Кути при паралельних прямих і січній: як їх знайти і не сплутати властивість з ознакою — геометрія 7 клас

Ти навчишся знаходити кути, які утворює січна з паралельними прямими, і розв'язувати такі задачі за допомогою рівнянь. Також навчишся розрізняти, коли треба застосувати ознаку паралельності, а коли властивість паралельних прямих.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що вже відомо з § 9

Січна перетинає дві прямі й утворює з ними вісім кутів. Деякі пари цих кутів мають назви: відповідні, внутрішні різносторонні та внутрішні односторонні кути.

Ознака паралельності з § 9 і наслідки з неї відповідають на запитання «чи паралельні прямі?». Прямі паралельні, якщо відповідні кути рівні (ознака) або внутрішні різносторонні кути рівні (наслідок 1). Ще прямі паралельні, якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (наслідок 2) або обидві прямі перпендикулярні до третьої (наслідок 3).

У § 10 запитання обернене: прямі вже паралельні, то що можна сказати про кути?

Теорема 1: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою

Доведемо її від супротивного: припустимо протилежне до висновку і прийдемо до суперечності.

Припущення: прямі a і b перетинаються в точці P, хоча обидві паралельні прямій c.

Доведення.

1)	Нехай a ∥ c і b ∥ c. Доведемо, що a ∥ b.
2)	Припустимо, що прямі a і b не паралельні, а перетинаються в деякій точці P.
3)	Тоді через точку P проходять дві різні прямі a і b, і обидві паралельні прямій c. Точка P не лежить на прямій c, бо пряма a, яка проходить через P, з прямою c спільних точок не має. Але за аксіомою паралельності через таку точку проходить лише одна пряма, паралельна прямій c. Маємо суперечність.
4)	Отже, наше припущення хибне, і a ∥ b.

Теорему доведено.

Теорему 1 застосовують, коли пряму проводять паралельно одній з двох паралельних прямих. Така пряма буде паралельною й другій. Наприклад, якщо a ∥ b і m ∥ a, то m ∥ b.

Теорема 2: відповідні кути при паралельних прямих рівні

Креслення зроблено так, ніби ∠2 ≠ ∠1: саме це ми припускаємо в доведенні. Пряма a₁ проходить через точку M і утворює з січною кут, рівний куту 1.

Доведення.

1)	Нехай паралельні прямі a і b перетинає січна c у точках M і N. Кути 1 і 2 відповідні. Доведемо, що ∠1 = ∠2.
2)	Припустимо, що ∠2 ≠ ∠1.
3)	Проведемо через точку M пряму a₁ так, щоб відповідний кут між прямою a₁ і січною дорівнював куту 1. Тоді a₁ ∥ b за ознакою паралельності прямих.
4)	Прямі a і a₁ різні, бо утворюють із січною різні кути. Обидві ці прямі проходять через точку M і паралельні прямій b. Це суперечить аксіомі паралельності прямих.
5)	Отже, наше припущення хибне, і ∠1 = ∠2.

Теорему доведено.

Пряма й обернена теорема

Кожна теорема має умову і висновок. Умова — це те, що дано, а висновок — те, що треба довести.

Якщо поміняти їх місцями, вийде нове твердження. Якщо це нове твердження правильне, його називають теоремою, оберненою до даної, а вихідну теорему — прямою.

	Ознака (пряма теорема)	Теорема 2 (обернена)
Умова	відповідні кути рівні	прямі паралельні
Висновок	прямі паралельні	відповідні кути рівні

Теорема 2 обернена до ознаки паралельності: умову й висновок у них поміняно місцями. Але обернене твердження буває й хибним, тому кожну обернену теорему треба доводити окремо.

Ось приклад хибного оберненого твердження.

Пряма теорема: «Якщо два кути суміжні, то їхня сума дорівнює 180°». Обернене твердження: «Якщо сума двох кутів дорівнює 180°, то ці кути суміжні». Воно хибне, бо кути з сумою 180° можуть мати різні вершини і зовсім не мати спільної сторони.

Два наслідки з теореми 2

a ∥ b. Кути 1 і 2 внутрішні різносторонні, кут 3 вертикальний до кута 1.

Доведення. Нехай a ∥ b, а кути 1 і 2 внутрішні різносторонні. Кути 3 і 2 відповідні, тому ∠3 = ∠2 за теоремою 2.

