Сторінка 17
96. Знайдіть суміжні кути, якщо:
1) один з них на $40^\circ$ менший від іншого;
2) один з них утричі більший за інший;
3) їхні градусні міри відносяться як $5 : 4$;
4) один з них становить 20 % від іншого.
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $(x - 40)^\circ$.
$x + x - 40 = 180$
$2x = 220$
$x = 110$
$110^\circ - 40^\circ = 70^\circ$.
2) Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $3x^\circ$.
$x + 3x = 180$
$4x = 180$
$x = 45$
$3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
3) Нехай кути дорівнюють $5x^\circ$ і $4x^\circ$.
$5x + 4x = 180$
$9x = 180$
$x = 20$
$5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$, $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.
4) Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $0{,}2x^\circ$.
$x + 0{,}2x = 180$
$1{,}2x = 180$
$x = 150$
$0{,}2 \cdot 150^\circ = 30^\circ$.
Відповідь: 1) $70^\circ$ і $110^\circ$;
2) $135^\circ$ і $45^\circ$;
3) $100^\circ$ і $80^\circ$;
4) $30^\circ$ і $150^\circ$.
97. Градусні міри гострого кута $A$ і тупого кута $B$ відносяться як $2 : 5$. Знайдіть градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із них, дорівнює $130^\circ$.
Розв'язок:
Кут, суміжний з кутом $130^\circ$, дорівнює $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Цей кут гострий, тому $\angle A = 50^\circ$ (тупий кут $B$ не може дорівнювати $50^\circ$).
$\angle A : \angle B = 2 : 5$, тому
$\angle B = 50^\circ : 2 \cdot 5 = 125^\circ$.
Відповідь: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 125^\circ$.
98. Градусні міри тупого кута $M$ і гострого кута $N$ відносяться як $3 : 2$. Знайдіть градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із них, дорівнює $60^\circ$.
Розв'язок:
Кут, суміжний з кутом $60^\circ$, дорівнює $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Цей кут тупий, тому $\angle M = 120^\circ$ (гострий кут $N$ не може дорівнювати $120^\circ$).
$\angle M : \angle N = 3 : 2$, тому
$\angle N = 120^\circ : 3 \cdot 2 = 80^\circ$.
Відповідь: $\angle M = 120^\circ$, $\angle N = 80^\circ$.
99. Градусні міри двох кутів відносяться як $1 : 3$, а суміжних з ними – як $5 : 3$. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай кути дорівнюють $x^\circ$ і $3x^\circ$, тоді суміжні з ними — $(180 - x)^\circ$ і $(180 - 3x)^\circ$.
$\frac{180 - x}{180 - 3x} = \frac{5}{3}$
$3(180 - x) = 5(180 - 3x)$
$540 - 3x = 900 - 15x$
$12x = 360$
$x = 30$
$3x = 90$
Відповідь: $30^\circ$ і $90^\circ$.
100. Один з двох даних кутів на $20^\circ$ менший від іншого, а суміжні з ними – відносяться як $7 : 6$. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 20)^\circ$. Суміжний з меншим кутом більший: $(180 - x)^\circ$, суміжний з більшим — $(160 - x)^\circ$.
$\frac{180 - x}{160 - x} = \frac{7}{6}$
$6(180 - x) = 7(160 - x)$
$1080 - 6x = 1120 - 7x$
$x = 40$
$x + 20 = 60$
Відповідь: $40^\circ$ і $60^\circ$.
101. Один із суміжних кутів утричі більший за різницю цих кутів. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $(180 - x)^\circ$, а їхня різниця —
$x - (180 - x) = (2x - 180)^\circ$.
Утричі більший за різницю — більший кут:
$x = 3(2x - 180)$
$x = 6x - 540$
$5x = 540$
$x = 108$
$180 - 108 = 72$
Якщо ж утричі більший за різницю менший кут, то $180 - x = 3(2x - 180)$, $7x = 720$, $x = 102\frac{6}{7}$; тоді кути дорівнюють $102\frac{6}{7}^\circ$ і $77\frac{1}{7}^\circ$. У відповідях посібника — лише перший випадок.
Відповідь: $108^\circ$ і $72^\circ$
(або $102\frac{6}{7}^\circ$ і $77\frac{1}{7}^\circ$).
102. Різниця градусних мір двох суміжних кутів становить 80 % від більшого з них. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді різниця кутів дорівнює $0{,}8x^\circ$, а менший кут — $x - 0{,}8x = 0{,}2x^\circ$.
$x + 0{,}2x = 180$
$1{,}2x = 180$
$x = 150$
$0{,}2 \cdot 150 = 30$
Відповідь: $150^\circ$ і $30^\circ$.
103. Укажіть пари вертикальних кутів на малюнку 27.
Мал. 27
Розв'язок:
Прямі $KT$ і $NA$ перетинаються в точці $O$. Два кути вертикальні, якщо сторони одного з них є доповняльними променями сторін другого: $OK$ і $OT$, $ON$ і $OA$ — доповняльні промені.
Відповідь: $\angle KON$ і $\angle AOT$;
$\angle KOA$ і $\angle NOT$.
104. Укажіть пари вертикальних кутів на малюнку 28.
Мал. 28
Розв'язок:
Прямі $BL$ і $CM$ перетинаються в точці $Q$: $QB$ і $QL$, $QC$ і $QM$ — доповняльні промені.
Відповідь: $\angle BQC$ і $\angle LQM$;
$\angle CQL$ і $\angle BQM$.
105. Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) $27^\circ$; 2) $139^\circ$. Знайдіть інший кут.
Розв'язок:
Вертикальні кути рівні.
Відповідь: 1) $27^\circ$;
2) $139^\circ$.
106. Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) $128^\circ$; 2) $35^\circ$. Знайдіть інший кут.
Розв'язок:
Вертикальні кути рівні.
Відповідь: 1) $128^\circ$;
2) $35^\circ$.
107. Знайдіть усі пари вертикальних кутів на малюнку 29.
Мал. 29
Розв'язок:
Прямі $AK$, $BN$ і $CM$ перетинаються в точці $O$; доповняльні промені: $OA$ і $OK$, $OB$ і $ON$, $OC$ і $OM$. Кут, вертикальний до даного, утворюють доповняльні промені до його сторін.
Відповідь: $\angle AOB$ і $\angle KON$;
$\angle BOC$ і $\angle NOM$;
$\angle AOM$ і $\angle KOC$;
$\angle AOC$ і $\angle KOM$;
$\angle BOM$ і $\angle NOC$;
$\angle AON$ і $\angle KOB$.
108. Учень накреслив дві прямі, які перетинаються, та виміряв транспортиром один з кутів, що утворилися, і отримав $140^\circ$. Чи можна стверджувати, що кут між прямими дорівнює $140^\circ$? Відповідь обґрунтуйте.
Розв'язок:
Кут між прямими, що перетинаються, — це менший з утворених кутів, він не перевищує $90^\circ$. Кут, суміжний з виміряним, дорівнює $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$, отже, кут між прямими дорівнює $40^\circ$.
Відповідь: ні, кут між прямими дорівнює $40^\circ$.