Ти навчишся проводити паралельну пряму косинцем і лінійкою та знаходити паралельні прямі на кресленні. Також навчишся доводити від супротивного, що прямі перетинаються або не перетинаються.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Які прямі називають паралельними
Дві різні прямі на площині або мають одну спільну точку, або не мають жодної. У першому випадку прямі перетинаються, у другому — не перетинаються.
а) Прямі a і b перетинаються в точці O. б) Прямі a і b не перетинаються.
Паралельні прямі — це дві прямі на площині, які не перетинаються.
Записують: a ∥ b. Читають: «Пряма a паралельна прямій b».
Паралельні прямі легко побачити навколо нас: рейки на прямій ділянці залізниці, лінії в зошиті, протилежні сторони віконної рами.
Пряма нескінченна в обидва боки, а на кресленні видно лише її частину. Тому дві лінії, які не перетинаються на аркуші, ще можуть перетнутися за його краєм.
Як провести паралельну пряму
Паралельні прямі будують креслярським косинцем і лінійкою. Косинець має форму прямокутного трикутника. Дві його сторони, що утворюють прямий кут, називають катетами.
Під час побудови лінійку тримають нерухомо, а косинець ковзає вздовж неї.
Приклад 1. Проведи через точку пряму, паралельну даній
Точка B не лежить на прямій a. Проведемо через точку B пряму, паралельну прямій a.
Штрихом показано, де косинець був спочатку. Помаранчева стрілка показує, куди його посунули.
Розв'язання.
- 1)Прикладаємо косинець одним катетом до прямої a.
- 2)До другого катета прикладаємо лінійку і міцно її притискаємо.
- 3)Посуваємо косинець уздовж лінійки, доки перший катет не дійде до точки B.
- 4)Проводимо пряму b уздовж цього катета. Вона проходить через B, і b ∥ a.
Відповідь: b ∥ a.
Лінійка не дає косинцю повернутися, тому катет весь час іде в тому самому напрямку, що й пряма a. Через це нова пряма не перетинає пряму a.
Можна прикладати косинець до прямої a різними сторонами, але через точку B щоразу пройде та сама пряма. Це й записано в аксіомі.
Аксіома паралельності прямих (аксіома VIII). Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Цю властивість ще називають основною властивістю паралельних прямих. Її не доводять: як і інші аксіоми, її здавна вважають істинною.
Як знайти паралельні прямі на кресленні
Приклад 2. Знайди на кресленні паралельні прямі
На кресленні три прямі: a, b і c. Знайдемо пари паралельних прямих і запишемо їх символами.
Пряма b перетинає дві інші прямі.
Розв'язання.
- 1)Пряма b на кресленні перетинає пряму a і пряму c. Тому пари a і b, b і c не паралельні.
- 2)Прямі a і c на аркуші не перетинаються. Перевіримо їх косинцем і лінійкою.
- 3)Прикладаємо косинець катетом до прямої a, а до другого катета прикладаємо лінійку. Посуваємо косинець уздовж лінійки до прямої c. Катет ліг точно на c.
Відповідь: a ∥ c.
Катет, що ковзає вздовж лінійки, проводить лише прямі, паралельні прямій a. Через точку на прямій c така пряма одна. Якщо катет ліг на c, то саме c і є цією прямою, тому c ∥ a.
Якщо ж між катетом і прямою c лишилася щілина, яка розширюється, прямі десь перетинаються. Тоді вони не паралельні.
Скільки паралельних прямих можна провести
Приклад 3. Порахуй прямі, паралельні даній
Точка M лежить поза прямою c. Знайдемо, скільки є прямих, паралельних прямій c: 1) серед прямих, що проходять через M; 2) на всій площині.
а) Через M проходить лише одна пряма d, паралельна c. Сірі прямі через M перетинають c. б) Прямі, паралельні c, перетинають пряму l у різних точках.
Розв'язання.
- 1)Точка M не лежить на прямій c. За аксіомою паралельності через M проходить лише одна пряма, паралельна c. Будь-яка інша пряма через M перетинає c.
- 2)Проведемо пряму l, перпендикулярну до c, і позначимо на ній скільки завгодно точок поза c. Через кожну з них проходить пряма, паралельна c. Ці прямі різні, бо перетинають l у різних точках. Отже, паралельних до c прямих безліч.
