Сторінка 18
109. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює $125^\circ$.
1) Знайдіть інші кути.
2) Знайдіть кут між прямими.
Розв'язок:
Нехай прямі $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $O$ і $\angle COB = 125^\circ$.
1) $\angle AOD = \angle COB = 125^\circ$ (як вертикальні).
$\angle AOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ (суміжний з кутом $COB$).
$\angle BOD = \angle AOC = 55^\circ$ (як вертикальні).
2) Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $55^\circ$.
Відповідь: 1) $125^\circ$, $55^\circ$, $55^\circ$;
2) $55^\circ$.
110. На малюнку 28 $\angle BQM = 135^\circ$.
1) Знайдіть кути $CQL$, $BQC$ і $LQM$.
2) Знайдіть кут між прямими $BL$ і $CM$.
Мал. 28
Розв'язок:
1) $\angle CQL = \angle BQM = 135^\circ$ (як вертикальні).
$\angle BQC = 180^\circ - \angle BQM = $
$= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ (як суміжні).
$\angle LQM = \angle BQC = 45^\circ$ (як вертикальні).
2) Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $45^\circ$.
Відповідь: 1) $\angle CQL = 135^\circ$, $\angle BQC = 45^\circ$, $\angle LQM = 45^\circ$;
2) $45^\circ$.
111.
1) Накресліть $\angle AOB = 100^\circ$.
2) Побудуйте доповняльні промені $OC$ і $OD$ до його сторін $OA$ і $OB$ відповідно.
3) Знайдіть за допомогою обчислень градусні міри трьох утворених нерозгорнутих кутів.
4) Перевірте обчислення за допомогою вимірювань.
Розв'язок:
1) За допомогою транспортира будуємо $\angle AOB = 100^\circ$.
2) Продовжуємо сторону $OA$ за точку $O$ — отримуємо промінь $OC$, продовжуємо сторону $OB$ за точку $O$ — промінь $OD$.
3) $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = $
$= 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ (як суміжні).
$\angle COD = \angle AOB = 100^\circ$ (як вертикальні).
$\angle DOA = \angle BOC = 80^\circ$ (як вертикальні).
4) Вимірюємо кути $BOC$, $COD$ і $DOA$ транспортиром — отримуємо $80^\circ$, $100^\circ$ і $80^\circ$, як і за обчисленнями.
Відповідь: 3) $\angle BOC = 80^\circ$, $\angle COD = 100^\circ$, $\angle DOA = 80^\circ$.
112.
1) Накресліть $\angle MON = 50^\circ$.
2) Побудуйте доповняльні промені $OA$ і $OB$ до його сторін $OM$ і $ON$ відповідно.
3) Знайдіть за допомогою обчислень градусні міри трьох утворених нерозгорнутих кутів.
4) Перевірте обчислення за допомогою вимірювань.
Розв'язок:
1) За допомогою транспортира будуємо $\angle MON = 50^\circ$.
2) Продовжуємо сторону $OM$ за точку $O$ — отримуємо промінь $OA$, продовжуємо сторону $ON$ за точку $O$ — промінь $OB$.
3) $\angle NOA = 180^\circ - \angle MON = $
$= 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ (як суміжні).
$\angle AOB = \angle MON = 50^\circ$ (як вертикальні).
$\angle BOM = \angle NOA = 130^\circ$ (як вертикальні).
4) Вимірюємо кути $NOA$, $AOB$ і $BOM$ транспортиром — отримуємо $130^\circ$, $50^\circ$ і $130^\circ$, як і за обчисленнями.
Відповідь: 3) $\angle NOA = 130^\circ$, $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle BOM = 130^\circ$.
113. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, якщо:
1) усі кути рівні між собою;
2) сума двох з них дорівнює $200^\circ$.
Розв'язок:
При перетині двох прямих утворюються чотири кути: дві пари вертикальних (рівних) кутів, а сусідні кути — суміжні, їхня сума $180^\circ$. Сума всіх чотирьох кутів $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
1) Кожен кут дорівнює $360^\circ : 4 = 90^\circ$.
