Ти навчишся впізнавати суміжні кути й знаходити один із них, коли відомий інший. А ще — розв'язувати задачі на суміжні кути рівнянням і доводити прості твердження про них.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке суміжні кути
Проведемо пряму CD і позначимо на ній точку O. З точки O проведемо ще промінь OM. Утворилися два кути: ∠COM і ∠MOD.
Кути COM і MOD — суміжні. Спільна сторона — OM.
У цих кутів одна сторона спільна — промінь OM. Дві інші сторони, OC і OD, виходять з точки O в протилежні боки. Такі промені називають доповняльними: разом вони утворюють пряму.
Суміжні кути — це два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями.
Щоб записи були коротшими, кут часто позначають цифрою: ∠1, ∠2. Цифру пишуть біля дужки кута на кресленні.
Приклад 1. Чи є кути 1 і 2 суміжними
Подивимося на три пари кутів і перевіримо обидві умови означення.
Суміжні лише кути на кресленні а).
| а) | спільна сторона є, інші дві — одна пряма: суміжні |
| б) | спільна сторона є, інші дві — не одна пряма: не суміжні |
| в) | дві сторони лежать на одній прямій, але спільної сторони немає: не суміжні |
- 1)Шукаємо промінь, який належить обом кутам. Це спільна сторона.
- 2)Дивимося на дві сторони, що залишилися. Разом вони мають утворити пряму.
- 3)Кути суміжні, лише коли виконано обидві умови.
Відповідь: суміжні лише кути а).
Властивість суміжних кутів
Теорема — це твердження, правильність якого пояснюють міркуваннями. Самі міркування називають доведенням. Перша теорема курсу геометрії — саме про суміжні кути.
Теорема (властивість суміжних кутів). Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Доведення. Візьмемо суміжні кути COM і MOD з креслення вище. Промені OC і OD доповняльні, тому кут COD розгорнутий: ∠COD = 180°.
Промінь OM проходить між сторонами кута COD. За основною властивістю вимірювання кутів ∠COM + ∠MOD = ∠COD = 180°. Теорему доведено.
На нашому кресленні: 125° + 55° = 180°.
Твердження, які одразу випливають з аксіом (тверджень, які приймають без доведення) чи теорем, називають наслідками. З властивості суміжних кутів випливають три наслідки.
Наслідок 1. Кут, суміжний з прямим кутом, теж прямий.
Наслідок 2. Кут, суміжний з гострим кутом, тупий. Кут, суміжний з тупим кутом, гострий.
Наслідок 3. Кути, суміжні з рівними кутами, рівні між собою.
Чому це так? Прямий кут дорівнює 90°. До 180° йому бракує ще 90°: 180° − 90° = 90°.
Гострий кут менший від 90°, тому суміжному з ним дістається більше за 90°. Наприклад, 180° − 30° = 150°.
Як розв'язати задачу на суміжні кути
- Переконайся, що кути суміжні: спільна сторона є, а дві інші утворюють пряму.
- Запиши властивість: ∠1 + ∠2 = 180°.
- Якщо відомий один кут, відніми його від 180°.
- Якщо кути пов'язані умовою, познач один кут через $x^\circ$, другий вирази через $x$ і склади рівняння.
- Перевір: сума 180°, і умова задачі виконується.
Приклад 2. Чи можуть два кути бути суміжними
Чи можуть два суміжні кути дорівнювати таким мірам?
1) 37° і 143°; 2) 88° і 92°; 3) 64° і 106°; 4) 103° і 87°.
| 1) | 37° + 143° = 180° — можуть |
| 2) | 88° + 92° = 180° — можуть |
| 3) | 64° + 106° = 170° — не можуть |
| 4) | 103° + 87° = 190° — не можуть |
- 1)Додаємо міри кутів. Сума суміжних кутів завжди 180°.
- 2)Сума 180° — кути можуть бути суміжними. Інша сума — не можуть.
- 3)У пункті 2 кут 88° гострий, а 92° тупий — саме так, як каже наслідок 2.
Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) ні.
Приклад 3. Знайди кут, суміжний з даним
Знайдемо кут, суміжний з кутом: 1) 37°; 2) 124°; 3) 90°.
| 1) | 180° − 37° = 143° |
| 2) | 180° − 124° = 56° |
| 3) | 180° − 90° = 90° |
- 1)Разом суміжні кути дають 180°. Тому від 180° віднімаємо відомий кут.
