Ти навчишся перевіряти й будувати перпендикулярні прямі косинцем і позначати точку на заданій відстані від прямої. Також розв'яжеш задачі на кути при перпендикулярних прямих і доведеш перпендикулярність.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Коли прямі перпендикулярні
Нехай прямі a і b перетинаються і один з утворених кутів прямий: ∠1 = 90°. Знайдемо три інші кути.
Кут 1 прямий. Кути 1 і 3 вертикальні, кути 1 і 2 суміжні.
| 1) | ∠3 = ∠1 = 90° (як вертикальні). |
| 2) | ∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 90° = 90° (як суміжні). |
| 3) | ∠4 = ∠2 = 90° (як вертикальні). |
Якщо один із чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, прямий, то й решта три кути прямі. Про такі прямі кажуть, що вони перетинаються під прямим кутом.
Перпендикулярні прямі — це дві прямі, які перетинаються під прямим кутом.
Записують: a ⊥ b. Читають: «Пряма a перпендикулярна до прямої b».
Тому досить знайти один прямий кут, щоб записати a ⊥ b. Перевіряти інші три кути не треба.
Як перевірити й побудувати перпендикулярні прямі
Для цього беруть креслярський косинець. Один його кут прямий. Дві сторони косинця, що утворюють цей кут, називають катетами.
Приклад 1. Перевір косинцем, чи перпендикулярні прямі
Прямі a і b перетинаються. Перевіримо косинцем, чи перпендикулярні вони, на двох кресленнях.
а) Пряма b іде вздовж катета. б) Між прямою b і катетом видно щілину.
Розв'язання.
- 1)Прикладаємо косинець одним катетом до прямої a. Вершину прямого кута ставимо в точку перетину прямих.
- 2)Дивимося на пряму b. На кресленні а) вона йде точно вздовж другого катета, отже, кут між прямими прямий.
- 3)На кресленні б) пряма b відходить від катета, і вгорі видно щілину. Отже, кут не прямий.
Відповідь: а) a ⊥ b; б) прямі не перпендикулярні.
Якщо прямі на кресленні не перетинаються, вони не перпендикулярні. За означенням перпендикулярні прямі перетинаються.
Приклад 2. Проведи через точку пряму, перпендикулярну до даної
Точка B не лежить на прямій a. Проведемо через точку B пряму, перпендикулярну до a.
а) Точка B поза прямою a. б) Точка C на прямій a. Нову пряму проводять уздовж другого катета.
Розв'язання.
- 1)Прикладаємо косинець одним катетом до прямої a. Пересуваємо його вздовж прямої, доки другий катет не дійде до точки B.
- 2)Притискаємо косинець і проводимо пряму b уздовж другого катета. Вона проходить через B, і b ⊥ a.
Відповідь: b ⊥ a.
Буває, що точка B далеко від прямої і катет до неї не дістає. Тоді прикладаємо до другого катета лінійку і пересуваємо косинець разом з нею, доки край лінійки не пройде через точку B.
Коли точка лежить на самій прямій, як точка C на кресленні б), вершину прямого кута косинця ставимо в цю точку. Пряма c уздовж другого катета перпендикулярна до a.
Косинець можна прикласти з різних боків, але вздовж другого катета через цю точку щоразу пройде та сама пряма. Тому перпендикулярна пряма через точку виходить одна.
Через будь-яку точку площини проходить лише одна пряма, перпендикулярна до даної прямої.
Перпендикуляр і відстань від точки до прямої
Нехай точка A не лежить на прямій m. Проведемо через A пряму, перпендикулярну до m. Вона перетне m у точці B.
AB — перпендикуляр до прямої m, точка B — його основа.
Перпендикуляр до прямої, проведений з даної точки, — це відрізок перпендикулярної прямої між даною точкою і точкою перетину прямих. Цю точку перетину називають основою перпендикуляра.
Довжину перпендикуляра називають відстанню від точки до прямої.
Отже, перпендикуляр з точки A починається саме в точці A і закінчується саме на прямій m. Інший відрізок тієї самої перпендикулярної прямої перпендикуляром з точки A не є.
