Сторінка 22
145. Укажіть пари паралельних прямих на малюнках 50 і 51. Виконайте відповідні записи.
Мал. 50
Мал. 51
Розв'язок:
На малюнку 50 прямі $AB$ і $DC$ не перетинаються, тобто паралельні: $AB \parallel DC$.
На малюнку 51 паралельні прямі $a$ і $m$, а також прямі $n$ і $b$: $a \parallel m$, $n \parallel b$.
Відповідь: мал. 50: $AB \parallel DC$;
мал. 51: $a \parallel m$, $n \parallel b$.
146.
1) Проведіть пряму $a$ і позначте точку $M$, що не належить прямій $a$.
2) За допомогою косинця і лінійки через точку $M$ проведіть пряму, паралельну прямій $a$.
Розв'язок:
1) Проводимо пряму $a$ і позначаємо точку $M$, що їй не належить.
2) Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $a$, а до другої його сторони — лінійку. Тримаючи лінійку нерухомо, пересуваємо косинець уздовж неї, доки перша сторона косинця не пройде через точку $M$. Уздовж цієї сторони проводимо пряму $b$: $b \parallel a$.
147.
1) Проведіть пряму $b$ і позначте точку $N$, що не належить прямій $b$.
2) За допомогою косинця і лінійки через точку $N$ проведіть пряму, паралельну прямій $b$.
Розв'язок:
1) Проводимо пряму $b$ і позначаємо точку $N$, що їй не належить.
2) Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $b$, а до другої його сторони — лінійку. Тримаючи лінійку нерухомо, пересуваємо косинець уздовж неї, доки перша сторона косинця не пройде через точку $N$. Уздовж цієї сторони проводимо пряму $c$: $c \parallel b$.
148. Накресліть відрізки $MN$, $KL$ і промінь $AB$ так, щоб відрізок $MN$ був паралельний відрізку $KL$ і перпендикулярний до променя $AB$.
Розв'язок:
Проводимо промінь $AB$. За допомогою косинця проводимо відрізок $MN$, перпендикулярний до променя $AB$. Потім за допомогою косинця і лінійки (як у № 146) проводимо відрізок $KL$, паралельний відрізку $MN$.
Маємо: $MN \parallel KL$, $MN \perp AB$.
149. Накресліть промені $AB$, $CD$ і відрізок $MN$ так, щоб промінь $AB$ був паралельний відрізку $MN$ і перпендикулярний до променя $CD$.
Розв'язок:
Проводимо промінь $AB$. За допомогою косинця проводимо промінь $CD$, перпендикулярний до променя $AB$. Потім за допомогою косинця і лінійки (як у № 146) проводимо відрізок $MN$, паралельний променю $AB$.
Маємо: $AB \parallel MN$, $AB \perp CD$.
150.
1) Накресліть $\angle AOB = 110^\circ$ та позначте точку $M$, що належить внутрішній області кута.
2) Проведіть за допомогою косинця і лінійки через точку $M$ пряму $a$, паралельну променю $OA$, і пряму $b$, паралельну променю $OB$.
3) За допомогою транспортира знайдіть кут між прямими $a$ і $b$.
4) Зробіть висновки.
Розв'язок:
1) За допомогою транспортира будуємо $\angle AOB = 110^\circ$ і позначаємо точку $M$ усередині кута.
2) Через точку $M$ за допомогою косинця і лінійки (як у № 146) проводимо пряму $a \parallel OA$ і пряму $b \parallel OB$.
3) Прямі $a$ і $b$ перетинаються в точці $M$. Вимірюємо транспортиром кути, що утворилися: два з них дорівнюють $110^\circ$, а два інші — $70^\circ$. Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $70^\circ$.
4) Висновок: прямі $a$ і $b$, паралельні сторонам кута $AOB$, утворюють кути, що дорівнюють куту $AOB$ ($110^\circ$) і суміжному з ним куту ($180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$).
Відповідь: 3) $70^\circ$.
151.
