Ти навчишся називати пари кутів, які утворює січна, і за двома кутами з'ясовувати, чи паралельні прямі. Також навчишся доводити, що прямі паралельні або що вони перетинаються.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке січна і які кути вона утворює
Січна для прямих a і b — це пряма, яка перетинає їх у двох точках. Одна з цих точок лежить на прямій a, друга лежить на прямій b.
Біля кожної точки перетину утворюються чотири кути, тож усього кутів вісім. Їх позначають цифрами від 1 до 8, як на кресленні.
Кути 1, 2, 3, 4 утворилися біля прямої a, кути 5, 6, 7, 8 утворилися біля прямої b.
Кути 3, 4, 5 і 6 лежать між прямими a і b, тому їх називають внутрішніми. Кути, що лежать по один бік від січної, називають односторонніми. Кути, що лежать по різні боки від неї, називають різносторонніми.
Внутрішні односторонні кути: 4 і 5; 3 і 6.
Внутрішні різносторонні кути: 4 і 6; 3 і 5.
Відповідні кути: 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8.
Відповідні кути займають однакове місце біля своїх точок перетину. Кут 2 лежить над прямою a праворуч від січної. Кут 6 лежить так само, тільки біля прямої b.
Інші пари кутів, наприклад 1 і 7, окремих назв не мають.
Як не сплутати назви: букви F, Z і С
Виділи кольором сторони двох кутів пари. Тоді на кресленні проступить знайома буква.
Відповідні кути 3 і 7 утворюють букву F. Внутрішні різносторонні кути 4 і 6 утворюють букву Z. Внутрішні односторонні кути 3 і 6 утворюють букву С.
- Буква F допомагає впізнати відповідні кути. Обидві «перекладини» букви йдуть в один бік, бо кути лежать однаково біля своїх прямих.
- Буква Z допомагає впізнати внутрішні різносторонні кути. Обидва кути лежать між прямими, але по різні боки від січної.
- Буква С допомагає впізнати внутрішні односторонні кути. Обидва кути лежать між прямими і по один бік від січної.
Буква буває поверненою чи віддзеркаленою: це залежить від того, як нахилено січну. Тому після букви перевір словами, чи лежать кути між прямими і з якого боку від січної.
Приклад 1. Запиши пари кутів, названих трьома буквами
Пряма KL перетинає пряму PQ у точці S, а пряму EF — у точці T. Запишемо всі пари внутрішніх односторонніх, внутрішніх різносторонніх і відповідних кутів.
Точка K лежить над прямою PQ, точка L лежить під прямою EF.
Розв'язання.
- 1)Січна — це пряма KL, бо вона перетинає обидві інші прямі. Вершина кожного кута — точка S або T, тому її пишемо посередині.
- 2)Внутрішні кути лежать між прямими PQ і EF. Одна сторона кожного з них іде вздовж відрізка ST: це ∠PST, ∠QST, ∠STE і ∠STF.
- 3)Внутрішні односторонні кути лежать по один бік від січної. Ліворуч від неї лежать ∠PST і ∠STE, праворуч лежать ∠QST і ∠STF.
- 4)Внутрішні різносторонні кути лежать по різні боки від січної. Це пари ∠PST і ∠STF, ∠QST і ∠STE.
- 5)Відповідні кути займають однакове місце біля точок S і T. Над своїми прямими ліворуч від січної лежать ∠KSP і ∠STE, праворуч лежать ∠KSQ і ∠STF. Під своїми прямими ліворуч лежать ∠PST і ∠ETL, праворуч лежать ∠QST і ∠FTL.
Відповідь: внутрішні односторонні: ∠PST і ∠STE, ∠QST і ∠STF. Внутрішні різносторонні: ∠PST і ∠STF, ∠QST і ∠STE. Відповідні: ∠KSP і ∠STE, ∠KSQ і ∠STF, ∠PST і ∠ETL, ∠QST і ∠FTL.
Починай із внутрішніх кутів: у кожного з них одна сторона іде вздовж відрізка між точками перетину. Так легше не сплутати пари.
Пари кутів, позначених цифрами, визначають за тими самими правилами. Спершу знайди січну, потім з'ясуй, чи лежать кути між прямими і з якого боку від січної.
Як знайти одні кути за іншими
Біля кожної точки перетину вертикальні кути рівні, а суміжні кути в сумі дають 180°. Цього досить, щоб за одними кутами знайти інші.
Приклад 2. Знайди суму двох кутів
Пряма c перетинає прямі a і b, кути позначено цифрами від 1 до 8. Відомо, що ∠3 + ∠6 = 168°. Знайдемо ∠2 + ∠5.