Відповідь: 1) одну; 2) безліч.
Уважно читай, що питають. «Через точку M» означає одну пряму, а «взагалі» означає всі такі прямі на площині.
Паралельні відрізки та промені
Відрізки або промені називають паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
Для них теж пишуть знак ∥, наприклад MN ∥ OP. Тут важать прямі, на яких лежать відрізки й промені. Самі відрізки можуть бути короткими й далеко один від одного.
Приклад 4. Накресли паралельні й перпендикулярні відрізки та промінь
Накреслимо відрізки MN і ST та промінь OP. Відрізок MN має бути паралельний променю OP. Відрізок ST має бути перпендикулярний до променя OP.
Сірими штрихами показано прямі, на яких лежать відрізок MN і промінь OP.
Розв'язання.
- 1)Проводимо пряму і беремо на ній відрізок MN.
- 2)Косинцем і лінійкою проводимо пряму, паралельну прямій MN. Позначаємо на ній точку O, праворуч від неї точку P і проводимо промінь OP.
- 3)Прикладаємо косинець катетом до прямої OP. Уздовж другого катета проводимо пряму і беремо на ній відрізок ST.
Відповідь: MN ∥ OP, ST ⊥ OP.
Відрізок ST може й не торкатися самого променя. Досить, щоб пряма ST була перпендикулярна до прямої OP.
Прямі, паралельні сторонам кута
Приклад 5. Проведи прямі, паралельні сторонам кута, і виміряй кут між ними
Накреслимо ∠DEF = 140° і позначимо точку K у внутрішній області кута. Через K проведемо пряму m, паралельну променю ED, і пряму n, паралельну променю EF. Знайдемо кут між прямими m і n.
Нагадаємо: кутом між прямими, що перетинаються, називають менший з утворених кутів.
Прямі m і n проведено через точку K косинцем і лінійкою.
Розв'язання.
- 1)Транспортиром будуємо ∠DEF = 140° і ставимо точку K між його сторонами.
- 2)Косинцем і лінійкою проводимо через K пряму m, паралельну ED.
- 3)Так само проводимо через K пряму n, паралельну EF.
- 4)Вимірюємо транспортиром кути, які утворили прямі m і n при точці K. Виходять 140° і 40°. Кут між прямими дорівнює меншому з них, тобто 40°.
Відповідь: 40°.
Висновок з вимірювання такий. Один із кутів при точці K дорівнює ∠DEF. Сусідній з ним кут дорівнює 180° − 140° = 40°, бо разом вони утворюють розгорнутий кут.
Якщо зробити таку саму побудову для гострого кута, наприклад 65°, транспортир покаже між прямими теж 65°. Поки що це лише висновок з вимірювання. Довести його допоможуть властивості паралельних прямих, які вивчають пізніше.
Що таке доведення від супротивного
Деякі твердження зручно доводити так. Спершу припускають протилежне до того, що треба довести. Потім міркують, доки не прийдуть до суперечності.
Суперечність означає, що припущення хибне. Двох протилежних тверджень одночасно бути не може, тому правильним є те, що треба було довести.
Як доводити від супротивного
- Припусти протилежне до того, що треба довести. Якщо треба довести «прямі перетинаються», пиши: «Припустимо, що прямі не перетинаються, тобто вони паралельні».
- Міркуй, спираючись на припущення й умову, доки не дійдеш до суперечності. Назви, чому саме суперечить висновок: умові, аксіомі чи вже доведеному твердженню.
- Запиши, що припущення хибне. Отже, правильне те, що треба було довести.
Приклад 6. Доведи, що пряма перетинає другу з двох паралельних прямих
Прямі m і n паралельні. Пряма p перетинає пряму m у точці T. Доведемо, що пряма p перетинає й пряму n.
Пряма p перетинає пряму m у точці T.
Доведення.
| 1) | Припустимо, що пряма p не перетинає пряму n, тобто p ∥ n. |
| 2) | Точка T лежить на прямій m, а m ∥ n, тому T не лежить на прямій n. Тоді через точку T проходять дві прямі, паралельні прямій n: пряма m (за умовою) і пряма p (за припущенням). Це різні прямі, бо вони перетинаються. Отже, маємо суперечність з аксіомою паралельності прямих. |
| 3) | Отже, наше припущення хибне, і пряма p перетинає пряму n. |
Твердження доведено.
