Ти навчишся позначати точки, прямі й промені та записувати знаками ∈ і ∉, які точки лежать на прямій. Також навчишся знаходити доповняльні промені й рахувати, скільки прямих проходить через кілька точок.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що вивчає геометрія
Геометрія — це наука про властивості геометричних фігур. Деякі фігури ти вже знаєш з уроків математики: точку, пряму, відрізок, промінь, кут, трикутник, прямокутник і коло.
Найпростіша геометрична фігура — точка. Її можна уявити як слід, що лишає на папері добре загострений олівець.
З точок складаються всі інші фігури. Тому будь-який набір точок (його називають множиною точок) теж є фігурою.
Ще одна основна фігура — площина. Її уявляють рівною, як поверхня стола, але безмежною і без товщини. Фігури на площині вивчає планіметрія, і саме її ти вивчатимеш у 7–9 класах.
Пряма і як її позначають
Точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині. Пряму проводять лінійкою. На аркуші видно лише її частину, а саму пряму уявляють нескінченною в обидва боки.
Точки позначають великими латинськими буквами: A, B, C. Прямі позначають малими латинськими буквами: a, b, c.
Якщо точка A лежить на прямій a, пишуть A ∈ a. Читають: «Точка A належить прямій a». Якщо точка C не лежить на прямій a, пишуть C ∉ a.
Кажуть ще: «Пряма a проходить через точку A». Це означає те саме, що й «точка A лежить на прямій a». Хоч яку пряму провести, завжди є точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.
Приклад 1. Запиши знаками, які точки лежать на прямих
Прямі a і b проходять через точку T. Запишемо знаками ∈ і ∉, які з точок T, M, K і C лежать на прямій a і які на прямій b.
Розв'язання.
- 1)Пряма a проходить через точки M і T. Точки K і C лежать поза нею. Записуємо: M ∈ a, T ∈ a, K ∉ a, C ∉ a.
- 2)Пряма b проходить через точки T і K. Точки M і C лежать поза нею. Записуємо: T ∈ b, K ∈ b, M ∉ b, C ∉ b.
Відповідь: M ∈ a, T ∈ a, K ∉ a, C ∉ a; T ∈ b, K ∈ b, M ∉ b, C ∉ b.
Точка T належить обом прямим, бо це їхня спільна точка. Точка C не належить жодній із двох прямих.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж лише одну.
Тому пряму можна назвати двома її точками: пряму, що проходить через точки A і B, називають AB або BA. Коли кажуть «дві точки» чи «дві прямі», мають на увазі різні точки чи прямі.
Якщо три точки лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, і лише одна. Якщо ж точка C не лежить на прямій AB, пишуть C ∉ AB. Тоді кажуть, що точки A, B і C не лежать на одній прямій.
Приклад 2. Запиши всі назви прямої, що проходить через три точки
На прямій позначено точки K, L і T. Запишемо всі назви цієї прямої двома буквами.
Розв'язання.
- 1)Пряму можна назвати будь-якими двома її точками. Із трьох точок складаємо всі пари: K і L, K і T, L і T. Інших пар немає.
- 2)Для прямої порядок букв не важливий. Тому кожну пару записуємо двома способами: KL і LK, KT і TK, LT і TL.
Відповідь: KL, LK, KT, TK, LT, TL.
Усі шість назв позначають ту саму пряму, бо через дві точки проходить лише одна пряма. Якщо пряму ще й позначено малою буквою, до відповіді додають і цю назву.
Прямі, що перетинаються
Якщо дві прямі мають спільну точку, кажуть, що вони перетинаються в цій точці. Дві прямі не можуть мати двох спільних точок. Інакше через ці дві точки проходили б дві різні прямі.
Буває й так, що дві прямі не мають жодної спільної точки. Тоді кажуть, що прямі не перетинаються.
Так буває з двома прямими, проведеними вздовж ліній клітинок зошита в одному напрямку. Проміжок між ними всюди однаковий, тому вони не зустрінуться.
Приклад 3. З'ясуй, чи перетинаються прямі
На кресленні пряма m і пряма AB не доходять одна до одної. З'ясуємо, чи перетинаються ці прямі.
Сірими штрихами показано, як прямі продовжили лінійкою.
Розв'язання.
- 1)На кресленні видно лише частини прямих. Самі прямі нескінченні, тому продовжуємо обидві лінійкою.
