Ти навчишся знаходити вертикальні кути й доводити, що вони рівні. За одним кутом зможеш знайти всі чотири кути при перетині двох прямих, а також кут між прямими.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке вертикальні кути
Проведемо дві прямі MN і PQ, які перетинаються в точці O. Навколо точки O утворилися чотири кути.
Однаковим кольором позначено вертикальні кути.
Подивимося на кути NOP і MOQ. Сторони першого кута — промені ON і OP. Сторони другого — OM і OQ.
Промінь OM доповнює ON до прямої MN. Промінь OQ доповнює OP до прямої PQ. Отже, кожна сторона кута MOQ — доповняльний промінь до сторони кута NOP.
Вертикальні кути — це два кути, у яких сторони одного є доповняльними променями сторін іншого.
Коли дві прямі перетинаються, утворюються дві пари вертикальних кутів. На кресленні це ∠NOP і ∠MOQ, а також ∠POM і ∠QON.
Властивість вертикальних кутів
На кресленні обидва кути першої пари мають по 55°, а другої — по 125°. Це не випадковість.
Теорема (властивість вертикальних кутів). Вертикальні кути рівні між собою.
Доведення. Нехай кути NOP і MOQ вертикальні (креслення вище). Доведемо, що вони рівні.
| 1) | ∠NOP і ∠POM суміжні, тому ∠NOP + ∠POM = 180°. |
| 2) | ∠MOQ і ∠POM теж суміжні: спільна сторона OM, а OP і OQ — доповняльні промені. Тому ∠MOQ + ∠POM = 180°. |
| 3) | Маємо: ∠NOP = 180° − ∠POM і ∠MOQ = 180° − ∠POM. |
Праві частини цих рівностей однакові, тому рівні й ліві: ∠NOP = ∠MOQ. Теорему доведено.
На нашому кресленні: 180° − 125° = 55°, і обидва кути справді по 55°. Про суміжні кути і їхню суму 180° — у статті «Суміжні кути: властивість і як знайти невідомий кут».
Пам'ятка: чотири кути, але лише два різні
Позначимо один із чотирьох кутів через $x$. Вертикальний до нього кут теж дорівнює $x$. Два інші кути суміжні з ним, тому кожен дорівнює $180^\circ-x$.
При перетині двох прямих два кути дорівнюють $x$, а два інші — $180^\circ-x$.
Отже, досить знати один кут, щоб знайти всі чотири. Будь-які два з цих кутів або вертикальні (рівні), або суміжні (разом 180°).
Як знайти кути при перетині двох прямих
- Знайди пари вертикальних кутів. Це кути, що лежать один навпроти одного.
- Кут, вертикальний до відомого, дорівнює йому.
- Кут, суміжний з відомим, дорівнює 180° мінус відомий кут.
- Якщо кути задано умовою, з'ясуй, суміжні вони чи вертикальні, і склади рівняння.
- Якщо треба знайти всі кути, запиши у відповідь чотири числа. Якщо треба знайти кут між прямими, запиши менший з кутів.
Як упізнати вертикальні кути
Приклад 1. Чи є кути 1 і 2 вертикальними
Розглянемо три креслення і перевіримо означення.
Вертикальні лише кути на кресленні а).
| а) | сторони кутів попарно утворюють дві прямі: вертикальні |
| б) | кути стоять один проти одного, але жодні два промені не утворюють пряму: не вертикальні |
| в) | спільна сторона є: це суміжні кути |
- 1)Беремо сторону кута 1 і продовжуємо її за вершину.
- 2)Продовження має збігтися зі стороною кута 2. Перевіряємо так обидві сторони.
- 3)Якщо з точки виходять лише три промені, вертикальних кутів там немає зовсім. Для них потрібні дві прямі.
Відповідь: вертикальні лише кути а).
Приклад 2. Три прямі перетинаються в одній точці
Прямі AD, BE і CF перетинаються в точці O. Знайдемо всі пари вертикальних кутів.