- 2)Перевіряємо за наслідком 2. Кут 37° гострий, а суміжний з ним кут 143° — тупий.
- 3)Кут 124° тупий, а суміжний з ним кут 56° — гострий.
Відповідь: 1) 143°; 2) 56°; 3) 90°.
Як побудувати суміжний кут
Приклад 4. Побудуй кут, суміжний з даним
Накреслимо транспортиром ∠DEF = 70°. Побудуємо суміжний з ним кут так, щоб EF була їхньою спільною стороною.
Спільна сторона EF лишилася на місці. Продовжили другу сторону — ED.
- 1)Проводимо промінь EF. Транспортиром будуємо кут DEF, що дорівнює 70°.
- 2)Спільна сторона — EF, її не чіпаємо. Продовжуємо за вершину E другу сторону, ED. Отримуємо промінь EK.
- 3)Промені ED і EK доповняльні, а EF — спільна сторона. Отже, ∠DEF і ∠FEK суміжні.
- 4)Обчислюємо: ∠FEK = 180° − 70° = 110°. Транспортир покаже те саме.
Відповідь: ∠FEK = 110°.
Приклад 5. Накресли суміжні кути із заданою спільною стороною
Накреслимо дві пари суміжних кутів різної міри. У першій парі спільна сторона вертикальна, у другій — горизонтальна.
Пряма через вершину похила, тому кути вийшли різними.
- 1)Креслення а). Проводимо похилу пряму AB і позначаємо на ній точку O. З точки O проводимо вгору вертикальний промінь OK.
- 2)Отримали суміжні кути AOK і KOB. Транспортир показує 110° і 70°.
- 3)Креслення б). Проводимо похилу пряму MN і позначаємо на ній точку P. З точки P проводимо праворуч горизонтальний промінь PT.
- 4)Отримали суміжні кути TPM і NPT. Транспортир показує 60° і 120°.
Чому пряма похила? Якби в пункті а) пряма AB була горизонтальною, обидва кути вийшли б прямими, тобто рівними. А за умовою кути різні.
Відповідь: наприклад, 110° і 70°; 60° і 120°.
Коли кут задано частинами
Приклад 6. Знайди кут, суміжний з кутом, поділеним на частини
1) Промінь, що проходить між сторонами кута, ділить його на кути 28° і 47°. 2) Бісектриса кута P утворює з його стороною кут 41°. Знайдемо в кожному пункті кут, суміжний з даним.
| 1) | 28° + 47° = 75°; 180° − 75° = 105° |
| 2) | ∠P = 41° · 2 = 82°; 180° − 82° = 98° |
- 1)Спершу знаходимо весь кут. За основною властивістю вимірювання кутів його частини додаємо.
- 2)Бісектриса ділить кут навпіл. Тому весь кут удвічі більший за 41°.
- 3)Лише потім віднімаємо весь кут від 180°.
Відповідь: 1) 105°; 2) 98°.
Задачі, які розв'язують рівнянням
Часто жоден із суміжних кутів не відомий. Натомість сказано, як вони пов'язані: «на 34° більший», «у 4 рази більший», «становить $\frac{2}{3}$ іншого». Тоді один кут позначаємо через $x^\circ$ і складаємо рівняння.
Приклад 7. Один кут на кілька градусів більший чи менший
1) Знайдемо суміжні кути, якщо один з них на 34° більший за інший. 2) Знайдемо суміжні кути, якщо один з них на 24° менший від іншого.
Розв'язання. Для зручності записів менший кут позначимо ∠1, а більший — ∠2.
| 1) | Нехай ∠1 = $x^\circ$, тоді ∠2 = $x^\circ+34^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180° (за властивістю суміжних кутів), маємо рівняння: $x+x+34=180$; $2x=146$; $x=73$. | |
| Отже, ∠1 = 73°, ∠2 = 73° + 34° = 107°. | |
| 2) | Нехай ∠2 = $x^\circ$, тоді ∠1 = $x^\circ-24^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180°, маємо рівняння: $x+x-24=180$; $2x=204$; $x=102$. | |
| Отже, ∠2 = 102°, ∠1 = 102° − 24° = 78°. |
- 1)Позначаємо через $x^\circ$ той кут, через який зручно виразити другий.
- 2)За властивістю суміжних кутів складаємо рівняння. Посилання на властивість пишемо в дужках.
- 3)Знайшовши $x$, обчислюємо обидва кути. Відповідь — два числа.
