Сторінка 14
63. Знайдіть градусні міри кутів, утворених годинною і хвилинною стрілками годинника:
1) об 11 год;
2) о 9 год;
3) о 18 год;
4) о 17 год.
Розв'язок:
Циферблат поділено на 12 рівних частин, кут між сусідніми поділками: $360^\circ : 12 = 30^\circ$. У названий час хвилинна стрілка показує на 12.
1) Між стрілками 1 поділка: $30^\circ$.
2) 3 поділки: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.
3) 18 год — стрілка на 6, 6 поділок: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$.
4) 17 год — стрілка на 5, 5 поділок: $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
Відповідь: 1) $30^\circ$;
2) $90^\circ$;
3) $180^\circ$;
4) $150^\circ$.
64. Визначте градусну міру кута між годинною і хвилинною стрілками годинника:
1) о 1 год;
2) о 4 год;
3) о 21 год;
4) о 6 год.
Розв'язок:
Кут між сусідніми поділками циферблата — $30^\circ$.
1) 1 поділка: $30^\circ$.
2) 4 поділки: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
3) 21 год — стрілка на 9, 3 поділки: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.
4) 6 поділок: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$.
Відповідь: 1) $30^\circ$;
2) $120^\circ$;
3) $90^\circ$;
4) $180^\circ$.
65. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом:
1) 1 хв;
2) 12 хв;
3) 19 хв;
4) 29 хв?
Розв'язок:
За 60 хв хвилинна стрілка робить повний оберт, тобто за 1 хв повертається на $360^\circ : 60 = 6^\circ$.
1) $6^\circ$.
2) $12 \cdot 6^\circ = 72^\circ$.
3) $19 \cdot 6^\circ = 114^\circ$.
4) $29 \cdot 6^\circ = 174^\circ$.
Відповідь: 1) $6^\circ$;
2) $72^\circ$;
3) $114^\circ$;
4) $174^\circ$.
66. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом:
1) 2 хв;
2) 23 хв?
Розв'язок:
За 1 хв хвилинна стрілка повертається на $6^\circ$.
1) $2 \cdot 6^\circ = 12^\circ$.
2) $23 \cdot 6^\circ = 138^\circ$.
Відповідь: 1) $12^\circ$;
2) $138^\circ$.
67. На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом:
1) 1 хв;
2) 2 хв;
3) 16 хв;
4) 50 хв?
Розв'язок:
За 1 год (60 хв) годинна стрілка переходить на сусідню поділку, тобто повертається на $30^\circ$. За 1 хв — на $30^\circ : 60 =$
$= 1800' : 60 = 30'$.
1) $30'$.
2) $2 \cdot 30' = 60' = 1^\circ$.
3) $16 \cdot 30' = 480' = 8^\circ$.
4) $50 \cdot 30' = 1500' = 25^\circ$.
Відповідь: 1) $30'$;
2) $1^\circ$;
3) $8^\circ$;
4) $25^\circ$.
68. На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом:
1) 8 хв;
2) 30 хв?
Розв'язок:
За 1 хв годинна стрілка повертається на $30'$.
1) $8 \cdot 30' = 240' = 4^\circ$.
2) $30 \cdot 30' = 900' = 15^\circ$.
Відповідь: 1) $4^\circ$;
2) $15^\circ$.
69. Промінь $OK$ ділить $\angle AOB$ на два кути. Знайдіть градусну міру кута $AOB$, якщо $\angle AOK = 80^\circ$, а $\angle KOB$ становить 40 % від кута $AOK$.
Розв'язок:
$\angle KOB = 80^\circ \cdot 0{,}4 = 32^\circ$.
Промінь $OK$ проходить між сторонами кута $AOB$, тому
$\angle AOB = \angle AOK + \angle KOB =$
$= 80^\circ + 32^\circ = 112^\circ$.
Відповідь: $112^\circ$.
70. Промінь $OA$ ділить $\angle COD$ на два кути. Знайдіть градусну міру кута $AOD$, якщо $\angle COD = 147^\circ$ і $\angle COA = \frac{4}{7}\angle COD$.
Розв'язок:
$\angle COA = \frac{4}{7} \cdot 147^\circ = 84^\circ$.