Кожен промінь має доповняльний: OA і OD, OB і OE, OC і OF.
| 1) | ∠DOC і ∠AOF; ∠COB і ∠FOE; ∠BOA і ∠EOD |
| 2) | ∠DOB і ∠AOE; ∠COA і ∠FOD; ∠BOF і ∠EOC |
- 1)Беремо кут між сусідніми променями, наприклад ∠DOC. Його сторони OD і OC замінюємо доповняльними: OA і OF. Вертикальний кут — ∠AOF.
- 2)Так само для ∠COB і ∠BOA. Це три пари.
- 3)Беремо кут, що охоплює два сусідні кути, наприклад ∠DOB. Доповняльні до OD і OB — промені OA і OE. Вертикальний кут — ∠AOE.
- 4)Так само для ∠COA і ∠BOF. Ще три пари.
Відповідь: 6 пар вертикальних кутів.
Як за одним кутом знайти інші три
Приклад 3. Один з кутів відомий
1) Один із вертикальних кутів дорівнює 67°. Знайдемо другий.
2) Прямі AB і CD перетинаються в точці O, ∠AOC = 58°. Знайдемо кути COB, BOD і DOA.
Дано один кут. Три інші позначено знаком «?».
| 1) | Вертикальні кути рівні, тому другий кут теж 67°. |
| 2) | ∠COB = 180° − ∠AOC = 180° − 58° = 122° (як суміжні). |
| ∠BOD = ∠AOC = 58° (як вертикальні). | |
| ∠DOA = ∠COB = 122° (як вертикальні). |
- 1)∠AOC і ∠COB мають спільну сторону OC, а OA і OB — доповняльні промені. Отже, кути суміжні.
- 2)∠BOD лежить навпроти ∠AOC, їхні сторони попарно утворюють прямі. Тому ці кути вертикальні.
- 3)Перевіряємо: 58° + 122° = 180°.
Відповідь: 1) 67°. 2) ∠COB = 122°, ∠BOD = 58°, ∠DOA = 122°.
Кут між прямими
Дві прямі, що перетинаються, утворюють чотири кути: два гострі й два тупі. Кутом між прямими називають менший з них, тобто гострий. Якщо ж усі чотири кути прямі, кут між прямими дорівнює 90°.
Кут між прямими, що перетинаються, — це менший з кутів, які утворилися при їхньому перетині.
Такий кут не може бути більшим за 90°.
Чому не більше за 90°? Два сусідні кути разом дають 180°. Якщо вони різні, менший з них менший від половини: 180° : 2 = 90°. Якщо рівні, обидва дорівнюють 90°.
Приклад 4. Знайди кут між прямими за тупим кутом
Прямі KL і MN перетинаються в точці O, ∠KOM = 136°. Знайдемо кут між прямими KL і MN.
Кут 136° тупий. Кут між прямими — менший, позначений «?».
| 1) | ∠KOM = 136° — тупий, тому він не є кутом між прямими. |
| 2) | ∠MOL = 180° − 136° = 44° (як суміжний з ∠KOM). |
| 3) | Менший з кутів — 44°. Це і є кут між прямими. |
- 1)Якщо відомий кут гострий або прямий, він і є кутом між прямими.
- 2)Якщо відомий кут тупий, кут між прямими — суміжний з ним.
Звідси правило для вимірювань. Якщо виміряний кут більший за 90° (наприклад, 150°), він не є кутом між прямими. Кут між прямими тоді дорівнює 180° − 150° = 30°.
Відповідь: 44°.
Приклад 5. Побудуй доповняльні промені до сторін кута
Накреслимо ∠KOT = 65°. Побудуємо доповняльні промені OR і OS до його сторін OK і OT. Обчислимо три нові кути, менші від розгорнутого.