Тепер це твердження можна використовувати в інших задачах: пряма, що перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає й другу.
Так само доводять, що дві прямі перетинаються, і в інших задачах. Шукай точку, через яку за припущенням проходили б дві прямі, паралельні одній прямій. Часто це точка перетину прямих, дана в умові.
Не забудь пояснити, чому ці дві прямі різні. Найчастіше причина в тому, що вони перетинаються.
Приклад 7. Доведи, що пряма не перетинає другу з двох паралельних прямих
Прямі m і n паралельні. Пряма l не перетинає пряму n. Доведемо, що пряма l не перетинає й пряму m.
Прямі m і n паралельні за умовою.
Доведення.
| 1) | Припустимо, що пряма l перетинає пряму m. |
| 2) | Тоді l перетинає одну з двох паралельних прямих m і n. Пряма, що перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає й другу (приклад 6). Тому l перетинає n, а це суперечить умові. |
| 3) | Отже, наше припущення хибне, і пряма l не перетинає пряму m. |
Твердження доведено.
Тут припущення суперечить умові задачі. Буває, що воно суперечить аксіомі або вже доведеному твердженню. У всіх цих випадках доведення від супротивного будують однаково.
Буває, що паралельних прямих три: m ∥ n і n ∥ k. Тоді твердження «пряма, що перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає й другу» застосовують двічі.
Спершу його застосовують до тієї пари паралельних прямих, одну з яких дана пряма перетинає за умовою. Потім його застосовують до пари, у якій ця пряма вже перетинає одну з прямих.
Як розв'язувати задачі на паралельні прямі
- Щоб провести паралельну пряму, приклади косинець катетом до даної прямої, а до другого катета приклади лінійку. Посунь косинець уздовж лінійки до потрібної точки.
- Щоб з'ясувати, чи паралельні прямі на кресленні, не довіряй оку. Продовж прямі лінійкою або перевір їх косинцем і лінійкою, бо прямі можуть перетнутися за краєм аркуша.
- Відрізки й промені продовж до прямих, бо їхню паралельність визначають прямі, на яких вони лежать.
- На запитання «скільки паралельних прямих» спершу з'ясуй, чи йдеться про одну точку. Через точку поза прямою проходить одна така пряма, а на всій площині їх безліч.
- Якщо треба довести, що прямі перетинаються або не перетинаються, доводь від супротивного.
Як перевірити себе
- Не вирішуй лише за малюнком, що прямі паралельні. Продовж прямі лінійкою: якщо вони перетнулися, вони не паралельні. Якщо не перетнулися, перевір їх косинцем і лінійкою, бо продовження на аркуші ще не показує, що прямі не перетнуться далі.
- Перевір побудову косинцем і лінійкою. Приклади косинець до нової прямої і посунь уздовж лінійки до даної. Якщо прямі паралельні, катет ляже на дану пряму.
- Перечитай припущення в доведенні. Воно має заперечувати саме те, що треба довести. Якщо треба довести «перетинаються», припущення починається словами «не перетинаються».
- Знайди речення про суперечність. Після слів «Це суперечить…» має стояти, чому саме: умові, аксіомі чи доведеному твердженню. Без цього доведення неповне.
Де найчастіше помиляються
1. Вирішили, що прямі паралельні, бо на малюнку вони не перетинаються
Завдання: прямі a і b на кресленні не перетинаються. Чи паралельні вони?
Неправильно
| на кресленні a і b не перетинаються |
| a ∥ b |
Правильно
| продовжуємо a і b лінійкою |
| вони перетинаються в точці X |
| прямі не паралельні |
Що сталося: подивилися лише на намальовані частини прямих, хоча самі прямі нескінченні.
Як помітити: якщо проміжок між лініями з одного боку вужчий, ніж з другого, вони сходяться. Продовж їх, і точка перетину знайдеться.
2. Назвали паралельними відрізки, які просто не перетинаються
Завдання: відрізки AB і CD розміщено, як на кресленні. Чи паралельні вони?
Неправильно
| AB і CD не мають спільних точок |
| AB ∥ CD |
Правильно
| продовжуємо AB і CD до прямих |
| прямі перетинаються в точці Y |
| відрізки не паралельні |
Що сталося: перевіряли самі відрізки. Паралельність відрізків визначають прямі, на яких вони лежать.