1) Накресліть $\angle COD = 80^\circ$ та позначте точку $N$, що належить внутрішній області кута.
2) Проведіть за допомогою косинця і лінійки через точку $N$ пряму $c$, паралельну променю $OC$, і пряму $d$, паралельну променю $OD$.
3) За допомогою транспортира знайдіть кут між прямими $c$ і $d$.
4) Зробіть висновки.
Розв'язок:
1) За допомогою транспортира будуємо $\angle COD = 80^\circ$ і позначаємо точку $N$ усередині кута.
2) Через точку $N$ за допомогою косинця і лінійки (як у № 146) проводимо пряму $c \parallel OC$ і пряму $d \parallel OD$.
3) Прямі $c$ і $d$ перетинаються в точці $N$. Вимірюємо транспортиром кути, що утворилися: два з них дорівнюють $80^\circ$, а два інші — $100^\circ$. Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $80^\circ$.
4) Висновок: кут між прямими $c$ і $d$, паралельними сторонам кута $COD$, дорівнює куту $COD$; інші два кути, що утворилися, дорівнюють куту, суміжному з ним ($180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$).
Відповідь: 3) $80^\circ$.
152. Дано пряму $a$ і точку $M$, що їй не належить. Через точку $M$ провели дві прямі $b$ і $c$. Як можуть бути розміщені ці прямі відносно прямої $a$? Розгляньте всі випадки та зробіть малюнки до кожного з них.
Розв'язок:
За аксіомою паралельності прямих через точку $M$ можна провести лише одну пряму, паралельну прямій $a$. Тому прямі $b$ і $c$ не можуть обидві бути паралельними прямій $a$. Можливі два випадки.
1) Одна з прямих паралельна прямій $a$, а друга її перетинає, наприклад $b \parallel a$, а $c$ перетинає $a$ (або навпаки: $c \parallel a$, а $b$ перетинає $a$).
2) Обидві прямі $b$ і $c$ перетинають пряму $a$.
153. Прямі $a$ і $b$ мають спільну точку $K$. Пряма $c$ паралельна прямій $a$. Доведіть, що прямі $b$ і $c$ перетинаються.
Доведення:
Оскільки $c \parallel a$, а точка $K$ лежить на прямій $a$, то точка $K$ не лежить на прямій $c$.
Припустимо, що прямі $b$ і $c$ не перетинаються, тобто $b \parallel c$. Тоді через точку $K$ проходять дві прямі $a$ і $b$, паралельні прямій $c$. Це суперечить аксіомі паралельності прямих.
Отже, наше припущення хибне, і прямі $b$ і $c$ перетинаються.
154. Прямі $c$ і $d$ паралельні. Пряма $a$ не перетинає пряму $c$. Доведіть, що прямі $a$ і $d$ паралельні.
Доведення:
Пряма $a$ не перетинає пряму $c$, тому $a \parallel c$.
Припустимо, що прямі $a$ і $d$ не паралельні, тобто перетинаються в деякій точці $M$. Тоді через точку $M$ проходять дві прямі $a$ і $d$, паралельні прямій $c$. Це суперечить аксіомі паралельності прямих.
Отже, наше припущення хибне, і $a \parallel d$.
155. Прямі $a$ і $b$ — паралельні, а прямі $b$ і $c$ — перетинаються. Пряма $n$ паралельна прямій $b$.
1) Паралельні чи перетинаються прямі $a$ і $n$?
2) Паралельні чи перетинаються прямі $c$ і $n$?
Розв'язок:
1) Прямі $a$ і $n$ обидві паралельні прямій $b$. Якби вони перетиналися в деякій точці, то через цю точку проходили б дві прямі, паралельні прямій $b$, а це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, прямі $a$ і $n$ не перетинаються: $a \parallel n$.
2) Пряма $c$ перетинає пряму $b$, а $n \parallel b$. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу. Отже, прямі $c$ і $n$ перетинаються.
Відповідь: 1) паралельні;
2) перетинаються.