Штрихові промені OR і OS — продовження сторін OK і OT за вершину.
| 1) | ∠TOR = 180° − 65° = 115° (як суміжні). |
| 2) | ∠ROS = ∠KOT = 65° (як вертикальні). |
| 3) | ∠SOK = ∠TOR = 115° (як вертикальні). |
- 1)Транспортиром будуємо ∠KOT = 65°.
- 2)Лінійкою продовжуємо сторону OK за вершину O — отримуємо промінь OR. Так само продовжуємо OT — отримуємо OS.
- 3)Обчислюємо кути, потім вимірюємо їх транспортиром. Числа мають збігтися.
- 4)Якщо треба лише виміряти кут між двома накресленими прямими, міряємо будь-який кут. Тупий кут віднімаємо від 180°.
Відповідь: ∠TOR = 115°, ∠ROS = 65°, ∠SOK = 115°.
Сума двох кутів: суміжні чи вертикальні
Приклад 6. Сума двох кутів не дорівнює 180°
Сума двох з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 164°. Знайдемо всі чотири кути.
| 1) | Сума суміжних кутів 180°, а тут 164°. Тому ці кути не суміжні. |
| 2) | Отже, вони вертикальні, тобто рівні: 164° : 2 = 82°. |
| 3) | Два інші кути: 180° − 82° = 98°. |
- 1)Два кути з чотирьох бувають лише суміжними або вертикальними.
- 2)Сума не 180° — отже, кути вертикальні. Ділимо суму навпіл.
- 3)Перевіряємо: 82° + 82° = 164°, 82° + 98° = 180°.
Відповідь: 82°, 98°, 82°, 98°.
Приклад 7. Один кут прямий або два сусідні кути рівні
1) Один із кутів при перетині двох прямих — прямий. Знайдемо решту.
2) Два сусідні кути при перетині двох прямих рівні. Знайдемо всі кути.
| 1) | Вертикальний до прямого кута — теж 90°. Суміжні з ним: 180° − 90° = 90°. |
| 2) | Сусідні кути суміжні, тому разом 180°. Вони рівні: 180° : 2 = 90°. |
| Отже, один кут прямий. За пунктом 1 усі чотири кути прямі. |
- 1)При перетині двох прямих сусідні кути мають спільну сторону, а дві інші їхні сторони — доповняльні промені. Тому вони суміжні.
Відповідь: 1) усі кути по 90°; 2) 90°, 90°, 90°, 90°.
Задачі, які розв'язують рівнянням
У таких задачах кути не дано. Натомість сказано, як вони пов'язані: «відносяться як 3 : 7», «на 36° більший», «становить 25 % іншого».
Спершу з'ясовуємо, суміжні ці кути чи вертикальні. Вертикальні кути рівні. Якщо ж кути різні, вони суміжні: їхня сума 180°, і за нею складаємо рівняння.
Приклад 8. Кути задано відношенням
Два з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відносяться як 3 : 7. Знайдемо всі чотири кути і кут між прямими.
Розв'язання. Будь-які два з цих кутів або суміжні, або вертикальні. Вертикальні кути рівні, а кути з відношенням 3 : 7 різні. Отже, вони суміжні.
| 1) | Нехай менший кут дорівнює $3x$, тоді більший — $7x$. |
| 2) | Оскільки сума суміжних кутів 180°, маємо рівняння: $3x+7x=180^\circ$, звідки $x=18^\circ$. |
| 3) | Тоді кути дорівнюють 3 · 18° = 54° і 7 · 18° = 126°. |
| Вертикальні до них теж 54° і 126°. |
- 1)Відношення 3 : 7 означає 3 і 7 однакових частин. Одна частина — $x$.
- 2)З рівняння $10x=180^\circ$ маємо $x=18^\circ$. Множимо 18° на 3 і на 7.
- 3)Кут між прямими — менший з кутів, тобто 54°.