Приклад 3. Познач точку на відстані 2,5 см від прямої
Накреслимо пряму a і позначимо точку A, яка лежить на відстані 2,5 см від прямої a.
Відстань відкладено вздовж перпендикулярної прямої (штрихова лінія).
Розв'язання.
- 1)Позначаємо на прямій a будь-яку точку M.
- 2)Косинцем проводимо через M пряму, перпендикулярну до a.
- 3)На цій прямій лінійкою відкладаємо від M відрізок 2,5 см. Другий його кінець позначаємо буквою A.
Відповідь: MA — перпендикуляр до прямої a, тому відстань від A до a дорівнює 2,5 см.
Відкладати 2,5 см навскіс не можна. Тоді відрізок не буде перпендикуляром, і відстань до прямої вийде іншою.
Точку можна поставити по будь-який бік від прямої. Якщо треба позначити кілька точок на різних відстанях, для кожної повторюємо ті самі кроки.
Перпендикулярні відрізки та промені
Відрізки або промені називають перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.
Для них теж пишуть знак ⊥, наприклад AB ⊥ CD. Самі відрізки чи промені можуть і не перетинатися. Важливо лише, як розміщені прямі, на яких вони лежать.
Відрізки, що лежать на одній прямій, не перпендикулярні. Для перпендикулярності потрібні дві різні прямі.
Приклад 4. Визнач, чи перпендикулярні відрізки й промені
Перевіримо три креслення. Чи перпендикулярні а) відрізки DE і FG; б) промінь KT і відрізок CL; в) відрізки PQ і RS?
Креслення а), б), в) ідуть згори донизу. Штрихові лінії — продовження відрізків і променів до прямих.
Розв'язання.
На кожному кресленні робимо те саме. Спершу продовжуємо лінійкою відрізки й промені, доки продовження не перетнуться. Так видно прямі, на яких вони лежать.
Потім у точці перетину прикладаємо косинець катетом до однієї прямої і дивимося, чи йде друга вздовж другого катета.
| а) | Прямі DE і FG перетинаються під прямим кутом. Отже, DE ⊥ FG, хоча самі відрізки не перетинаються. |
| б) | Прямі KT і CL теж перетинаються під прямим кутом, тому KT ⊥ CL. Те, що промінь відрізка не торкається, значення не має. |
| в) | Відрізки перетинаються, але кут між ними 76°. Це не 90°, тому вони не перпендикулярні. |
Відповідь: а) так; б) так; в) ні.
Так само креслять перпендикулярні відрізки, які не перетинаються. Спершу проводять дві перпендикулярні прямі, а потім беруть на кожній відрізок подалі від точки перетину.
Чи перпендикулярні прямі, якщо дано кути
Приклад 5. З'ясуй за кутами, чи перпендикулярні прямі
Прямі AB, KL і MN перетинаються в точці O, промінь OK проходить між OA і ON. ∠AOK = 43°, ∠KON = 48°. Чи перпендикулярні прямі AB і MN?
Промінь OK проходить між сторонами кута AON.
Розв'язання.
| 1) | ∠AON = ∠AOK + ∠KON = 43° + 48° = 91°. |
| 2) | 91° ≠ 90°, тому ∠AON не прямий. |
| 3) | Отже, прямі AB і MN не перпендикулярні. |
Відповідь: ні.
На кресленні кут AON здається прямим, бо різницю в 1° на око не видно. Тому в таких задачах вирішує обчислення.
Буває інакше: більший з даних кутів містить усередині менший. Тоді кут між променями двох прямих дорівнює різниці даних кутів. Наприклад, якщо 124° − 34° = 90°, то прямі перпендикулярні.
Кути при перпендикулярних прямих
Приклад 6. Знайди кут, коли дві з трьох прямих перпендикулярні
Прямі PQ, EF і ST перетинаються в точці O, причому PQ ⊥ EF. Знайдемо ∠SOF, якщо ∠POT = 125°.