Пряма c перетинає прямі a і b, кути позначено цифрами від 1 до 8.
Розв'язання.
- 1)Кути 2 і 3 суміжні, тому ∠2 = 180° − ∠3. Кути 5 і 6 теж суміжні, тому ∠5 = 180° − ∠6.
- 2)Додаємо ці рівності:
∠2 + ∠5 = (180° − ∠3) + (180° − ∠6) = = 360° − (∠3 + ∠6) = 360° − 168° = 192°.
Відповідь: 192°.
Якщо шукані кути вертикальні до даних, сума не змінюється. Кути 1 і 3 вертикальні, кути 8 і 6 теж вертикальні, тому ∠1 + ∠8 = ∠3 + ∠6 = 168°.
Такі суми знаходять для будь-яких двох прямих і січної. Чи паралельні прямі, тут знати не потрібно.
Що таке ознака
З'ясувати за означенням, чи паралельні дві прямі, не вдасться. Для цього прямі довелося б продовжувати без кінця й переконатися, що вони ніде не перетнуться.
Тому в геометрії доводять теореми, які дають простішу перевірку. Такі теореми називають ознаками.
Ознака — це теорема, яка називає умови. Якщо ці умови виконано, фігура має певну властивість або належить до певного виду.
Ознака паралельності називає умову для кутів при січній. Кути можна виміряти чи обчислити, тому перевірка стає можливою.
Ознака паралельності прямих
Теорема (ознака паралельності прямих). Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
Доведемо її від супротивного: припустимо, що прямі перетинаються, і прийдемо до суперечності. Величину кута позначимо грецькою буквою α (читають «альфа»).
Дано: відповідні кути при точках M і N рівні, кожен дорівнює α.
Припущення: прямі a і b перетинаються в точці P. Помаранчевим штрихом показано промінь NP₁, у який перейшов промінь MP.
Доведення.
| 1) | Нехай січна c перетинає пряму a в точці M, а пряму b — у точці N. Відповідні кути при точках M і N рівні: кожен дорівнює α. |
| 2) | Припустимо, що прямі a і b не паралельні, а перетинаються в деякій точці P. |
| 3) | Перенесемо кут при точці M уздовж січної, не змінюючи його величини, так, щоб вершина M перейшла в точку N. Тоді промінь MP перейде в промінь NP₁, і ∠MNP₁ = α. |
| 4) | Промінь NP₁ — це промінь MP, зсунутий уздовж січної вниз. Під час зсуву вниз уздовж січної кожна точка променя MP опускається нижче від прямої a. Тому на промені NP₁ немає жодної точки прямої a, зокрема й точки P. Отже, промені NP і NP₁ різні. Вони лежать по один бік від січної, тому утворюють із променем NM різні кути: ∠MNP ≠ α. |
| 5) | Але ∠MNP — це відповідний кут при точці N, і за умовою він дорівнює α. Маємо суперечність. |
| 6) | Отже, наше припущення хибне, і a ∥ b. |
Теорему доведено.
Якщо точка P лежить ліворуч від січної, міркують так само з відповідними кутами ліворуч. Вони теж рівні, бо кожен дорівнює 180° − α.
Три наслідки з ознаки
З ознаки легко вивести ще три твердження. Їх називають наслідками, і кожен із них теж доводять.
Наслідок 1. Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
За умовою ∠1 = ∠2. Кут 3 вертикальний до кута 1.
Доведення. Нехай внутрішні різносторонні кути 1 і 2 рівні. Кути 1 і 3 вертикальні, тому ∠3 = ∠1 = ∠2.
Кути 3 і 2 відповідні й рівні, тому a ∥ b за ознакою паралельності прямих. Твердження доведено.
Наслідок 2. Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
За умовою ∠1 + ∠2 = 180°. Кут 3 суміжний з кутом 1.
Доведення. Нехай сума внутрішніх односторонніх кутів 1 і 2 дорівнює 180°. Кути 1 і 3 суміжні, тому ∠1 + ∠3 = 180°.
З цих двох рівностей видно, що кожен із кутів 3 і 2 дорівнює 180° − ∠1. Тому ∠3 = ∠2. Кути 3 і 2 відповідні, тому a ∥ b за ознакою паралельності прямих.
Твердження доведено.
Наслідок 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
a ⊥ c і b ⊥ c.
Доведення. Нехай a ⊥ c і b ⊥ c. Тоді пряма c — січна для прямих a і b, і обидва внутрішні односторонні кути дорівнюють 90°.