- 4)Перевіряємо: 73 + 107 = 180 і 107 − 73 = 34; 102 + 78 = 180 і 102 − 78 = 24.
Відповідь: 1) 73°; 107°. 2) 78°; 102°.
Приклад 8. Один кут у кілька разів більший, або кути задано відношенням
Знайдемо суміжні кути, якщо: 1) один з них у 4 рази більший за інший; 2) вони відносяться як 2 : 7.
Розв'язання. Менший кут позначимо ∠1, більший — ∠2.
| 1) | Нехай ∠1 = $x^\circ$, тоді ∠2 = $4x^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180° (за властивістю суміжних кутів), маємо рівняння: $x+4x=180$; $5x=180$; $x=36$. | |
| Отже, ∠1 = 36°, ∠2 = 4 · 36° = 144°. | |
| 2) | Нехай ∠1 = $2x^\circ$, тоді ∠2 = $7x^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180°, маємо рівняння: $2x+7x=180$; $9x=180$; $x=20$. | |
| Отже, ∠1 = 2 · 20° = 40°, ∠2 = 7 · 20° = 140°. |
- 1)«У 4 рази більший» означає: якщо менший кут дорівнює $x^\circ$, то більший — $4x^\circ$.
- 2)Відношення 2 : 7 означає, що кути складаються з 2 і 7 однакових частин. Одна частина — $x^\circ$.
- 3)Увага: $x$ у пункті 2 — це одна частина. Щоб отримати кути, множимо 20° на 2 і на 7.
- 4)Перевіряємо: 36 · 4 = 144 і 36 + 144 = 180; 40 : 140 = 2 : 7 і 40 + 140 = 180.
Відповідь: 1) 36°; 144°. 2) 40°; 140°.
Приклад 9. Один кут становить дріб або відсотки іншого
Знайдемо суміжні кути, якщо один з них становить: 1) $\frac{2}{3}$ від іншого; 2) 20 % від іншого.
Розв'язання. Кут, який становить частину, позначимо ∠1, а інший кут — ∠2.
| 1) | Нехай ∠2 = $x^\circ$, тоді ∠1 = $\frac{2}{3}x^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180° (за властивістю суміжних кутів), маємо рівняння: $x+\frac{2}{3}x=180$; $\frac{5}{3}x=180$. | |
| $x=180:\frac{5}{3}=180\cdot\frac{3}{5}=108$ | |
| Отже, ∠2 = 108°, ∠1 = 180° − 108° = 72°. | |
| 2) | Нехай ∠2 = $x^\circ$, тоді ∠1 = $0{,}2x^\circ$. |
| Оскільки ∠1 + ∠2 = 180°, маємо рівняння: $x+0{,}2x=180$; $1{,}2x=180$; $x=150$. | |
| Отже, ∠2 = 150°, ∠1 = 180° − 150° = 30°. |
- 1)Слова «від іншого» кажуть, від якого кута беремо частину. Цей інший кут і позначаємо через $x^\circ$.
- 2)Відсотки записуємо десятковим дробом: 20 % = 0,2.
- 3)Перевіряємо умову: 108 : 3 · 2 = 72 і 0,2 · 150 = 30. Збіглося.
Відповідь: 1) 72°; 108°. 2) 30°; 150°.
Гострий і тупий кут: з яким суміжний даний кут
Приклад 10. З'ясуй, з яким кутом суміжний відомий кут
Дано гострий кут P і тупий кут Q. Їхні градусні міри відносяться як 1 : 3.
Кут, суміжний з одним із них, дорівнює 145°. Знайдемо ∠P і ∠Q.
| 1) | 145° — тупий кут, тому він суміжний з гострим кутом P (наслідок 2) |
| 2) | ∠P = 180° − 145° = 35° |
| 3) | ∠Q = 3 · 35° = 105° — справді тупий |
- 1)Спершу з'ясовуємо, з яким кутом суміжний кут 145°. Він тупий.
- 2)За наслідком 2 суміжний з тупим кутом Q був би гострим. Отже, 145° суміжний з гострим кутом P.
- 3)Знаходимо ∠P, а тоді ∠Q з відношення 1 : 3.
- 4)Перевіряємо: 35° гострий, 105° тупий, 35 : 105 = 1 : 3.
Якщо відомий кут гострий, міркуємо навпаки. Нехай тупий кут C і гострий кут D відносяться як 5 : 3. Кут, суміжний з одним з них, дорівнює 60°.