$\angle AOD = \angle COD - \angle COA =$
$= 147^\circ - 84^\circ = 63^\circ$.
Відповідь: $63^\circ$.
71. $OA$ – бісектриса кута $COD$, $OB$ – бісектриса кута $AOD$. Знайдіть $\angle COD$, якщо $\angle AOB = 27^\circ$.
Розв'язок:
$OB$ — бісектриса кута $AOD$, тому $\angle AOD = 2 \cdot \angle AOB = 2 \cdot 27^\circ = 54^\circ$.
$OA$ — бісектриса кута $COD$, тому $\angle COD = 2 \cdot \angle AOD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$.
Відповідь: $108^\circ$.
72. $OM$ – бісектриса кута $AOB$, $ON$ – бісектриса кута $AOM$. Знайдіть $\angle NOM$, якщо $\angle AOB = 128^\circ$.
Розв'язок:
$OM$ — бісектриса кута $AOB$, тому $\angle AOM = 128^\circ : 2 = 64^\circ$.
$ON$ — бісектриса кута $AOM$, тому $\angle NOM = 64^\circ : 2 = 32^\circ$.
Відповідь: $32^\circ$.
73. Кут між бісектрисою кута і продовженням однієї з його сторін дорівнює $134^\circ$. Знайдіть градусну міру цього кута.
Розв'язок:
Нехай $OC$ — бісектриса кута $AOB$, промінь $OD$ — продовження сторони $OA$, $\angle COD = 134^\circ$.
Кут $AOD$ — розгорнутий, тому
$\angle AOC = 180^\circ - \angle COD =$
$= 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.
$OC$ — бісектриса, тому
$\angle AOB = 2 \cdot 46^\circ = 92^\circ$.
Відповідь: $92^\circ$.
74. Який кут утворює бісектриса кута $84^\circ$ із продовженням однієї з його сторін?
Розв'язок:
Нехай $OC$ — бісектриса кута $AOB$, $\angle AOB = 84^\circ$, промінь $OD$ — продовження сторони $OA$.
$\angle AOC = 84^\circ : 2 = 42^\circ$.
Кут $AOD$ — розгорнутий, тому
$\angle COD = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
Відповідь: $138^\circ$.
75. $\angle MOD = \angle DOC$, $\angle COB = \angle BOA$ (мал. 22). Знайдіть $\angle DOB$, якщо $\angle MOA = 100^\circ$.
Мал. 22
Розв'язок:
Кут $MOA$ складається з кутів $MOD$, $DOC$, $COB$, $BOA$, причому $\angle MOD = \angle DOC$, $\angle COB = \angle BOA$. Тому
$\angle MOA = 2\angle DOC + 2\angle COB =$
$= 2(\angle DOC + \angle COB) = 2\angle DOB$.
$\angle DOB = 100^\circ : 2 = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$.
76. $\angle MOD = \angle DOC$, $\angle COB = \angle BOA$ (мал. 22). Знайдіть $\angle MOA$, якщо $\angle DOB = 59^\circ$.
Розв'язок:
Як у № 75, $\angle MOA = 2\angle DOB$.
$\angle MOA = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$.
Відповідь: $118^\circ$.
77. Між сторонами кута $AOB = 120^\circ$ проходить промінь $OC$. Знайдіть градусні міри кутів $AOC$ і $COB$, якщо:
1) $\angle AOC$ удвічі більший за $\angle COB$;
2) $\angle AOC - \angle COB = 18^\circ$.
Розв'язок:
Промінь $OC$ проходить між сторонами кута $AOB$, тому $\angle AOC + \angle COB = 120^\circ$.
1) Нехай $\angle COB = x$, тоді $\angle AOC = 2x$.
$2x + x = 120$;
$3x = 120$;
$x = 40$.
$\angle COB = 40^\circ$, $\angle AOC = 80^\circ$.
2) Нехай $\angle COB = x$, тоді $\angle AOC = x + 18$.
$x + 18 + x = 120$;
$2x = 102$;
$x = 51$.
$\angle COB = 51^\circ$, $\angle AOC = 51^\circ + 18^\circ = 69^\circ$.
Відповідь: 1) $\angle AOC = 80^\circ$, $\angle COB = 40^\circ$;
2) $\angle AOC = 69^\circ$, $\angle COB = 51^\circ$.