Кут POT складається з прямого кута POE і кута EOT.
Розв'язання.
| 1) | Оскільки PQ ⊥ EF, то ∠POE = 90°. |
| 2) | ∠EOT = ∠POT − ∠POE = 125° − 90° = 35°. |
| 3) | ∠SOF = ∠EOT (як вертикальні), тому ∠SOF = 35°. |
Відповідь: 35°.
Перпендикулярні прямі дають у задачі ще один відомий кут, 90°. Подивись, з яких кутів складається даний чи шуканий кут, і додай або відніми 90°. Далі допомагають вертикальні й суміжні кути.
Як доводити перпендикулярність
У задачах на доведення кожен крок спирається на умову, означення або відому властивість. Причину пишуть у дужках, наприклад «(як вертикальні)». Посилання «видно з малюнка» доведенням не є.
Приклад 7. Доведи, що прямі перпендикулярні, якщо суміжні кути рівні
Прямі AB і CD перетинаються в точці O, ∠AOC = ∠COB. Доведемо, що AB ⊥ CD.
Рівні кути позначено однаковими дужками.
Доведення.
| 1) | ∠AOC і ∠COB суміжні (спільна сторона OC, а OA і OB — доповняльні промені), тому ∠AOC + ∠COB = 180°. |
| 2) | За умовою ці кути рівні, тому кожен дорівнює 180° : 2 = 90°. |
| 3) | Прямі AB і CD перетинаються під прямим кутом, отже, AB ⊥ CD. |
Твердження доведено.
Приклад 8. Доведи рівність кутів, коли пряма перпендикулярна до бісектриси
Промінь OK — бісектриса кута AOB. Через точку O провели пряму MN, перпендикулярну до OK, як на кресленні. Доведемо, що ∠AOM = ∠BON.
Бісектриса ділить кут AOB на два рівні кути x.
Доведення.
| 1) | OK — бісектриса, тому ∠AOK = ∠KOB. Позначимо кожен з них через $x$. |
| 2) | MN ⊥ OK, тому ∠MOK = 90° і ∠KON = 90°. |
| 3) | Промінь OA проходить між OM і OK, тому ∠AOM = 90° − $x$. Так само ∠BON = 90° − $x$. |
| 4) | Праві частини однакові, отже, ∠AOM = ∠BON. |
Твердження доведено.
Тут рівні кути позначено однією буквою $x$, а інші кути виражено через неї. Так доводять і перпендикулярність.
Нехай промені ділять розгорнутий кут на чотири кути, що йдуть підряд: $x$, $x$, $y$, $y$. Тоді $2x+2y=180^\circ$, звідки $x+y=90^\circ$. Отже, промінь між двома кутами $x$ перпендикулярний до променя між двома кутами $y$.
Приклад 9. Доведи, що три точки лежать на одній прямій
Кути MKP і PKN прямі, а точки M і N лежать по різні боки від прямої KP. Доведемо, що точки M, K і N лежать на одній прямій.
Два прямі кути зі спільною стороною KP.
Доведення.
| 1) | Промінь KP проходить між KM і KN, тому ∠MKN = ∠MKP + ∠PKN = 90° + 90° = 180°. |
| 2) | Кут 180° розгорнутий, тому його сторони KM і KN — доповняльні промені. Отже, M, K і N лежать на одній прямій. |
Твердження доведено.
Якщо M і N лежать по один бік від KP, промені KM і KN обидва перпендикулярні до KP. Через точку K проходить лише одна така пряма, тому обидва промені лежать на ній, і точки знову на одній прямій.
Цей прийом допомагає й тоді, коли бісектриси двох кутів зі спільною стороною перпендикулярні. Самі кути при цьому лежать по різні боки від спільної сторони.
Кут між бісектрисами складається з половин цих кутів, тому половини разом дають 90°. Цілі кути вдвічі більші й разом дають 2 · 90° = 180°, тому ці кути суміжні.
Як розв'язувати задачі на перпендикулярні прямі
- Щоб перевірити креслення, приклади косинець катетом до однієї прямої. Друга пряма має йти вздовж другого катета.