90° + 90° = 180°, тому a ∥ b за наслідком 2.
Твердження доведено.
Наслідки теж можна використовувати як ознаки паралельності прямих. Тому в назві параграфа слово «ознаки» стоїть у множині.
Наслідок 3 пояснює, чому працює побудова паралельної прямої косинцем і лінійкою з § 8. Лінійка лежить на січній, а катет косинця щоразу утворює з нею прямий кут. Обидві проведені прямі перпендикулярні до лінійки, тому вони паралельні.
Так само обґрунтовують паралельність, коли в умові дано два прямі кути при одній січній.
Як з'ясувати, чи паралельні прямі
Часто дані кути не утворюють пари з назвою. Тоді один із них замінюють вертикальним або суміжним кутом.
Приклад 3. Знайди всі вісім кутів і з'ясуй, чи паралельні прямі
Пряма c перетинає прямі a і b, кути позначено цифрами від 1 до 8. Відомо, що ∠2 = 64° і ∠8 = 64°. Знайдемо всі кути й з'ясуємо, чи паралельні прямі a і b.
Дано ∠2 = 64° і ∠8 = 64°. Кут 6 позначено знаком «?».
Розв'язання.
- 1)Кути 6 і 8 вертикальні, тому ∠6 = ∠8 = 64°.
- 2)Кути 2 і 6 відповідні, і ∠2 = ∠6 = 64°. Тому a ∥ b за ознакою паралельності прямих.
- 3)Кути 4 і 2 вертикальні, тому ∠4 = 64°. Кут 1 суміжний з кутом 2, тому ∠1 = 180° − 64° = 116°. Кут 3 вертикальний до кута 1, тому ∠3 = 116°.
- 4)Біля прямої b кути знаходимо так само, через суміжні й вертикальні кути. Кут 5 суміжний з кутом 6, тому ∠5 = 116°. Кут 7 вертикальний до кута 5, тому ∠7 = 116°.
Відповідь: ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 64°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 116°; прямі a і b паралельні.
Можна піти й іншим шляхом. Внутрішні односторонні кути 4 і 5 у сумі дають 64° + 116° = 180°. Тому прямі паралельні й за наслідком 2.
Якщо січна перетинає три прямі, перевіряй так кожну пару прямих окремо.
Як довести, що прямі перетинаються
Аксіома паралельності прямих (§ 8). Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Ознака каже, коли прямі паралельні. Якщо ж відповідні кути не рівні, прямі перетинаються. Це доводять від супротивного за допомогою аксіоми паралельності.
Приклад 4. Доведи, що прямі перетинаються
Січна c перетинає пряму a в точці M, а пряму b — у точці N. Відповідні кути при точках M і N лежать над своїми прямими праворуч від січної. При точці M такий кут дорівнює 70°, а при точці N він дорівнює 80°.
Доведемо, що прямі a і b перетинаються.
Пряму b₁ проведено через точку N так, щоб відповідний кут дорівнював 70°.
Доведення.
| 1) | Припустимо, що прямі a і b не перетинаються, тобто a ∥ b. |
| 2) | Відкладемо від променя NM кут 70° праворуч від січної, як при точці M, і проведемо вздовж його другої сторони пряму b₁. Відповідні кути рівні, тому b₁ ∥ a за ознакою паралельності прямих. |
| 3) | Прямі b і b₁ різні, бо утворюють із січною різні кути: 80° і 70°. Точка N не лежить на прямій a, бо січна перетинає пряму a лише в точці M. Отже, через точку N проходять дві різні прямі, паралельні прямій a: пряма b (за припущенням) і пряма b₁. Це суперечить аксіомі паралельності прямих. |
| 4) | Отже, наше припущення хибне, і прямі a і b перетинаються. |
Твердження доведено.
Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути не рівні, то прямі перетинаються.
Прямі перетинаються й тоді, коли не рівні внутрішні різносторонні кути. Так само буде, коли сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180°. У цих випадках відповідні кути теж не рівні: це видно, якщо замінити один кут вертикальним чи суміжним (приклад 3).
Отже, досить знайти будь-яку пару відповідних кутів. Якщо вони рівні, прямі паралельні, а якщо не рівні, прямі перетинаються.
Чи можуть прямі бути паралельними
Іноді кути задано лише буквами, без креслення. Тоді назва пари залежить від того, як лежать точки відносно січної.
Приклад 5. З'ясуй, чи можуть прямі бути паралельними
Відомо, що ∠KLM = 55° і ∠LMN = 125°. З'ясуємо, чи можуть прямі KL і MN бути паралельними.
а) Точки K і N лежать по один бік від прямої LM.
