N. Тоді AN = AM + MN = 5,4 + 1,8 = 7,2 (см).
- 3)Нехай точка A лежить між M і N. Тоді відрізок AM був би частиною відрізка MN. Але 5,4 см більше за 1,8 см, тому так розмістити точки не можна.
Відповідь: AN = 3,6 см або AN = 7,2 см; задача має два розв'язки.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше забувають перевести одиниці або знаходять лише один із двох розв'язків.
Для батьків
Попросіть дитину накреслити відрізок завдовжки 8 см і позначити на ньому внутрішню точку, тобто не кінець відрізка. Нехай вона виміряє обидві частини й додасть їхні довжини. Сума має дорівнювати 8 см, бо довжина відрізка дорівнює сумі його частин.
Дайте задачу без креслення: «Точки A, B і C лежать на одній прямій, AB = 5 см, BC = 2 см. Знайди AC».
Правильних відповідей дві, бо точки можна розмістити двома способами. Якщо C лежить між A і B, то AC = 5 − 2 = 3 (см). Якщо B лежить між A і C, то AC = 5 + 2 = 7 (см).
Якщо дитина знайшла лише одну відповідь, попросіть її намалювати точки по-іншому.