Кут 60° гострий, тож він суміжний з тупим кутом C. Тоді ∠C = 180° − 60° = 120°. Одна частина — 120° : 5 = 24°, тому ∠D = 3 · 24° = 72°.
Відповідь: ∠P = 35°, ∠Q = 105°; ∠C = 120°, ∠D = 72°.
Бісектриси суміжних кутів
Приклад 11. Знайди кут між бісектрисами суміжних кутів
Кути BOK і KOA суміжні, ∠BOK = 50°. Промінь OM — бісектриса кута BOK, промінь ON — бісектриса кута KOA. Знайдемо ∠MON.
Однакові дужки позначають рівні кути. Кут між бісектрисами прямий.
| 1) | ∠KOA = 180° − 50° = 130° |
| 2) | ∠MOK = 50° : 2 = 25°; ∠KON = 130° : 2 = 65° |
| 3) | ∠MON = ∠MOK + ∠KON = 25° + 65° = 90° |
- 1)Бісектриса ділить свій кут навпіл. Тому кут MON складається з половини одного кута й половини другого.
- 2)Разом суміжні кути дають 180°. Отже, їхні половини разом дають 180° : 2 = 90°.
- 3)Тому відповідь не залежить від того, який кут дано: кут між бісектрисами суміжних кутів завжди прямий.
Відповідь: ∠MON = 90°.
Приклад 12. Задача про дві пари суміжних кутів
1) Два кути відносяться як 2 : 3, а суміжні з ними — як 7 : 6. Знайдемо ці кути.
2) Один із двох кутів на 30° більший за інший, а суміжні з ними відносяться як 4 : 5. Знайдемо ці кути.
Розв'язання.
| 1) | Нехай кути дорівнюють $2x^\circ$ і $3x^\circ$, тоді суміжні з ними — $(180-2x)^\circ$ і $(180-3x)^\circ$ (за властивістю суміжних кутів). |
| $(180-2x):(180-3x)=7:6$ | |
| $6(180-2x)=7(180-3x)$ | |
| $1080-12x=1260-21x$; $9x=180$; $x=20$ | |
| Отже, кути 40° і 60°; суміжні з ними 140° і 120°. | |
| 2) | Нехай кути дорівнюють $x^\circ$ і $(x+30)^\circ$, тоді суміжні з ними — $(180-x)^\circ$ і $(150-x)^\circ$. |
| Менший суміжний до більшого: $(150-x):(180-x)=4:5$ | |
| $5(150-x)=4(180-x)$ | |
| $750-5x=720-4x$; $x=30$ | |
| Отже, кути 30° і 60°; суміжні з ними 150° і 120°. |
- 1)Позначаємо дані кути через $x$. Суміжні з ними знаходимо відніманням від 180°: $180-(x+30)=150-x$.
- 2)Відношення суміжних кутів записуємо пропорцією. За основною властивістю пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.
- 3)У пункті 2 більшому кутові відповідає менший суміжний. Тому $150-x$ стоїть проти меншого числа 4.
- 4)Перевіряємо: 140 : 120 = 7 : 6 і 120 : 150 = 4 : 5.
Відповідь: 1) 40°; 60°. 2) 30°; 60°.
Як довести твердження про суміжні кути
У доведенні кожен крок спирається на означення, теорему чи умову задачі. Посилання на них пишемо в дужках. Слово «очевидно» доведенням не є.
Приклад 13. Доведи наслідки 1 і 2
Доведемо: 1) кут, суміжний з прямим, — прямий; 2) кут, суміжний з гострим, — тупий.
Доведення. Нехай ∠1 і ∠2 суміжні.
| 1) | ∠1 + ∠2 = 180° (за властивістю суміжних кутів), тому ∠2 = 180° − ∠1. |
| 2) | Якщо ∠1 = 90°, то ∠2 = 180° − 90° = 90°. Отже, ∠2 прямий. |
| 3) | Якщо ∠1 гострий, то ∠1 < 90°. Від 180° віднімаємо менше за 90°, тому ∠2 > 90°. |
| 4) | Крім того, ∠1 > 0°, тому ∠2 < 180°. Отже, ∠2 тупий. Твердження доведено. |
- 1)Починаємо зі слова «Нехай» і називаємо кути, про які йдеться.
- 2)Записуємо властивість суміжних кутів і виражаємо з неї невідомий кут.
- 3)Для тупого кута перевіряємо обидві межі: більший за 90° і менший від 180°.