- 4)Перевіряємо: 54 + 126 = 180 і 54 : 126 = 3 : 7.
Відповідь: 54°, 126°, 54°, 126°; кут між прямими 54°.
Приклад 9. Кути відрізняються на кілька градусів або в кілька разів
Знайдемо кут між прямими, що перетинаються, у двох випадках.
1) Різниця двох з утворених кутів дорівнює 36°. 2) Один з утворених кутів утричі більший за інший.
Розв'язання. Кути різні, тому вони не вертикальні. Отже, вони суміжні.
| 1) | Нехай менший кут дорівнює $x$, тоді більший — $x+36^\circ$. |
| Сума суміжних кутів 180°: $x+x+36^\circ=180^\circ$; $2x=144^\circ$; $x=72^\circ$. | |
| Кути 72° і 108°. Кут між прямими — 72°. | |
| 2) | Нехай менший кут дорівнює $x$, тоді більший — $3x$. |
| $x+3x=180^\circ$; $4x=180^\circ$; $x=45^\circ$. | |
| Кути 45° і 135°. Кут між прямими — 45°. |
- 1)Через $x$ позначаємо менший кут: тоді більший записуємо без віднімання.
- 2)Кут між прямими — менший кут. Тому відповідь — саме $x$.
- 3)Перевіряємо: 108 − 72 = 36 і 72 + 108 = 180; 135 : 45 = 3 і 45 + 135 = 180.
Відповідь: 1) 72°; 2) 45°.
Приклад 10. Один кут становить дріб або відсотки іншого
Знайдемо кут між прямими, що перетинаються, у двох випадках.
Один з утворених кутів становить: 1) $\frac{2}{7}$ від іншого; 2) 25 % від іншого.
Розв'язання. Кути різні, тому вони суміжні. Інший кут, від якого беремо частину, позначаємо через $x$.
| 1) | Нехай інший кут дорівнює $x$, тоді перший — $\frac{2}{7}x$. |
| $x+\frac{2}{7}x=180^\circ$; $\frac{9}{7}x=180^\circ$ | |
| $x=180^\circ:\frac{9}{7}=180^\circ\cdot\frac{7}{9}=140^\circ$ | |
| Кути 140° і 180° − 140° = 40°. Кут між прямими — 40°. | |
| 2) | Нехай інший кут дорівнює $x$, тоді перший — $0{,}25x$. |
| $x+0{,}25x=180^\circ$; $1{,}25x=180^\circ$; $x=144^\circ$ | |
| Кути 144° і 180° − 144° = 36°. Кут між прямими — 36°. |
- 1)Слова «від іншого» кажуть, від якого кута беремо частину. Цей кут і позначаємо через $x$.
- 2)Відсотки записуємо десятковим дробом: 25 % = 0,25.
- 3)Перевіряємо: 140 : 7 · 2 = 40 і 0,25 · 144 = 36.
Відповідь: 1) 40°; 2) 36°.
Приклад 11. Відома сума трьох кутів
Сума трьох з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 246°. Знайдемо кут між прямими.
| 1) | Серед трьох кутів обов'язково є два сусідні. Вони суміжні, тому разом дають 180°. |
| 2) | Третій кут: 246° − 180° = 66°. |
| 3) | Суміжний з ним: 180° − 66° = 114°. Кути: 66°, 114°, 66°, 114°. |
- 1)З пам'ятки: два кути дорівнюють $x$, а два інші — $180^\circ-x$. Отже, серед трьох кутів є пара суміжних і ще один кут.
- 2)Віднімаємо від суми 180° — отримуємо цей третій кут.
- 3)Менший з двох кутів — 66°. Перевіряємо: 66 + 114 + 66 = 246.
Відповідь: 66°.
Коли прямих три
Приклад 12. Знайди кут за двома даними
Прямі KN, LP і MS перетинаються в точці O. ∠KOL = 45°, ∠SOP = 70°. Знайдемо ∠MON.