- 2)Продовження зустрілися в точці X. Отже, у прямих m і AB є спільна точка.
Відповідь: так, прямі m і AB перетинаються в точці X.
Якщо проміжок між двома лініями з одного боку вужчий, ніж з другого, лінії сходяться. Продовж їх у той бік, де проміжок вужчий, і знайдеш точку перетину.
Промінь і його назва
Позначимо на прямій точку O. Вона ділить пряму на дві частини. Кожну з цих частин разом із точкою O називають променем, що виходить з точки O.
Точку O називають початком променя. З другого боку промінь нескінченний, тому кінця в нього немає.
Промінь позначають двома великими латинськими буквами. Перша буква завжди означає початок променя. Друга буква означає будь-яку іншу точку на ньому.
Якщо точки K і M лежать на промені з початком O, то OK і OM означають той самий промінь.
Порівняй три креслення з тими самими точками O і K.
а) Цю пряму можна назвати і OK, і KO.
б) Промінь OK починається в точці O і йде через K праворуч.
в) Промінь KO починається в точці K і йде через O ліворуч.
Для прямої порядок букв не важливий: записи OK і KO позначають ту саму пряму. Для променя порядок важливий: записи OK і KO позначають два різні промені, які йдуть у протилежні боки.
Два промені, що мають спільний початок і разом утворюють пряму, називають доповняльними.
Промені OK і KO разом покривають усю пряму, проте початки в них різні: O і K. Тому вони не доповняльні.
Як записати промені з даним початком і знайти доповняльні
- Знайди всі промені, що виходять з даної точки. Назву кожного починай з цієї точки, бо вона є початком променя.
- Другою буквою пиши будь-яку іншу точку того самого променя. Якщо на промені кілька точок, у нього кілька назв, але в переліку його записують один раз.
- Доповняльні промені шукай серед тих, що лежать на одній прямій і йдуть від початку в протилежні боки. Лише такі два промені разом утворюють пряму.
Приклад 4. Запиши всі промені з початком O і пари доповняльних
Точка O лежить на прямій AB між точками A і B. З точки O виходить ще промінь OC. Запишемо всі промені з початком O і знайдемо пари доповняльних променів.
Розв'язання.
- 1)З точки O на кресленні виходять три промені: OA, OB і OC. Кожна назва починається з букви O, бо точка O є початком усіх трьох променів.
- 2)Промені OA і OB лежать на прямій AB і йдуть від точки O в протилежні боки. Разом вони утворюють пряму AB, тому вони доповняльні.
- 3)Промінь OC не лежить на прямій AB. Тому ні з променем OA, ні з променем OB він пряму не утворює.
Відповідь: промені OA, OB і OC; доповняльні промені OA і OB.
Приклад 5. Визнач, чи лежать дві точки на одному промені
На прямій по порядку позначено точки P, A, Q і R. Точка A ділить пряму на два промені. З'ясуємо, чи лежать на одному з цих променів точки Q і R, а потім точки P і Q.
Синім показано промінь AP, помаранчевим — промінь AQ.
Розв'язання.
- 1)Точки Q і R лежать праворуч від A, і точка A не лежить між ними. Тому обидві точки належать променю AQ.
- 2)Точка P лежить ліворуч від A, а точка Q праворуч. Точка A лежить між ними, тому P належить променю AP, а Q належить променю AQ.
Відповідь: Q і R лежать на одному промені; P і Q лежать на різних променях.
Отже, дві точки прямої лежать на одному промені з початком A, якщо точка A не лежить між ними. Якщо ж A лежить між ними, точки належать двом доповняльним променям.
Скільки прямих проходить через кілька точок
Як порахувати прямі через кожні дві з кількох точок
- Випиши всі пари точок по черзі: першу точку з кожною наступною, потім другу з кожною наступною і так далі. Так жодна пара не загубиться і не повториться.
- Перевір, чи немає трьох точок на одній прямій. Усі пари з таких точок дають ту саму пряму, тому її рахують один раз.
- Порахуй, скільки вийшло різних прямих.
Приклад 6. Порахуй прямі, що проходять через кожні дві з чотирьох точок
Точки A, B і C лежать на прямій a, а точка D не лежить на ній. Через кожні дві з цих точок проводимо пряму. Знайдемо, скільки всього вийде прямих.
Розв'язання.
