Сторінка 20
126. На малюнку 38 прямі $a$ і $b$ — перпендикулярні. Чи перпендикулярні:
1) відрізки $DN$ і $FL$;
2) відрізки $KD$ і $NM$;
3) відрізки $LK$ і $CN$;
4) промені $KL$ і $KC$;
5) промені $DC$ і $MN$;
6) пряма $a$ і промінь $KL$?
Мал. 38
Розв'язок:
Відрізки або промені перпендикулярні, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих. Точки $C$, $D$, $K$, $M$, $N$ лежать на прямій $a$, а точки $L$, $K$, $F$ — на прямій $b$, $a \perp b$.
1) $DN$ лежить на прямій $a$, $FL$ — на прямій $b$, тому $DN \perp FL$.
2) $KD$ і $NM$ лежать на одній прямій $a$, тому вони не перпендикулярні.
3) $LK$ лежить на прямій $b$, $CN$ — на прямій $a$, тому $LK \perp CN$.
4) Промінь $KL$ лежить на прямій $b$, промінь $KC$ — на прямій $a$, тому $KL \perp KC$.
5) Промені $DC$ і $MN$ лежать на одній прямій $a$, тому вони не перпендикулярні.
6) Промінь $KL$ лежить на прямій $b$, тому $a \perp KL$.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так;
4) так;
5) ні;
6) так.
127. Накресліть:
1) відрізки $AB$ і $CD$ так, щоб вони були перпендикулярними і перетиналися в точці $E$;
2) відрізок $KL$ і промінь $MN$ так, щоб вони були перпендикулярними і перетиналися в точці $K$;
3) пряму $a$ і відрізок $FT$ так, щоб вони були перпендикулярними та не перетиналися.
Розв'язок:
1) Проводимо відрізок $AB$, позначаємо на ньому точку $E$ і за допомогою косинця через точку $E$ проводимо відрізок $CD \perp AB$.
2) Проводимо промінь $MN$, позначаємо на ньому точку $K$ і за допомогою косинця будуємо відрізок $KL \perp MN$.
3) Проводимо пряму $a$ і за допомогою косинця — перпендикулярну до неї пряму (пунктир). На цій прямій позначаємо відрізок $FT$, що не має спільних точок з прямою $a$. Відрізок $FT$ лежить на прямій, перпендикулярній до $a$, тому $a \perp FT$.
128. Накресліть:
1) відрізок $AB$ і пряму $m$ так, щоб вони були перпендикулярними і перетиналися в точці $P$;
2) відрізки $CD$ і $EF$ так, щоб вони були перпендикулярними і перетиналися в точці $F$;
3) відрізок $KL$ і промінь $MN$ так, щоб вони були перпендикулярними та не перетиналися.
Розв'язок:
1) Проводимо пряму $m$, позначаємо на ній точку $P$ і за допомогою косинця через точку $P$ проводимо відрізок $AB \perp m$.
2) Проводимо відрізок $CD$, позначаємо на ньому точку $F$ і за допомогою косинця будуємо відрізок $EF \perp CD$.
3) Проводимо промінь $MN$ і за допомогою косинця — пряму, перпендикулярну до нього (пунктир). На цій прямій позначаємо відрізок $KL$, що не має спільних точок з променем $MN$. Тоді $KL \perp MN$.
129. Накресліть пряму $m$, позначте точку $A$ на відстані 3 см від прямої $m$ та точку $B$ на відстані 1,5 см від прямої $m$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $m$. За допомогою косинця проводимо перпендикуляр до прямої $m$ і на ньому від прямої відкладаємо 3 см — отримуємо точку $A$. Так само на іншому перпендикулярі до прямої $m$ відкладаємо 1,5 см — отримуємо точку $B$.
130. Накресліть пряму $a$, позначте точку $B$ на відстані 2 см від прямої $a$ та точку $C$, що на відстані 3,5 см від прямої $a$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $a$. За допомогою косинця проводимо перпендикуляр до прямої $a$ і на ньому від прямої відкладаємо 2 см — отримуємо точку $B$. Так само на іншому перпендикулярі до прямої $a$ відкладаємо 3,5 см — отримуємо точку $C$.
131. Прямі $AB$, $CD$ і $KL$ перетинаються в точці $O$ (мал. 39). Чи перпендикулярні прямі $AB$ і $CD$, якщо:
1) $\angle AOK = 66^\circ$, $\angle KOC = 25^\circ$;
2) $\angle AOL = 119^\circ$, $\angle DOL = 29^\circ$?
Мал. 39
Розв'язок:
1) $\angle AOC = \angle AOK + \angle KOC = $
$= 66^\circ + 25^\circ = 91^\circ$.
$91^\circ \ne 90^\circ$, тому прямі $AB$ і $CD$ не перпендикулярні.
2) $\angle AOD = \angle AOL - \angle DOL = $
$= 119^\circ - 29^\circ = 90^\circ$.
Отже, $AB \perp CD$.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
132. Прямі $AB$, $CD$ і $KL$ перетинаються в точці $O$ (мал. 39). Чи перпендикулярні прямі $AB$ і $CD$, якщо:
1) $\angle DOL = 31^\circ$, $\angle LOB = 59^\circ$;
2) $\angle KOB = 120^\circ$, $\angle KOC = 29^\circ$?
Розв'язок:
Малюнок 39 — див. № 131.
1) $\angle DOB = \angle DOL + \angle LOB = $
$= 31^\circ + 59^\circ = 90^\circ$.
Отже, $AB \perp CD$.
2) $\angle COB = \angle KOB - \angle KOC = $
$= 120^\circ - 29^\circ = 91^\circ$.
$91^\circ \ne 90^\circ$, тому прямі $AB$ і $CD$ не перпендикулярні.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
133. Укажіть усі пари перпендикулярних відрізків на малюнку 40.
Мал. 40
Розв'язок:
Відрізки перпендикулярні, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих. На прямій $AC$ лежать відрізки $AO$, $AB$, $AC$, $OB$, $OC$, $BC$, а на прямій $MN$, перпендикулярній до неї, — відрізки $MO$, $ON$, $MN$. Кожен відрізок першої прямої перпендикулярний до кожного відрізка другої.
Відповідь:
$AO \perp MO$, $AO \perp ON$, $AO \perp MN$;
$AB \perp MO$, $AB \perp ON$, $AB \perp MN$;
$AC \perp MO$, $AC \perp ON$, $AC \perp MN$;
$OB \perp MO$, $OB \perp ON$, $OB \perp MN$;
$OC \perp MO$, $OC \perp ON$, $OC \perp MN$;
$BC \perp MO$, $BC \perp ON$, $BC \perp MN$
(усього 18 пар).
134. Прямі $AB$, $KL$ і $MN$ перетинаються в точці $O$, причому $AB \perp MN$ (мал. 41). Знайдіть:
1) $\angle KOM$, якщо $\angle LOB = 62^\circ$;
2) $\angle LON$, якщо $\angle KOB = 119^\circ$.
Мал. 41
Розв'язок:
1) $\angle AOK = \angle LOB = 62^\circ$ (як вертикальні).
Оскільки $AB \perp MN$, то $\angle AOM = 90^\circ$.
$\angle KOM = \angle AOM - \angle AOK = $
$= 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$.
2) Оскільки $AB \perp MN$, то $\angle MOB = 90^\circ$.
$\angle KOM = \angle KOB - \angle MOB = $
$= 119^\circ - 90^\circ = 29^\circ$.
$\angle LON = \angle KOM = 29^\circ$ (як вертикальні).
Відповідь: 1) $28^\circ$;
2) $29^\circ$.