Як помітити: короткі відрізки майже ніколи не перетинаються, але паралельні лише тоді, коли паралельні їхні прямі.
3. Припустили протилежне до умови, а не до того, що треба довести
Завдання: прямі m і n паралельні, пряма l не перетинає пряму n. Доведи, що пряма l не перетинає пряму m.
Неправильно
| Припустимо, що l перетинає n. |
| Це суперечить умові. |
| Отже, l не перетинає m. |
Правильно
| Припустимо, що l перетинає m. |
| Тоді l перетинає й n, бо m ∥ n. |
| Це суперечить умові. |
| Отже, припущення хибне, і l не перетинає m. |
Що сталося: заперечили умову, яка й так відома. Суперечність лише підтвердила умову, а про пряму m нічого не з'ясувала.
Як помітити: порівняй припущення з тим, що треба довести. Вони мають говорити про ті самі прямі, лише одне стверджує, а друге заперечує.
Спробуй сам
- Запиши символами: пряма KM паралельна прямій PT.
- Точка A не лежить на прямій c. Скільки прямих, паралельних прямій c, проходить через точку A? Скільки всього прямих, паралельних прямій c, можна провести на площині?
- Накресли пряму l і точку A поза нею. Проведи через A пряму, паралельну l, косинцем і лінійкою. Що під час побудови лежить нерухомо, а що пересувається?
- Відрізки AB і CD не мають спільних точок. Чи обов'язково вони паралельні?
- Накресли відрізок AB, промінь CD і відрізок EF. Промінь CD має бути паралельний відрізку AB. Відрізок EF має бути перпендикулярний до променя CD. Скільки разів тобі знадобиться косинець?
- Через точку K у внутрішній області кута 110° провели прямі, паралельні його сторонам. Який кут між цими прямими покаже транспортир?
- Прямі p і q перетинаються в точці O. Пряма s паралельна прямій p. Доведи, що прямі s і q перетинаються.
- Прямі m і n паралельні, прямі n і k теж паралельні. Пряма t перетинає пряму k. Доведи, що пряма t перетинає прямі n і m.
Перевірити відповіді
- KM ∥ PT.
- Через точку A — одну; на площині — безліч.
- Лінійка лежить нерухомо, а косинець пересувається вздовж неї.
- Ні. Їх треба продовжити: якщо прямі AB і CD перетинаються, відрізки не паралельні.
- Двічі: спершу разом з лінійкою, щоб провести паралельну пряму, потім щоб провести перпендикулярну.
- 70°: прямі утворять кути 110° і 180° − 110° = 70°, а кут між прямими дорівнює меншому з них.
- Прямі s і q перетинаються; повне доведення — нижче.
- Пряма t перетинає n і m; повне доведення — нижче.
Повне розв'язання завдання 7
Доведення.
| 1) | Припустимо, що пряма s не перетинає пряму q, тобто s ∥ q. |
| 2) | Точка O лежить на прямій p, а p ∥ s, тому O не лежить на прямій s. Тоді через точку O проходять дві прямі, паралельні прямій s: пряма p (за умовою) і пряма q (за припущенням). Це різні прямі, бо вони перетинаються в точці O. Маємо суперечність з аксіомою паралельності прямих. |
| 3) | Отже, припущення хибне, і прямі s і q перетинаються. |
Твердження доведено.
Повне розв'язання завдання 8
Доведення.
| 1) | n ∥ k, і пряма t перетинає k. Пряма, що перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає й другу. Тому t перетинає n. |
| 2) | m ∥ n, і пряма t перетинає n. За тим самим твердженням t перетинає m. |
Твердження доведено.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше прямі вважають паралельними лише тому, що на малюнку вони не перетинаються.
Для батьків
Попросіть дитину провести пряму, поставити точку поза нею і косинцем з лінійкою провести через точку паралельну пряму. Нехай пояснить, що вона тримала нерухомо, а що пересувала.
Запитайте, чи паралельні дві лінії, якщо на аркуші вони не перетинаються. Правильна відповідь — не завжди, бо прямі нескінченні й можуть перетнутися за краєм аркуша.
Якщо дитина доводить від супротивного, попросіть її прочитати вголос речення «Припустимо, що…». Воно має заперечувати саме те, що треба довести, а не умову задачі.