Сторінка 16
Суміжні кути
85. На якому з малюнків 23–26 кути 1 і 2 є суміжними?
Мал. 23
Мал. 24
Мал. 25
Мал. 26
Розв'язок:
Два кути називають суміжними, якщо одна сторона в них спільна, а дві інші є доповняльними променями.
Мал. 23: кути 1 і 2 не мають спільної сторони — не суміжні.
Мал. 24: спільна сторона, дві інші сторони лежать на одній прямій — суміжні.
Мал. 25: спільна сторона, дві інші сторони лежать на одній прямій — суміжні.
Мал. 26: спільна сторона є, але дві інші сторони не є доповняльними променями — не суміжні.
Відповідь: на малюнках 24 і 25.
86. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати:
1) $128^\circ$ і $62^\circ$;
2) $89^\circ$ і $91^\circ$;
3) $10^\circ$ і $170^\circ$;
4) $15^\circ$ і $155^\circ$?
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) $128^\circ + 62^\circ = 190^\circ$ — ні.
2) $89^\circ + 91^\circ = 180^\circ$ — так.
3) $10^\circ + 170^\circ = 180^\circ$ — так.
4) $15^\circ + 155^\circ = 170^\circ$ — ні.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) ні.
87. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати:
1) $90^\circ$ і $90^\circ$;
2) $75^\circ$ і $95^\circ$;
3) $13^\circ$ і $167^\circ$;
4) $30^\circ$ і $160^\circ$?
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ — так.
2) $75^\circ + 95^\circ = 170^\circ$ — ні.
3) $13^\circ + 167^\circ = 180^\circ$ — так.
4) $30^\circ + 160^\circ = 190^\circ$ — ні.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так;
4) ні.
88. Знайдіть кут, суміжний з кутом:
1) $30^\circ$;
2) $90^\circ$;
3) $47^\circ$;
4) $113^\circ$.
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
2) $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
3) $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$.
4) $180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$.
Відповідь: 1) $150^\circ$;
2) $90^\circ$;
3) $133^\circ$;
4) $67^\circ$.
89. Знайдіть кут, суміжний з кутом:
1) $110^\circ$;
2) $40^\circ$;
3) $137^\circ$;
4) $54^\circ$.
Розв'язок:
1) $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2) $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
3) $180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$.
4) $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.
Відповідь: 1) $70^\circ$;
2) $140^\circ$;
3) $43^\circ$;
4) $126^\circ$.
90. Чи може пара суміжних кутів складатися з:
1) двох гострих кутів;
2) двох тупих кутів;
3) двох прямих кутів;
4) гострого і прямого кутів;
5) прямого і тупого кутів;
6) гострого і тупого кутів?
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) Сума двох гострих кутів менша від $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ — ні.
2) Сума двох тупих кутів більша за $180^\circ$ — ні.
3) $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ — так.
4) Сума гострого і прямого кутів менша від $180^\circ$ — ні.
5) Сума прямого і тупого кутів більша за $180^\circ$ — ні.
6) Так, наприклад $60^\circ$ і $120^\circ$.
Відповідь: 1) ні;
2) ні;
3) так;
4) ні;
5) ні;
6) так.
91. Накресліть за допомогою транспортира $\angle COD = 70^\circ$. Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що $OC$ – їхня спільна сторона. Обчисліть його градусну міру.
Розв'язок:
За допомогою транспортира будуємо $\angle COD = 70^\circ$. Продовжуємо сторону $OD$ за точку $O$ — отримуємо промінь $OE$, доповняльний до променя $OD$. Кут $COE$ — суміжний з кутом $COD$, $OC$ — їхня спільна сторона.
$\angle COE = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Відповідь: $110^\circ$.
92. Накресліть за допомогою транспортира $\angle MQN = 130^\circ$. Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що $QM$ – їхня спільна сторона. Обчисліть його градусну міру.
Розв'язок:
За допомогою транспортира будуємо $\angle MQN = 130^\circ$. Продовжуємо сторону $QN$ за точку $Q$ — отримуємо промінь $QK$, доповняльний до променя $QN$. Кут $MQK$ — суміжний з кутом $MQN$, $QM$ — їхня спільна сторона.
$\angle MQK = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$.
93. Промінь, що проходить між сторонами кута, ділить його на кути, що дорівнюють $16^\circ$ і $83^\circ$. Знайдіть градусну міру кута, суміжного з цим кутом.
Розв'язок:
Нехай промінь $OC$ проходить між сторонами кута $AOB$, $\angle AOC = 16^\circ$, $\angle COB = 83^\circ$; $OD$ — доповняльний промінь до $OA$.
$\angle AOB = 16^\circ + 83^\circ = 99^\circ$.
$\angle BOD = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$ (як суміжні).
Відповідь: $81^\circ$.
94. Бісектриса кута $A$ утворює з його стороною кут, що дорівнює $23^\circ$. Знайдіть градусну міру кута, суміжного з кутом $A$.
Розв'язок:
Нехай $AL$ — бісектриса кута $BAC$, $\angle BAL = 23^\circ$; $AD$ — доповняльний промінь до $AB$.
Бісектриса ділить кут навпіл, тому
$\angle BAC = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ$.
$\angle CAD = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$ (як суміжні).
Відповідь: $134^\circ$.
95. Знайдіть суміжні кути, якщо:
1) один з них на $20^\circ$ більший за інший;
2) один з них у 5 разів менший від іншого;
3) їхні градусні міри відносяться як $2 : 3$;
4) один з них становить $\frac{2}{7}$ від іншого.
Розв'язок:
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 20)^\circ$.
$x + x + 20 = 180$
$2x = 160$
$x = 80$
$80^\circ + 20^\circ = 100^\circ$.
2) Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $5x^\circ$.
$x + 5x = 180$
$6x = 180$
$x = 30$
$5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
3) Нехай кути дорівнюють $2x^\circ$ і $3x^\circ$.
$2x + 3x = 180$
$5x = 180$
$x = 36$
$2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$, $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
4) Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $\frac{2}{7}x^\circ$.
$x + \frac{2}{7}x = 180$
$\frac{9}{7}x = 180$
$x = 140$
$\frac{2}{7} \cdot 140^\circ = 40^\circ$.
Відповідь: 1) $100^\circ$ і $80^\circ$;
2) $30^\circ$ і $150^\circ$;
3) $72^\circ$ і $108^\circ$;
4) $40^\circ$ і $140^\circ$.