Так само доводять, що кут, суміжний з тупим, — гострий. А ще: суміжні кути рівні лише тоді, коли обидва прямі.
Приклад 14. Доведи наслідок 3
Нехай ∠3 суміжний з ∠K, а ∠4 — з ∠L, і ∠K = ∠L. Доведемо, що ∠3 = ∠4.
Доведення.
| 1) | ∠3 = 180° − ∠K, ∠4 = 180° − ∠L (за властивістю суміжних кутів). |
| 2) | ∠K = ∠L (за умовою), тому праві частини рівні. |
| 3) | Отже, ∠3 = ∠4. Твердження доведено. |
- 1)Кожен кут виражаємо через суміжний з ним: від 180° віднімаємо суміжний кут.
- 2)Від 180° віднімаємо рівні кути. Тому й результати рівні.
- 3)Числовий приклад: якщо ∠K = ∠L = 65°, то ∠3 = ∠4 = 115°.
Як перевірити себе
- Додай суміжні кути. Сума має бути рівно 180°: у прикладі 7 це 73° + 107° = 180°.
- Перевір вид кутів. Один із суміжних кутів гострий, а другий тупий. Обидва прямі — лише коли кути рівні.
- Підстав відповідь в умову. «Становить $\frac{2}{3}$ іншого»: 108 : 3 · 2 = 72, отже 72° справді $\frac{2}{3}$ від 108°.
- Дробовий кут — привід перевірити рівняння. Якщо вийшло $128\frac{4}{7}$°, подивись, від якого кута ти береш частину.
Де найчастіше помиляються
1. Взяли частину від 180°, а не від іншого кута
Завдання: знайти суміжні кути, якщо один з них становить $\frac{5}{7}$ від іншого.
Неправильно
| ∠1 = $180\cdot\frac{5}{7}=128\frac{4}{7}$ |
| ∠2 = $180-128\frac{4}{7}=51\frac{3}{7}$ |
Правильно
| ∠2 = $x^\circ$, ∠1 = $\frac{5}{7}x^\circ$ |
| $x+\frac{5}{7}x=180$; $\frac{12}{7}x=180$ |
| $x=180\cdot\frac{7}{12}=105$ |
| ∠2 = 105°, ∠1 = 75° |
Що сталося: в умові сказано «від іншого кута», а взяли $\frac{5}{7}$ від 180°. Але 180° — це сума обох кутів. Частину треба брати від другого кута.
Як помітити: перевір умову. У хибному розв'язку ∠1 більший за ∠2, хоча має бути його частиною. У правильному 105 : 7 · 5 = 75: 75° справді становить $\frac{5}{7}$ від 105°.
2. Назвали суміжними кути, які лише схожі на суміжні
Завдання: кути 1 і 2 розташовано, як на кресленні б), ∠2 = 70°. Знайти ∠1.
Неправильно
| спільна сторона є — «суміжні» |
| ∠1 = 180° − 70° = 110° |
Правильно
| дві інші сторони не утворюють пряму |
| кути не суміжні, 180° тут ні до чого |
| ∠1 вимірюємо транспортиром |
Що сталося: перевірили лише одну умову означення — спільну сторону.
Як помітити: приклади лінійку до двох інших сторін. Якщо вони не лягають на одну пряму, кути не суміжні.
3. Вирішили, що суміжні кути рівні
Завдання: кути 1 і 2 суміжні, ∠1 = 80°. Знайти ∠2.
Неправильно
| ∠2 = ∠1 = 80° |
| («суміжні кути рівні») |
Правильно
| ∠1 + ∠2 = 180° |
| ∠2 = 180° − 80° = 100° |
Що сталося: сплутали властивість суміжних кутів з рівністю. Суміжні кути рівні лише тоді, коли обидва прямі.
Як помітити: додай кути. У хибному розв'язку 80° + 80° = 160°. А сума суміжних кутів завжди 180°.
4. Не з'ясували, з яким кутом суміжний даний
Завдання: гострий кут P і тупий кут Q відносяться як 1 : 3. Кут, суміжний з одним з них, дорівнює 145°. Знайти ∠P і ∠Q.
Неправильно
| 145° суміжний з ∠Q |
| ∠Q = 180° − 145° = 35° |
| ∠P = 35° : 3 = $11\frac{2}{3}$° |
Правильно
| 145° тупий — суміжний з гострим ∠P |
| ∠P = 180° − 145° = 35° |
| ∠Q = 3 · 35° = 105° |
Що сталося: взяли перший-ліпший кут. Вийшло, що «тупий» кут Q дорівнює 35°, тобто гострий.