- 1)Випишемо всі пари точок: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Їх шість.
- 2)Точки A, B і C лежать на прямій a. Тому пари AB, AC і BC дають одну пряму a.
- 3)Пари AD, BD і CD дають прямі DA, DB і DC. Ці три прямі різні, бо кожна перетинає пряму a у своїй точці: A, B чи C.
- 4)Разом маємо 1 + 3 = 4 прямі.
Відповідь: 4 прямі (a, DA, DB і DC).
Якби жодні три з чотирьох точок не лежали на одній прямій, кожна з шести пар дала б свою пряму. Тоді прямих було б шість.
Приклад 7. Порахуй, на скільки частин прямі ділять площину
Точки A, B і C лежать на прямій a, а точка D не лежить на ній. Проведено чотири прямі: a, DA, DB і DC. Знайдемо, на скільки частин ці прямі ділять площину.
Зеленими числами пронумеровано частини площини.
Розв'язання.
Проводимо прямі по одній.
Точки перетину з уже проведеними прямими ділять нову пряму на шматки. Шматків завжди на 1 більше, ніж точок перетину. Наприклад, одна точка дає 2 шматки, а три точки дають 4.
Кожен шматок розрізає одну з наявних частин площини на дві. Тому нова пряма додає стільки частин, скільки на ній шматків.
- 1)Одна пряма a ділить площину на 2 частини.
- 2)Пряма DA перетинає пряму a в точці A. Ця точка ділить DA на 2 шматки, тому частин стає 2 + 2 = 4.
- 3)Пряма DB перетинає пряму a в точці B, а пряму DA — у точці D. Дві точки ділять DB на 3 шматки, тому частин стає 4 + 3 = 7.
- 4)Пряма DC перетинає пряму a в точці C, а прямі DA і DB — в одній і тій самій точці D. На DC лише дві точки перетину, тому вона ділиться на 3 шматки, і частин стає 7 + 3 = 10.
Відповідь: на 10 частин.
Точку, у якій перетинаються кілька прямих, на новій прямій рахують один раз.
Якщо нова пряма не перетинає якусь із проведених прямих, точки перетину з нею немає. Якщо нова пряма не перетинає жодної, вона лишається одним шматком і додає 1 частину. Точку, де дві прямі перетинаються не в жодній із даних точок, теж треба врахувати.
Перевір відповідь на кресленні: пронумеруй усі частини, продовживши прямі до країв аркуша.
Як перевірити себе
- Перевір букви в записі. Точки позначають великими буквами. Прямі позначають малими буквами або двома великими. Ліворуч від знака ∈ стоїть точка, а праворуч стоїть пряма, бо точка лежить на прямій.
- Прочитай назву променя з першої букви. Ця буква має позначати точку, з якої промінь виходить, бо перша буква в назві променя завжди означає його початок.
- Перевір пару доповняльних променів лінійкою. Обидва промені мають лягти вздовж однієї лінійки по різні боки від спільного початку. Тоді вони разом утворюють пряму.
- Перш ніж рахувати прямі, пошукай три точки на одній прямій. Якщо три точки лежать на одній прямій, назви AB, AC і BC позначають ту саму пряму. Таку пряму рахують один раз.
Де найчастіше помиляються
1. Переплутали, як позначають точку і пряму
Завдання: точка A лежить на прямій a. Запиши це знаками.
Неправильно
| a ∈ A |
Правильно
| A ∈ a |
Що сталося: поміняли місцями точку і пряму. Знак ∈ читають «належить», тому ліворуч від нього пишуть точку, а праворуч пишуть пряму.
Як помітити: прочитай запис уголос. «Пряма a належить точці A» звучить безглуздо, бо пряма не може лежати на точці.
2. Переставили букви в назві променя
Завдання: промінь починається в точці M і проходить через точку N. Запиши його назву.
Неправильно
| промінь NM |
Правильно
| промінь MN |
Що сталося: запис NM позначає промінь, який починається в точці N і йде через M у протилежний бік. Це інший промінь.
Як помітити: перша буква назви має бути точкою, з якої промінь виходить.
3. Назвали доповняльними промені, що не утворюють прямої
Завдання: з точки S виходять промені SA, SB, SC і SD, як на кресленні. Знайди всі пари доповняльних променів.