- Відрізки й промені продовж до прямих, бо їхню перпендикулярність визначають прямі, на яких вони лежать.
- Якщо дано кути, склади чи відніми їх і порівняй з 90°. Око тут не допоможе, бо різниці в 1° не видно.
- Якщо прямі перпендикулярні, запиши кут 90° між ними. Подивись, з яких кутів складається даний чи шуканий кут, і додай або відніми 90°. Далі шукай вертикальні й суміжні кути.
- Відстань від точки до прямої вимірюй лише вздовж перпендикуляра, бо саме його довжину називають відстанню.
Як перевірити себе
- Перевір побудову косинцем ще раз. Приклади косинець одним катетом до щойно проведеної прямої. Якщо прямі перпендикулярні, дана пряма піде вздовж другого катета.
- Порівняй відповідь з кресленням. Креслення буває неточним, але гострий кут від тупого на ньому відрізнити можна. Якщо шуканий кут явно гострий, а в тебе вийшов тупий, перевір, чи той кут ти знайшов.
- Додай сусідні кути, що разом заповнюють розгорнутий кут. Такі кути мають спільну вершину на прямій і лежать по один бік від неї, тому їхня сума має дорівнювати 180°.
- Перевір кути біля перпендикулярних прямих. Кути, з яких складається прямий кут, разом мають дати рівно 90°.
Де найчастіше помиляються
1. Перпендикулярність визначили на око
Завдання: прямі AB, KL і MN перетинаються в точці O, ∠LON = 131°. Промінь OB проходить між OL і ON, ∠LOB = 40°. Чи перпендикулярні прямі AB і MN?
Неправильно
| ∠BON на кресленні схожий на прямий |
| AB ⊥ MN |
Правильно
| ∠BON = 131° − 40° = 91° |
| 91° ≠ 90° |
| прямі не перпендикулярні |
Що сталося: повірили кресленню, хоча кут відрізняється від прямого лише на 1°.
Як помітити: якщо в умові є кути, перпендикулярність треба довести обчисленням. Без нього запис ⊥ не обґрунтований.
2. Вирішили, що відрізки без спільної точки не бувають перпендикулярними
Завдання: відрізки EF і GH розміщено, як на кресленні. Чи перпендикулярні вони?
Неправильно
| EF і GH не перетинаються |
| «не перпендикулярні» |
Правильно
| продовжуємо EF і GH до прямих |
| прямі перетинаються під кутом 90° |
| EF ⊥ GH |
Що сталося: перевіряли самі відрізки, а перпендикулярність відрізків визначають прямі, на яких вони лежать.
Як помітити: якщо відрізки не перетинаються, продовж їх лінійкою і лише тоді прикладай косинець.
3. Відстань від точки до прямої виміряли не по перпендикуляру
Завдання: PH ⊥ m, PH = 2 см, PK = 3 см, точки H і K лежать на прямій m. Знайди відстань від точки P до прямої m.
Неправильно
| відстань = PK |
| відстань 3 см |
Правильно
| PH ⊥ m, тому PH — перпендикуляр |
| відстань = PH = 2 см |
Що сталося: відстанню назвали довжину відрізка, який не перпендикулярний до прямої.
Як помітити: біля перпендикуляра на кресленні стоїть знак прямого кута. Відстань — це довжина саме того відрізка, біля якого цей знак.
4. Від прямого кута відняли, як від розгорнутого
Завдання: AB ⊥ CD, промінь OK проходить між OA і OD, ∠AOK = 35°. Знайди ∠KOD.
Неправильно
| ∠KOD = 180° − 35° = 145° |
Правильно
| ∠AOD = 90°, бо AB ⊥ CD |
| ∠KOD = 90° − 35° = 55° |
Що сталося: кути AOK і KOD вважали суміжними. Але разом вони утворюють прямий кут, а не розгорнутий.
Як помітити: шуканий кут на кресленні гострий, а 145° — тупий кут. Така відповідь з кресленням не узгоджується.