Кути 1 і 3 вертикальні, тому ∠1 = ∠3. Отже, ∠1 = ∠2.

Твердження доведено.

a ∥ b. Кути 1 і 2 внутрішні односторонні, кут 3 суміжний з кутом 1.

Доведення. Нехай a ∥ b, а кути 1 і 2 внутрішні односторонні. Кути 3 і 2 відповідні, тому ∠3 = ∠2 за теоремою 2.

Кути 1 і 3 суміжні, тому ∠1 + ∠3 = 180°. Замінимо ∠3 на рівний йому ∠2 і отримаємо ∠1 + ∠2 = 180°.

Твердження доведено.

Теорему 2 і обидва наслідки називають властивостями паралельних прямих і застосовують у задачах. Щоб не плутатися, у розв'язанні називай твердження повністю: «за властивістю відповідних кутів», «за властивістю внутрішніх односторонніх кутів».

Ознака чи властивість: що застосувати

Ознака і властивість схожі, бо говорять про ті самі кути. Різниця в тому, що дано, а що треба довести. Перш ніж писати «за ознакою» чи «за властивістю», подивись у таблицю.

Що дано	Що треба	Що брати
Відповідні чи внутрішні різносторонні кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, або дві прямі перпендикулярні до третьої	Довести, що прямі паралельні	Ознаку з § 9
Прямі паралельні	Знайти кут або довести, що кути рівні	Властивість з § 10
Паралельність не дано, але є кути при одній січній, а шуканий кут лежить при іншій	Знайти цей кут	Спершу ознаку, потім властивість

Властивість можна застосувати лише тоді, коли про паралельність прямих сказано в умові або її вже доведено. Якщо прямі лише здаються паралельними на кресленні, рівності кутів ще немає.

Як за одним кутом знайти решту сім кутів

Як знайти внутрішні односторонні кути рівнянням

Як знайти кут, коли паралельність прямих ще не відома

Часто на кресленні дві прямі здаються паралельними, але в умові про це не сказано. Тоді спершу доводимо паралельність за ознакою з § 9, а вже потім застосовуємо властивість.

Як знайти кут між паралельними прямими

Іноді вершина шуканого кута лежить між паралельними прямими, і січної для обох прямих немає. Тоді через цю вершину проводять допоміжну пряму, паралельну даним прямим.

Як перевірити себе

1. Порахуй, скільки різних величин у тебе вийшло. При паралельних прямих усі вісім кутів мають не більше двох величин, і сума цих двох величин дорівнює 180°. Якщо вийшла третя величина, десь помилка.
2. Перевір, звідки ти знаєш, що прямі паралельні. Властивість працює лише для паралельних прямих. Тому паралельність має бути зазначена в умові або доведена за ознакою.
3. Підстав знайдені кути в умову. Внутрішні односторонні кути мають у сумі дати 180° і задовольняти решту умови. Наприклад, 80° і 100° справді відносяться як 4 : 5. Одна частина тут дорівнює 20°, а 80 : 20 = 4 і 100 : 20 = 5.
4. Порівняй відповідь з кресленням. Креслення не доводить, що прямі паралельні: різницю в кілька градусів на око не видно. Але гострий кут від тупого відрізнити легко, тому гострий на кресленні кут не може вийти тупим, і навпаки. Якщо так вийшло, ти, найімовірніше, сплутав пару кутів.

Де найчастіше помиляються

1. Застосували властивість до прямих, які лише здаються паралельними

Завдання: пряма c перетинає прямі a і b, ∠1 = 65°. Знайди відповідний йому ∠2.

∠1 = 65°, ∠2 треба знайти. Прямі a і b майже паралельні, але в умові про це нічого не сказано.

Що сталося: на кресленні прямі виглядають майже паралельними, і учень вирішив, що відповідні кути рівні.

Як помітити: перед словами «за властивістю» знайди в умові «a ∥ b» або доведи це за ознакою.

2. Вважали внутрішні односторонні кути рівними

Завдання: a ∥ b, ∠1 = 70°, кути 1 і 2 внутрішні односторонні. Знайди ∠2.

Що сталося: учень запам'ятав «при паралельних прямих кути рівні» і застосував це до всіх пар.

Як помітити: рівні лише відповідні й внутрішні різносторонні кути. На кресленні тут один кут гострий, а другий тупий, тож рівними вони бути не можуть.