Як помітити: перевір вид кутів у відповіді. Кут, названий в умові тупим, має бути більшим за 90°.
Спробуй сам
- Промені OA і OB доповняльні. Промінь OC виходить з точки O і не лежить на прямій AB. Чи суміжні кути AOC і COB? А кути AOC і AOB?
- Чи можуть два суміжні кути дорівнювати: 1) 47° і 133°; 2) 95° і 95°; 3) 12° і 158°?
- Знайди кут, суміжний з кутом: 1) 26°; 2) 151°; 3) 90°.
- Накресли ∠PQR = 40°. Побудуй суміжний з ним кут, у якого спільна сторона — QR. Знайди його градусну міру.
- Накресли два суміжні кути різної міри так, щоб їхня спільна сторона була горизонтальною.
- 1) Промінь ділить кут на кути 33° і 59°. 2) Бісектриса кута утворює з його стороною кут 57°. Знайди в кожному пункті кут, суміжний з даним.
- Знайди суміжні кути, якщо один з них на 46° більший за інший.
- Знайди суміжні кути, якщо: 1) один з них у 5 разів менший від іншого; 2) вони відносяться як 4 : 5.
- Знайди суміжні кути, якщо один з них становить: 1) $\frac{4}{5}$ від іншого; 2) 50 % від іншого.
- Гострий кут E і тупий кут F відносяться як 3 : 8. Кут, суміжний з одним з них, дорівнює 135°. Знайди ∠E і ∠F.
- Суміжні кути дорівнюють 38° і 142°. Знайди кут між їхніми бісектрисами.
- Два кути відносяться як 1 : 4, а суміжні з ними — як 5 : 2. Знайди ці кути.
- ∠1 і ∠2 суміжні, і ∠1 більший за ∠2. Доведи, що ∠1 тупий.
Перевірити відповіді
- ∠AOC і ∠COB суміжні. ∠AOC і ∠AOB — ні: дві інші сторони, OC і OB, не утворюють пряму.
- 1) Так; 2) ні: сума 190°; 3) ні: сума 170°.
- 1) 154°; 2) 29°; 3) 90°.
- 140°: продовжуємо за вершину сторону QP.
- Наприклад, 50° і 130°. Пряма через вершину має бути похилою.
- 1) Увесь кут — 92°, суміжний з ним кут — 88°. 2) Увесь кут — 114°, суміжний з ним кут — 66°.
- 67° і 113°.
- 1) 30° і 150°; 2) 80° і 100°.
- 1) 80° і 100°; 2) 60° і 120°.
- ∠E = 45°, ∠F = 120°.
- 90°.
- 30° і 120°.
- ∠1 + ∠2 = 180° (за властивістю суміжних кутів), а ∠2 < ∠1, тому ∠1 + ∠1 > ∠1 + ∠2 = 180°, тобто ∠1 > 90°. Крім того, ∠2 > 0°, тому ∠1 < 180°. Отже, ∠1 тупий.
Повне розв'язання завдання 10
| 1) | 135° тупий, тому він суміжний з гострим ∠E |
| 2) | ∠E = 180° − 135° = 45° |
| 3) | одна частина: 45° : 3 = 15°; ∠F = 8 · 15° = 120° |
Перевірка: 45° гострий, 120° тупий, 45 : 120 = 3 : 8.
Повне розв'язання завдання 12
| 1) | кути: $x^\circ$ і $4x^\circ$; суміжні: $(180-x)^\circ$ і $(180-4x)^\circ$ |
| 2) | $(180-x):(180-4x)=5:2$ |
| 3) | $2(180-x)=5(180-4x)$ |
| 4) | $360-2x=900-20x$; $18x=540$; $x=30$ |
| 5) | кути 30° і 120°; суміжні 150° і 60° |
Перевірка: 30 : 120 = 1 : 4 і 150 : 60 = 5 : 2.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше частину беруть від 180°, а не від іншого кута.
Для батьків
Покладіть на стіл лінійку й олівець так, щоб олівець торкався лінійки кінцем. Попросіть дитину показати два суміжні кути і пояснити, чому разом вони дають 180°.
У задачах з рівнянням запитайте: «Від якого кута береться частина?» Відповідь «від 180°» — сигнал повернутися до умови.
Після кожної задачі нехай дитина додасть два знайдені кути. Сума 180° — перша перевірка.