б) Точки K і N лежать по різні боки від прямої LM.
Розв'язання.
- 1)Пряма LM перетинає прямі KL і MN, тому вона є для них січною. Одна сторона кожного з кутів KLM і LMN іде вздовж відрізка LM, тож обидва кути внутрішні.
- 2)Нехай точки K і N лежать по один бік від прямої LM. Тоді ці кути є внутрішніми односторонніми. 55° + 125° = 180°, тому KL ∥ MN за наслідком 2.
- 3)Нехай точки K і N лежать по різні боки від прямої LM. Тоді ці кути є внутрішніми різносторонніми. 55° ≠ 125°, тому прямі KL і MN перетинаються.
Відповідь: можуть, якщо точки K і N лежать по один бік від прямої LM.
Буває, що не підходить жодне розміщення. Для кутів 75° і 95° сума дорівнює 170°, а самі кути не рівні. Тоді прямі не можуть бути паралельними.
У таких задачах завжди називай, як лежать точки відносно січної: по один бік чи по різні боки.
Як провести паралельну пряму транспортиром
Приклад 6. Проведи паралельну пряму транспортиром і лінійкою
Точка P не лежить на прямій m. Проведемо через точку P пряму, паралельну прямій m, за допомогою транспортира й лінійки.
Кути при точках Q і P відповідні, кожен із них дорівнює 50°.
Розв'язання.
- 1)Проводимо через точку P пряму, яка перетинає пряму m. Точку перетину позначаємо Q.
- 2)Вимірюємо транспортиром кут при точці Q над прямою m праворуч від прямої PQ. Нехай він дорівнює 50°.
- 3)Будуємо при точці P такий самий кут 50°. Одна його сторона йде вгору по прямій PQ, а друга йде праворуч.
- 4)Проводимо лінійкою пряму n уздовж другої сторони кута.
- 5)Кути при точках Q і P лежать однаково: над своєю прямою праворуч від січної PQ. Тому вони відповідні, і вони рівні. Отже, n ∥ m за ознакою паралельності прямих.
Відповідь: n ∥ m.
Як з'ясувати, чи паралельні дві прямі
- Знайди січну. Вона перетинає обидві дані прямі, і на ній лежить по одній стороні кожного з кутів.
- Визнач, яку пару утворюють дані кути. Букви F, Z і С підкажуть, де відповідні, внутрішні різносторонні й внутрішні односторонні кути.
- Якщо пара не має назви, заміни один кут вертикальним або суміжним. Вертикальні кути рівні, а суміжні в сумі дають 180°.
- Перевір умову ознаки. Прямі паралельні, якщо відповідні чи внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
- Якщо для знайденої пари умову ознаки не виконано, прямі перетинаються. Це доводять від супротивного за допомогою аксіоми паралельності.
Як перевірити себе
- Перевір суміжні кути. Два сусідні кути біля однієї точки перетину разом утворюють розгорнутий кут. Тому їх сума має дорівнювати 180°.
- Перевір назву пари словами. Буква на кресленні може бути поверненою. Тому ще раз з'ясуй, чи лежать кути між прямими і з якого боку від січної.
- Подивись, на що спирається висновок «паралельні». Він має спиратися на ознаку або на один із трьох наслідків. Рівність будь-яких двох кутів ще не означає, що прямі паралельні.
- Порівнюй самі числа. Відповідні кути 99° і 100° на кресленні майже не відрізнити. Проте вони різні, тому такі прямі перетинаються.
Де найчастіше помиляються
1. Сплутали внутрішні односторонні кути з різносторонніми
Завдання: як називаються кути 1 і 2?
Неправильно
| кути 1 і 2 лежать між прямими a і b |
| вони внутрішні односторонні |
Правильно
| кути 1 і 2 лежать між прямими a і b |
| кут 1 лежить ліворуч від січної, кут 2 праворуч |
| вони внутрішні різносторонні |
Що сталося: перевірили, що кути внутрішні, але не подивилися, з якого боку від січної лежить кожен.
Як помітити: виділи сторони кутів кольором. Буква Z означає внутрішні різносторонні кути, а буква С означає внутрішні односторонні.
2. Вивели паралельність з рівності кутів, для яких ознаки немає
Завдання: ∠1 = ∠2 = 80°. Чи паралельні прямі a і b?
Неправильно
| ∠1 = ∠2 |
| a ∥ b |
Правильно
| кути 1 і 2 внутрішні односторонні |
| 80° + 80° = 160°, а не 180° |
| прямі a і b перетинаються |
Що сталося: ознака вимагає рівності відповідних чи внутрішніх різносторонніх кутів. Для внутрішніх односторонніх кутів потрібна сума 180°, а не рівність.