Зелені дужки — вертикальні кути SOP і MOL.
| 1) | ∠MOL = ∠SOP = 70° (як вертикальні). |
| 2) | ∠KON — розгорнутий: ∠KOL + ∠LOM + ∠MON = 180°. |
| 3) | ∠MON = 180° − 45° − 70° = 65°. |
- 1)∠SOP не прилягає до шуканого кута. Замінюємо його вертикальним до нього ∠MOL: вони рівні.
- 2)Промені OK і ON доповняльні, тому ∠KON розгорнутий. Промені OL і OM ділять його на три кути.
- 3)Від 180° віднімаємо два відомі кути.
Відповідь: ∠MON = 65°.
Приклад 13. Кути, узяті через один
Три прямі перетинаються в одній точці. Кути 1, 2 і 3 узято через один, як на кресленні. ∠1 = 50°, ∠2 = 60°. Знайдемо ∠3.
Кут 4 вертикальний до кута 3. Кути 1, 4 і 2 разом — розгорнутий кут.
| 1) | ∠1 + ∠4 + ∠2 = 180°: разом вони утворюють розгорнутий кут. |
| 2) | ∠4 = 180° − 50° − 60° = 70°. |
| 3) | ∠3 = ∠4 = 70° (як вертикальні). |
- 1)Шукаємо кут, вертикальний до одного з даних. Він має стати поруч з іншими двома.
- 2)Три кути поруч, що лежать по один бік прямої, разом дають розгорнутий кут.
- 3)Звідси висновок: кути, узяті через один, разом завжди дають 180°. Перевіряємо: 50° + 60° + 70° = 180°.
Відповідь: ∠3 = 70°.
Як перевірити себе
- Порівняй вертикальні кути. Вони мають бути рівні: у прикладі 3 обидва по 58°.
- Додай сусідні кути. Сума — рівно 180°: 58° + 122° = 180°.
- Перевір кут між прямими. Він не більший за 90°. Вийшов тупий кут — візьми суміжний з ним.
- Підстав відповідь в умову. У прикладі 10: 0,25 · 144 = 36, отже, 36° справді 25 % від 144°.
Де найчастіше помиляються
1. За кут між прямими взяли тупий кут
Завдання: один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 142°. Знайти кут між прямими.
Неправильно
| 142° — найбільший з кутів |
| кут між прямими — 142° |
Правильно
| 142° — тупий кут |
| 180° − 142° = 38° |
| кут між прямими — 38° |
Що сталося: забули, що кут між прямими — менший з кутів.
Як помітити: кут між прямими ніколи не більший за 90°. Число понад 90° — сигнал узяти суміжний кут.
2. Вирішили, що кути з сумою не 180° не існують
Завдання: сума двох з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 150°. Знайти всі кути.
Неправильно
| кути суміжні: сума має бути 180° |
| 150° ≠ 180° |
| «таких кутів немає» |
Правильно
| 150° ≠ 180°, отже, кути вертикальні |
| 150° : 2 = 75° |
| 180° − 75° = 105° |
| 75°, 105°, 75°, 105° |
Що сталося: забули, що два кути з чотирьох можуть бути й вертикальними.
Як помітити: в умові сказано «два з кутів», без слова «суміжні». Отже, треба перевірити обидва випадки.
3. Узяли частину від 180°
Завдання: один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, становить 50 % від іншого. Знайти кут між прямими.
Неправильно
| 0,5 · 180° = 90° |
| 180° − 90° = 90° |
| кут між прямими — 90° |
Правильно
| інший кут — $x$, перший — $0{,}5x$ |
| $x+0{,}5x=180^\circ$; $1{,}5x=180^\circ$; $x=120^\circ$ |
| 180° − 120° = 60° |
| кут між прямими — 60° |
Що сталося: 50 % узяли від 180°. Але 180° — сума двох кутів. Частину треба брати від іншого кута.