Спробуй сам
- Прямі m і n перетинаються, і один з утворених кутів дорівнює 90°. Чому дорівнюють три інші кути? Як записати, що прямі перпендикулярні?
- Скільки прямих, перпендикулярних до прямої c, можна провести через точку, яка лежить на прямій c?
- Точка P не лежить на прямій m. PH — перпендикуляр до m завдовжки 4 см, а відрізок PK, де K лежить на m, має 5 см. Яка відстань від точки P до прямої m?
- Прямі, на яких лежать відрізки AB і CD, перпендикулярні, але самі відрізки не перетинаються. Чи перпендикулярні відрізки AB і CD?
- Накресли пряму a і точку T на відстані 3 см від неї. Скільки разів тобі знадобився косинець?
- Прямі AB, KL і MN перетинаються в точці O, промінь OK проходить між OA і ON. ∠AOK = 38°, ∠KON = 51°. Чи перпендикулярні прямі AB і MN?
- Прямі AB, KL і MN перетинаються в точці O, промінь OB проходить між OL і ON. ∠LON = 127°, ∠LOB = 37°. Чи перпендикулярні прямі AB і MN?
- Прямі AB і CD перпендикулярні й перетинаються в точці O. Промінь OK проходить між OA і OD, ∠COK = 117°. Знайди ∠KOD і ∠AOK.
- AB ⊥ CD, O — точка їх перетину. Промінь OE проходить між OA і OD, ∠AOE = 30°. Промінь ON проходить між OD і OB, ∠EON = 100°. Знайди ∠CON.
- Точка O лежить на прямій AE, промені OB, OC і OD лежать по один бік від неї. Відомо, що ∠AOB = ∠BOC і ∠COD = ∠DOE. Доведи, що OB ⊥ OD.
- Кути KOM і MOP прямі, точки K і P лежать по різні боки від прямої OM. Чи лежать точки K, O і P на одній прямій? Чому?
Перевірити відповіді
- Усі по 90°; m ⊥ n.
- Одну.
- 4 см: це довжина перпендикуляра PH.
- Так, бо вони лежать на перпендикулярних прямих.
- Один раз: щоб провести перпендикулярну пряму. Відстань 3 см відкладають лінійкою.
- Ні: 38° + 51° = 89°, а не 90°.
- Так: 127° − 37° = 90°.
- ∠KOD = 63°, ∠AOK = 27°.
- 140°.
- OB ⊥ OD; повне доведення — нижче.
- Так: 90° + 90° = 180°, тому кут KOP розгорнутий.
Повне розв'язання завдання 9
| 1) | Оскільки AB ⊥ CD, то ∠AOD = 90°, і ∠EOD = 90° − 30° = 60°. |
| 2) | ∠DON = ∠EON − ∠EOD = 100° − 60° = 40°. |
| 3) | ∠CON = 180° − ∠DON = 180° − 40° = 140° (як суміжні). |
Перевірка: 30° + 60° = 90° і 140° + 40° = 180°.
Повне розв'язання завдання 10
| 1) | Позначимо ∠AOB = ∠BOC = $x$ і ∠COD = ∠DOE = $y$. |
| 2) | Ці кути разом утворюють розгорнутий кут AOE, тому $2x+2y=180^\circ$, звідки $x+y=90^\circ$. |
| 3) | ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = $x+y=90^\circ$. Отже, OB ⊥ OD. |
Твердження доведено.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше від прямого кута віднімають так, ніби він розгорнутий.
Для батьків
Попросіть дитину провести пряму навскоси й поставити точку поза нею. Нехай дитина косинцем проведе через точку перпендикулярну пряму й пояснить, як прикладала косинець.
Запитайте, чи можуть бути перпендикулярними відрізки, які не перетинаються. Правильна відповідь — так, бо перпендикулярність відрізків визначають прямі, на яких вони лежать.
Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90°. Якщо в такій задачі дитина віднімає кут від 180°, запитайте, чи справді відомий і шуканий кути разом утворюють розгорнутий кут.