Як помітити: спершу назви пару кутів, а потім бери умову, яка підходить саме до цієї пари.
3. Вважали майже рівні кути рівними
Завдання: кути на кресленні дорівнюють 120° і 119°. Чи паралельні прямі a і b?
Неправильно
| кути внутрішні різносторонні |
| 120° і 119° майже рівні |
| a ∥ b |
Правильно
| кути внутрішні різносторонні |
| 120° ≠ 119° |
| прямі a і b перетинаються |
Що сталося: на кресленні прямі здаються паралельними, і різниці в 1° не помітили.
Як помітити: порівнюй самі числа. Навіть за різниці в 1° прямі десь перетнуться.
Спробуй сам
Завдання 1–4 виконай за кресленням з кутами від 1 до 8.
- Як називаються кути 3 і 5? Кути 2 і 6? Кути 3 і 6?
- Відомо, що ∠1 + ∠7 = 150°. Знайди ∠4 + ∠6.
- ∠4 = 105°, ∠5 = 75°. Чи паралельні прямі a і b?
- ∠1 = 132°, ∠6 = 48°. Знайди всі вісім кутів. Чи паралельні прямі a і b?
- ∠ABC = 40°, ∠BCD = 40°. Чи можуть прямі AB і CD бути паралельними?
- Пряма AD перетинає прямі AB і DC, точки B і C лежать по один бік від прямої AD. Бісектриси кутів BAD і ADC перетинаються в точці E, і ∠EAD + ∠EDA = 90°. Доведи, що AB ∥ DC.
- Прямі p і q перпендикулярні до прямої s. Пряма t перетинає пряму p. Чи перетинає пряма t пряму q?
- Накресли пряму m і точку P поза нею. Проведи через P пряму, паралельну m, транспортиром і лінійкою. Який кут при точці P треба побудувати, якщо кут при прямій m дорівнює 70°?
Перевірити відповіді
- Кути 3 і 5 внутрішні різносторонні, кути 2 і 6 відповідні, кути 3 і 6 внутрішні односторонні.
- 210°. Кути 1 і 3 вертикальні, кути 7 і 5 теж, тому ∠3 + ∠5 = 150°. Кути 4 і 6 суміжні з кутами 3 і 5, тому ∠4 + ∠6 = 360° − 150° = 210°.
- Так. Кути 4 і 5 внутрішні односторонні, і 105° + 75° = 180°.
- ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 48°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 132°. Прямі паралельні, бо відповідні кути 2 і 6 рівні.
- Можуть, якщо точки A і D лежать по різні боки від прямої BC. Тоді кути внутрішні різносторонні й рівні.
- AB ∥ DC; повне доведення — нижче.
- Так, перетинає; повне розв'язання — нижче.
- Відповідний кут, який теж дорівнює 70°.
Повне розв'язання завдання 6
Доведення.
| 1) | AE — бісектриса кута BAD, тому ∠BAD = 2 · ∠EAD. Так само ∠ADC = 2 · ∠EDA. |
| 2) | ∠BAD + ∠ADC = 2 · (∠EAD + ∠EDA) = 2 · 90° = 180°. |
| 3) | Точки B і C лежать по один бік від прямої AD. Тому кути BAD і ADC — внутрішні односторонні для прямих AB і DC та січної AD. Їх сума дорівнює 180°, тому AB ∥ DC за наслідком 2. |
Твердження доведено.
Повне розв'язання завдання 7
Розв'язання.
| 1) | Прямі p і q перпендикулярні до прямої s, тому p ∥ q за наслідком 3. |
| 2) | Пряма t перетинає пряму p у точці O. Точка O лежить на прямій p, а p ∥ q, тому O не лежить на прямій q. Якби пряма t не перетинала q, то через точку O проходили б дві різні прямі, паралельні прямій q: p і t. Це суперечить аксіомі паралельності прямих, тому t перетинає q. |
Відповідь: так.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше плутають внутрішні односторонні й внутрішні різносторонні кути.
Для батьків
Попросіть дитину показати на кресленні пару відповідних, пару внутрішніх односторонніх і пару внутрішніх різносторонніх кутів. Нехай для кожної пари скаже, чи лежать кути між прямими і з якого боку від січної.
Запитайте, чи паралельні прямі, якщо два кути при січній рівні. Прямі паралельні, лише якщо ці кути відповідні або внутрішні різносторонні. Для внутрішніх односторонніх кутів потрібна сума 180°.