Як помітити: перевір умову. У хибному розв'язку кути 90° і 90° рівні, а 90° — це не половина від 90°. У правильному 0,5 · 120 = 60.
4. У відповіді навели не всі кути
Завдання: один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 64°. Знайти інші кути.
Неправильно
| 180° − 64° = 116° |
| Відповідь: 116°. |
Правильно
| суміжні: 180° − 64° = 116° (їх два) |
| вертикальний: 64° |
| Відповідь: 116°, 64°, 116°. |
Що сталося: знайшли лише один суміжний кут. Але інших кутів три.
Як помітити: порахуй кути у відповіді. Разом із даним їх має бути чотири.
Спробуй сам
- Прямі EF і GH перетинаються в точці T. Назви обидві пари вертикальних кутів.
- З точки O виходять лише три промені. Чи можуть якісь два з утворених кутів бути вертикальними?
- Один з вертикальних кутів дорівнює 73°. Знайди другий.
- Три прямі перетинаються в одній точці. Скільки пар вертикальних кутів утворилося?
- Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 51°. Знайди інші кути.
- Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 147°. Знайди кут між прямими.
- Накресли ∠EOF = 40°. Побудуй доповняльні промені до його сторін. Обчисли три нові кути, менші від розгорнутого.
- Сума двох з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 212°. Знайди всі кути.
- Два сусідні кути, що утворилися при перетині двох прямих, рівні. Знайди всі чотири кути.
- Знайди кут між прямими, що перетинаються. Відомо про утворені кути: 1) два відносяться як 5 : 13. 2) Два мають різницю 24°. 3) Три мають суму 280°. 4) Один становить $\frac{3}{7}$ від іншого. 5) Один становить 80 % від іншого.
- Три прямі перетинаються в одній точці й утворюють шість кутів. Два сусідні кути дорівнюють 38° і 77°. Знайди решту чотири.
- Три прямі перетинаються в одній точці. Кути 1, 2 і 3 узято через один, як на кресленні. ∠1 = 35°, ∠2 = 80°. Знайди ∠3.
Перевірити відповіді
- ∠ETG і ∠FTH; ∠ETH і ∠GTF.
- Ні. Для вертикальних кутів потрібні дві прямі, тобто чотири промені, попарно доповняльні.
- 73°.
- 6 пар.
- 129°, 51°, 129°.
- 33°.
- 140°, 40°, 140°.
- 106°, 74°, 106°, 74°: сума більша за 180°, тому кути вертикальні.
- Усі по 90°.
- 1) 50°; 2) 78°; 3) 80°; 4) 54°; 5) 80°.
- 65°, 38°, 77°, 65°.
- 65°.
Повне розв'язання завдання 10, пункт 3
| 1) | Серед трьох кутів є два суміжні: разом 180°. |
| 2) | Третій кут: 280° − 180° = 100°. Він тупий. |
| 3) | Суміжний з ним: 180° − 100° = 80°. Кут між прямими — 80°. |
Перевірка: 100 + 80 + 100 = 280. Третій кут тут тупий, тому кут між прямими — суміжний з ним, 80°.
Повне розв'язання завдання 11
| 1) | Три кути поруч утворюють розгорнутий кут. Третій: 180° − 38° − 77° = 65°. |
| 2) | Решта три кути вертикальні до цих: 38°, 77°, 65°. |
Перевірка: 38 + 77 + 65 = 180.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше за кут між прямими беруть тупий кут.
Для батьків
Схрестіть два олівці й попросіть дитину показати дві пари вертикальних кутів. Нехай пояснить, чому кути в парі рівні.
У задачі з двома кутами запитайте: «Ці кути суміжні чи вертикальні? Як ти це знаєш?»
Кут між прямими — менший з кутів, що утворилися при перетині, тому тупим він не буває. Якщо в такій задачі дитина отримала, наприклад, 130°, вона взяла не той кут.