Неправильно
| SA і SC; SB і SD |
Правильно
| лише SA і SC |
Що сталося: промені SB і SD мають спільний початок, але не лежать на одній прямій. Тому разом вони пряму не утворюють.
Як помітити: поклади лінійку вздовж одного з променів. Доповняльний до нього промінь ляже на ту саму лінійку з другого боку від початку.
4. Одну пряму порахували кілька разів
Завдання: точки P, Q і R лежать на одній прямій. Скільки прямих проходить через кожні дві з них?
Неправильно
| PQ, PR, QR |
| 3 прямі |
Правильно
| PQ, PR і QR позначають ту саму пряму |
| 1 пряма |
Що сталося: порахували пари точок замість різних прямих. Усі три точки лежать на одній прямій, тому кожна пара дає ту саму пряму.
Як помітити: перед лічбою перевір, чи не лежать три точки на одній прямій.
Спробуй сам
- Точки E і F лежать на прямій p, а точка G не лежить на ній. Запиши це знаками ∈ і ∉.
- На прямій MN позначили ще точку P. Запиши всі інші назви цієї прямої двома буквами.
- На кресленні прямі c і d не доходять одна до одної, але проміжок між ними праворуч вужчий, ніж ліворуч. Чи можна сказати, що ці прямі не перетинаються?
- Прямі EF і GH перетинаються в точці O. Точка O лежить між точками E і F, а також між точками G і H. Запиши всі промені з початком O і всі пари доповняльних променів.
- Точка K лежить на прямій між точками M і N. Чи лежать точки M і N на одному промені з початком K?
- Точки A, B, C і D лежать на прямій a, а точка E не лежить на ній. Через кожні дві точки провели пряму. Скільки прямих вийшло і на скільки частин вони ділять площину?
- Жодні три з точок A, B, C і D не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через кожні дві з них? Запиши їхні назви.
Перевірити відповіді
- E ∈ p, F ∈ p, G ∉ p.
- NM, MP, PM, NP, PN.
- Ні. Лінії сходяться праворуч, тому, продовжені в той бік, вони перетнуться.
- Промені OE, OF, OG, OH. Доповняльні пари: OE і OF, OG і OH.
- Ні. Точка K лежить між ними, тому M і N лежать на доповняльних променях KM і KN.
- 5 прямих, 13 частин; повне розв'язання — нижче.
- 6 прямих: AB, AC, AD, BC, BD, CD; повне розв'язання — нижче.
Повне розв'язання завдання 6
| 1) | Точки A, B, C і D лежать на прямій a, тому всі пари з цих точок дають одну пряму a. |
| 2) | Точку E з'єднуємо з кожною з точок A, B, C і D. Прямі EA, EB, EC і ED різні, бо перетинають пряму a в різних точках. |
| 3) | Прямих 1 + 4 = 5. |
| 4) | Пряма a ділить площину на 2 частини. Пряму EA ділить на 2 шматки точка A, тому частин стає 2 + 2 = 4. |
| 5) | На прямій EB дві точки перетину, B і E, тому частин стає 4 + 3 = 7. На прямій EC теж дві точки, C і E, тому частин стає 7 + 3 = 10. |
| 6) | На прямій ED дві точки, D і E, тому частин стає 10 + 3 = 13. |
Відповідь: 5 прямих, 13 частин.
Повне розв'язання завдання 7
| 1) | Точку A з'єднуємо з кожною наступною: AB, AC, AD. |
| 2) | Точку B з'єднуємо з кожною наступною: BC, BD. |
| 3) | Точку C з'єднуємо з D: CD. |
| 4) | Пар 3 + 2 + 1 = 6. Жодні три точки не лежать на одній прямій, тому всі шість прямих різні. |
Відповідь: 6 прямих: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше в назві променя переставляють букви або рахують ту саму пряму кілька разів.
Для батьків
Попросіть дитину поставити на аркуші дві точки й провести через них пряму. Запитайте, чи можна провести через ці точки ще одну пряму. Правильна відповідь — ні, бо через дві точки проходить лише одна пряма.
Намалюйте промінь і попросіть дитину його назвати. Якщо назва починається не з точки, з якої промінь виходить, нагадайте: перша буква в назві променя завжди означає його початок.
Запитайте, чим пряма AB відрізняється від прямої BA, а промінь AB — від променя BA. Пряма та сама, бо порядок букв для неї не важливий. Промені різні, бо мають різні початки й ідуть у протилежні боки.