2) Сума суміжних кутів $180^\circ$, а не $200^\circ$, тому ці два кути — вертикальні, тобто рівні:
$200^\circ : 2 = 100^\circ$.
Два інші кути: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Відповідь: 1) $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$;
2) $100^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $80^\circ$.
114. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, якщо:
1) сума двох з них дорівнює $50^\circ$;
2) три із чотирьох кутів рівні між собою.
Розв'язок:
1) Сума суміжних кутів $180^\circ$, а не $50^\circ$, тому ці два кути — вертикальні, тобто рівні:
$50^\circ : 2 = 25^\circ$.
Два інші кути: $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$.
2) Серед будь-яких трьох із чотирьох кутів є два суміжні. Вони рівні, а їхня сума $180^\circ$, тому кожен з них дорівнює $180^\circ : 2 = 90^\circ$. Тоді й вертикальні до них кути дорівнюють $90^\circ$.
Відповідь: 1) $25^\circ$, $155^\circ$, $25^\circ$, $155^\circ$;
2) $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$.
115. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, якщо:
1) різниця двох з них дорівнює $50^\circ$;
2) градусні міри двох кутів відносяться як $5 : 7$;
3) сума трьох з них дорівнює $260^\circ$.
Розв'язок:
Вертикальні кути рівні, тому два нерівні кути — суміжні, їхня сума $180^\circ$.
1) Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 50)^\circ$.
$x + x + 50 = 180$
$2x = 130$
$x = 65$
Кути: $65^\circ$ і $65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$.
2) Нехай кути дорівнюють $5x$ і $7x$.
$5x + 7x = 180$
$12x = 180$
$x = 15$
Кути: $5 \cdot 15 = 75^\circ$ і $7 \cdot 15 = 105^\circ$.
3) Сума всіх чотирьох кутів $360^\circ$, тому четвертий кут дорівнює
$360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$.
Суміжний з ним: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Відповідь: 1) $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$;
2) $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$;
3) $80^\circ$, $100^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$.
116. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, якщо:
1) один з утворених кутів у 4 рази більший за інший;
2) градусні міри двох кутів відносяться як $3 : 2$;
3) сума трьох з них дорівнює $240^\circ$.
Розв'язок:
Вертикальні кути рівні, тому два нерівні кути — суміжні, їхня сума $180^\circ$.
1) Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $4x^\circ$.
$x + 4x = 180$
$5x = 180$
$x = 36$
Кути: $36^\circ$ і $4 \cdot 36 = 144^\circ$.
2) Нехай кути дорівнюють $3x$ і $2x$.
$3x + 2x = 180$
$5x = 180$
$x = 36$
Кути: $3 \cdot 36 = 108^\circ$ і $2 \cdot 36 = 72^\circ$.
3) Сума всіх чотирьох кутів $360^\circ$, тому четвертий кут дорівнює
$360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.
Суміжний з ним: $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Відповідь: 1) $36^\circ$, $144^\circ$, $36^\circ$, $144^\circ$;
2) $108^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $72^\circ$;
3) $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.
117. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо один з утворених кутів становить 50 % від іншого.
Розв'язок:
Кути нерівні, тому вони суміжні. Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $0{,}5x^\circ$.
$x + 0{,}5x = 180$
$1{,}5x = 180$
$x = 120$
Менший кут: $0{,}5 \cdot 120 = 60^\circ$.
Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $60^\circ$.
Відповідь: $60^\circ$.
118. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо один з утворених кутів на $36^\circ$ менший від іншого.
Розв'язок:
Кути нерівні, тому вони суміжні. Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $(x - 36)^\circ$.
$x + x - 36 = 180$
$2x = 216$
$x = 108$
Менший кут: $108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.
Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $72^\circ$.
Відповідь: $72^\circ$.