Сторінка 19
119. На малюнку 30 $\angle COD = 110^\circ$, $\angle AOB = 37^\circ$. Знайдіть $\angle FOE$.
Мал. 30
Розв'язок:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle COD = $
$= 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ (як суміжні).
$\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = $
$= 70^\circ - 37^\circ = 33^\circ$.
$\angle FOE = \angle COB = 33^\circ$ (як вертикальні).
Відповідь: $33^\circ$.
120. На малюнку 30 $\angle AOB = 35^\circ$, $\angle FOE = 50^\circ$. Знайдіть $\angle COD$.
Розв'язок:
Малюнок 30 — див. № 119.
$\angle COB = \angle FOE = 50^\circ$ (як вертикальні).
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = $
$= 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$.
$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC = $
$= 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$ (як суміжні).
Відповідь: $95^\circ$.
121. На малюнку 31 зображено три прямі, які перетинаються в одній точці. Знайдіть суму кутів 1, 2 і 3.
Мал. 31
Розв'язок:
Позначимо $\angle 4$ — кут між кутами 1 і 3 (див. малюнок). Кути 2 і 4 — вертикальні, тому $\angle 4 = \angle 2$.
Кути 1, 4 і 3 разом утворюють розгорнутий кут, тому
$\angle 1 + \angle 4 + \angle 3 = 180^\circ$.
Отже, $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.
Відповідь: $180^\circ$.
Перпендикуляр.
Відстань від точки до прямої
122. На яких з малюнків 32–35 зображено перпендикулярні прямі? За потреби використайте косинець. Виконайте відповідні записи.
Мал. 32
Мал. 33
Мал. 34
Мал. 35
Розв'язок:
Прямі перпендикулярні, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Прикладаємо косинець до кута між прямими на кожному малюнку.
Мал. 32: прямі $a$ і $c$ перетинаються не під прямим кутом — вони не перпендикулярні.
Мал. 33: прямі $m$ і $d$ перетинаються під прямим кутом: $m \perp d$.
Мал. 34: прямі $b$ і $n$ не перетинаються — вони не перпендикулярні.
Мал. 35: прямі $p$ і $l$ перетинаються під прямим кутом: $p \perp l$.
Відповідь: на малюнках 33 і 35:
$m \perp d$, $p \perp l$.
123.
1) Накресліть пряму $a$ та позначте точку $M$, яка належить прямій, і точку $N$, що не належить цій прямій.
2) Проведіть за допомогою косинця прямі через точки $M$ і $N$, які перпендикулярні до прямої $a$.
Розв'язок:
1) Проводимо пряму $a$, позначаємо на ній точку $M$, а поза нею — точку $N$: $M \in a$, $N \notin a$.
2) Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $a$ так, щоб вершина прямого кута була в точці $M$, і вздовж другої сторони проводимо пряму. Потім пересуваємо косинець уздовж прямої $a$, доки друга сторона прямого кута не пройде через точку $N$, і проводимо другу пряму.
124.
1) Накресліть малюнки 36 і 37 у зошиті.
2) Для кожного малюнка проведіть пряму $b$, що проходить через точку $A$, перпендикулярно до прямої $m$.
Мал. 36
Мал. 37
Розв'язок:
Мал. 36: точка $A$ лежить на прямій $m$. Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $m$ так, щоб вершина прямого кута була в точці $A$, і вздовж другої сторони проводимо пряму $b$: $b \perp m$.
Мал. 37: точка $A$ не лежить на прямій $m$. Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $m$ і пересуваємо його вздовж прямої, доки друга сторона не пройде через точку $A$. Уздовж цієї сторони проводимо пряму $b$: $b \perp m$.
125. На малюнку 38 прямі $a$ і $b$ — перпендикулярні. Чи перпендикулярні:
1) відрізки $CM$ і $LF$;
2) відрізки $CD$ і $LK$;
3) відрізки $MN$ і $CD$;
4) промінь $KL$ і відрізок $KC$;
5) промінь $CD$ і промінь $NM$;
6) промінь $MN$ і пряма $b$?
Мал. 38
Розв'язок:
Відрізки, промені й прямі перпендикулярні, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих. Точки $C$, $D$, $K$, $M$, $N$ лежать на прямій $a$, а точки $L$, $K$, $F$ — на прямій $b$, $a \perp b$.
1) $CM$ лежить на прямій $a$, $LF$ — на прямій $b$, тому $CM \perp LF$.
2) $CD$ лежить на прямій $a$, $LK$ — на прямій $b$, тому $CD \perp LK$.
3) $MN$ і $CD$ лежать на одній прямій $a$, тому вони не перпендикулярні.
4) Промінь $KL$ лежить на прямій $b$, відрізок $KC$ — на прямій $a$, тому $KL \perp KC$.
5) Промені $CD$ і $NM$ лежать на одній прямій $a$, тому вони не перпендикулярні.
6) Промінь $MN$ лежить на прямій $a$, тому $MN \perp b$.
Відповідь: 1) так;
2) так;
3) ні;
4) так;
5) ні;
6) так.