Сторінка 21
135. Прямі $AB$, $CD$ і $MN$ перетинаються в точці $Q$, причому $AB \perp CD$ (мал. 42). Знайдіть:
1) $\angle AQM$, якщо $\angle CQN = 58^\circ$;
2) $\angle NQB$, якщо $\angle MQC = 132^\circ$.
Мал. 42
Розв'язок:
1) Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle CQB = 90^\circ$.
$\angle NQB = \angle CQB - \angle CQN = $
$= 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.
$\angle AQM = \angle NQB = 32^\circ$ (як вертикальні).
2) Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle AQC = 90^\circ$.
$\angle MQA = \angle MQC - \angle AQC = $
$= 132^\circ - 90^\circ = 42^\circ$.
$\angle NQB = \angle MQA = 42^\circ$ (як вертикальні).
Відповідь: 1) $32^\circ$;
2) $42^\circ$.
136. На малюнку 43 $AB \perp CD$, $\angle AOM = \angle NOB$.
1) Чи правильно, що $\angle MOC = \angle CON$, $\angle AON = \angle BOM$?
2) Порівняйте кути $AOM$ і $MOB$.
Мал. 43
Розв'язок:
1) Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle AOC = \angle COB = 90^\circ$. Тоді
$\angle MOC = 90^\circ - \angle AOM$,
$\angle CON = 90^\circ - \angle NOB$.
Оскільки $\angle AOM = \angle NOB$, то $\angle MOC = \angle CON$.
$\angle AON = \angle AOC + \angle CON = $
$= 90^\circ + \angle CON$,
$\angle BOM = \angle BOC + \angle COM = $
$= 90^\circ + \angle MOC$.
Оскільки $\angle CON = \angle MOC$, то $\angle AON = \angle BOM$.
2) Промінь $OM$ проходить між сторонами прямого кута $AOC$, тому $\angle AOM \lt 90^\circ$. Кути $AOM$ і $MOB$ — суміжні, тому
$\angle MOB = 180^\circ - \angle AOM \gt 90^\circ$.
Отже, $\angle AOM \lt \angle MOB$.
Відповідь: 1) так, обидві рівності правильні;
2) $\angle AOM \lt \angle MOB$.
137. Кути $AOC$ і $COD$ прямі. Доведіть, що промені $OA$ і $OD$ є доповняльними.
Доведення:
Промені $OA$ і $OD$ різні, тому лежать по різні боки від променя $OC$ (якби вони лежали по один бік від $OC$, то з рівності $\angle AOC = \angle COD = 90^\circ$ випливало б, що вони збігаються). Тоді промінь $OC$ проходить між сторонами кута $AOD$, і
$\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = $
$= 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Кут $AOD$ — розгорнутий, отже, промені $OA$ і $OD$ — доповняльні.
138. Три із чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, рівні між собою. Доведіть, що прямі перпендикулярні.
Доведення:
Позначимо утворені кути 1, 2, 3, 4 (див. малюнок). Не суміжні з них лише вертикальні кути: 1 і 3, 2 і 4. Серед будь-яких трьох із чотирьох кутів є два суміжні, наприклад $\angle 1$ і $\angle 2$.
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, а за умовою $\angle 1 = \angle 2$, тому
$\angle 1 = \angle 2 = 180^\circ : 2 = 90^\circ$.
Один із кутів, що утворилися при перетині прямих, прямий, отже, прямі перпендикулярні.
139. На малюнку 44 прямі $AB$ і $CD$ перпендикулярні, $\angle KOL = 100^\circ$, $\angle COK = 20^\circ$. Знайдіть $\angle AOL$.
Мал. 44
Розв'язок:
Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle COB = 90^\circ$.
$\angle KOB = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.
$\angle BOL = \angle KOL - \angle KOB = $
$= 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ$.
Кути $AOL$ і $LOB$ — суміжні, тому
$\angle AOL = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Відповідь: $150^\circ$.
140. На малюнку 44 прямі $AB$ і $CD$ перпендикулярні, $\angle AOL = 145^\circ$, $\angle COK = 25^\circ$. Знайдіть $\angle KOL$.
Розв'язок:
Малюнок 44 — див. № 139.
Кути $AOL$ і $LOB$ — суміжні, тому
$\angle LOB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$.
Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle COB = 90^\circ$ і
$\angle KOB = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.
$\angle KOL = \angle KOB + \angle BOL = $
$= 65^\circ + 35^\circ = 100^\circ$.
Відповідь: $100^\circ$.
141. На малюнку 45 $\angle AOC = \angle NOD$, $\angle CON = \angle DOB$.
1) Доведіть, що $AB \perp NO$.
2) Знайдіть градусну міру кута $COD$.
Мал. 45
Розв'язок:
1) Кут $AOB$ — розгорнутий і складається з кутів $AOC$, $CON$, $NOD$ і $DOB$, тому сума цих чотирьох кутів дорівнює $180^\circ$.
Оскільки $\angle NOD = \angle AOC$ і $\angle DOB = \angle CON$, то
$2\angle AOC + 2\angle CON = 180^\circ$,
$\angle AOC + \angle CON = 90^\circ$,
тобто $\angle AON = 90^\circ$. Отже, $AB \perp NO$.
2) $\angle COD = \angle CON + \angle NOD = $
$= \angle CON + \angle AOC = \angle AON = 90^\circ$.
Відповідь: 2) $90^\circ$.
142. Як, користуючись косинцем і шаблоном кута $19^\circ$, побудувати кут, який дорівнює $5^\circ$?
Розв'язок:
Оскільки $5 \cdot 19^\circ = 95^\circ$, то
$5^\circ = 95^\circ - 90^\circ = 5 \cdot 19^\circ - 90^\circ$.
За допомогою косинця будуємо прямий кут $AOB$. Від променя $OA$ шаблоном послідовно відкладаємо п'ять кутів по $19^\circ$ (п'ятий виходить за промінь $OB$). Між променем $OB$ і останнім побудованим променем утворився кут $95^\circ - 90^\circ = 5^\circ$.
143. Як, користуючись косинцем і шаблоном кута $17^\circ$, побудувати кут, який дорівнює $5^\circ$?
Розв'язок:
Оскільки $5 \cdot 17^\circ = 85^\circ$, то
$5^\circ = 90^\circ - 85^\circ = 90^\circ - 5 \cdot 17^\circ$.
За допомогою косинця будуємо прямий кут $AOB$. Від променя $OA$ всередину кута шаблоном послідовно відкладаємо п'ять кутів по $17^\circ$. Між останнім побудованим променем і променем $OB$ утворився кут $90^\circ - 85^\circ = 5^\circ$.
144. На яких з малюнків 46–49 зображено паралельні прямі? Виконайте відповідні записи.
Мал. 46
Мал. 47
Мал. 48
Мал. 49
Розв'язок:
На малюнку 46 прямі $m$ і $n$ перетинаються. На малюнку 48 прямі $AB$ і $CD$ нахилені в різні боки, тож, якщо їх продовжити, вони перетнуться. Ці прямі не паралельні.
На малюнках 47 і 49 прямі не перетинаються: $a \parallel d$, $KL \parallel MN$.
Відповідь: на малюнках 47 і 49:
$a \parallel d$;
$KL \parallel MN$.