3. Довели паралельність за властивістю, тобто міркували по колу

Завдання: внутрішні різносторонні кути 1 і 2 рівні. Доведи, що a ∥ b.

Що сталося: властивість уже вважає прямі паралельними. Отже, учень спирався на те, що мав довести, і доведення пішло по колу.

Як помітити: якщо треба довести «a ∥ b», у доведенні має стояти ознака, а не властивість.

Спробуй сам

Завдання 1 виконай за кресленням з кутами від 1 до 8.

1. a ∥ b, ∠3 = 128°. Знайди решту сім кутів.
2. Один із восьми кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 42°. Чи може інший із цих кутів дорівнювати 128°? А 138°?
3. Один із внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих на 24° більший за другий. Знайди ці кути.
4. Прямі a і b перетинає січна c, і внутрішні різносторонні кути при ній дорівнюють по 52°. Ці самі прямі перетинає січна d. Один із внутрішніх односторонніх кутів при січній d дорівнює 97°. Знайди другий.
5. AB ∥ CD, точка E лежить між прямими. ∠BAE = 35°, ∠DCE = 40°. Знайди ∠AEC за кресленням.
6. Пряма c перпендикулярна до прямої a, а a ∥ b. Доведи, що c ⊥ b.
7. Прямі p і q не паралельні прямій s. Чи можна зробити висновок, що прямі p і q не паралельні між собою?
8. Сума трьох з восьми кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 150°. Знайди всі вісім кутів.
9. Доведи, що бісектриси пари внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, паралельні.

Перевірити відповіді

1. ∠1 = ∠5 = ∠7 = 128°, ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 52°.
2. 128° дорівнювати не може, а 138° — може. Кожен кут дорівнює 42° або 180° − 42° = 138°.
3. 78°; 102°. Рівняння: x + (x + 24) = 180, звідки x = 78.
4. 83°. Внутрішні різносторонні кути при січній c рівні, тому a ∥ b за ознакою. Тоді за властивістю другий кут дорівнює 180° − 97° = 83°.
5. 75°. Проведи через E пряму, паралельну AB. Вона утворює з відрізками EA і EC кути 35° і 40°, бо це внутрішні різносторонні кути з даними кутами. 35° + 40° = 75°.
6. Пряма c перетинає пряму b. Якби вона не перетинала b, то c ∥ b, і за теоремою 1 c ∥ a, бо c і a обидві паралельні b. Але c перетинає a. Отже, c — січна для паралельних прямих a і b, і за властивістю відповідних кутів кут між c і b дорівнює куту між c і a, тобто 90°. Тому c ⊥ b.
7. Ні. Наприклад, дві паралельні прямі можуть перетинати пряму s. Кожна з них не паралельна s, а між собою вони паралельні.
8. Чотири кути по 50° і чотири кути по 130°; повне розв'язання — нижче.
9. Повне доведення — нижче.

Повне розв'язання завдання 8

Розв'язання.

1)	При паралельних прямих усі вісім кутів мають не більше двох величин, і сума цих двох величин дорівнює 180°.
2)	Якби серед трьох кутів були кути обох величин, то вже ці два кути дали б у сумі 180°. Тоді сума трьох кутів була б більшою за 180°. Але за умовою вона дорівнює 150°.
3)	Отже, три кути рівні. Кожен з них дорівнює 150° : 3 = 50°.
4)	Друга величина дорівнює 180° − 50° = 130°.

Відповідь: чотири кути по 50° і чотири кути по 130°.

Повне розв'язання завдання 9

Доведення.

1)	Нехай a ∥ b, а січна c перетинає їх у точках M і N. MK — бісектриса кута під прямою a праворуч від січної, NL — бісектриса кута над прямою b ліворуч від січної. Ці кути внутрішні різносторонні, тому вони рівні за властивістю.
2)	Бісектриса ділить кут навпіл, а половини рівних кутів рівні. Тому ∠KMN = ∠LNM.
3)	Для прямих MK і NL пряма MN є січною. Точки K і L лежать по різні боки від неї, тому кути KMN і LNM внутрішні різносторонні. Вони рівні, тому MK ∥ NL за ознакою паралельності (наслідок 1 з § 9).

Твердження доведено.

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше вважають рівними внутрішні односторонні кути або застосовують властивість до прямих, про паралельність яких нічого не відомо.

Для батьків