Сторінка 15
78. $\angle COD = 100^\circ$, між його сторонами проходить промінь $OA$. Знайдіть градусні міри кутів $COA$ і $AOD$, якщо:
1) $\angle COA$ на $12^\circ$ менший від $\angle AOD$;
2) $\angle COA : \angle AOD = 2 : 3$.
Розв'язок:
Промінь $OA$ проходить між сторонами кута $COD$, тому $\angle COA + \angle AOD = 100^\circ$.
1) Нехай $\angle COA = x$, тоді $\angle AOD = x + 12$.
$x + x + 12 = 100$;
$2x = 88$;
$x = 44$.
$\angle COA = 44^\circ$, $\angle AOD = 44^\circ + 12^\circ = 56^\circ$.
2) Нехай $\angle COA = 2x$, тоді $\angle AOD = 3x$.
$2x + 3x = 100$;
$5x = 100$;
$x = 20$.
$\angle COA = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$, $\angle AOD = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.
Відповідь: 1) $\angle COA = 44^\circ$, $\angle AOD = 56^\circ$;
2) $\angle COA = 40^\circ$, $\angle AOD = 60^\circ$.
79. Прямий $\angle MON$ поділено променями $OA$ і $OB$ на три кути так, що $\angle MOA = 56^\circ$, $\angle NOB = 49^\circ$. Знайдіть градусну міру кута $AOB$.
Розв'язок:
$\angle MOA + \angle NOB = 56^\circ + 49^\circ = 105^\circ$, а це більше за $\angle MON = 90^\circ$: кут $AOB$ входить і в $\angle MOA$, і в $\angle NOB$, тобто у суму його враховано двічі. Тому від суми треба відняти $\angle MON$:
$\angle AOB = 105^\circ - 90^\circ = 15^\circ$.
Відповідь: $15^\circ$.
80. Розгорнутий $\angle AOB$ поділено променями $OM$ і $ON$ на три кути так, що $\angle AOM = 140^\circ$, $\angle BON = 128^\circ$. Знайдіть градусну міру кута $NOM$.
Розв'язок:
Кут $NOM$ входить і в $\angle AOM$, і в $\angle BON$, тому від їхньої суми віднімаємо розгорнутий $\angle AOB$:
$\angle NOM = 140^\circ + 128^\circ - 180^\circ = 88^\circ$.
Відповідь: $88^\circ$.
81. Знайдіть $\angle AOB$, якщо $\angle AOC = 60^\circ$, $\angle COB = 20^\circ$. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
1) Промінь $OC$ проходить між сторонами кута $AOB$:
$\angle AOB = 60^\circ + 20^\circ = 80^\circ$.
2) Промінь $OB$ проходить між сторонами кута $AOC$:
$\angle AOB = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.
Відповідь: $80^\circ$ або $40^\circ$; два розв'язки.
82. Знайдіть $\angle COD$, якщо $\angle COM = 50^\circ$, $\angle MOD = 30^\circ$. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
1) Промінь $OM$ проходить між сторонами кута $COD$:
$\angle COD = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$.
2) Промінь $OD$ проходить між сторонами кута $COM$:
$\angle COD = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.
Відповідь: $80^\circ$ або $20^\circ$; два розв'язки.
83. Як, маючи шаблон кута, який дорівнює $13^\circ$, побудувати кут:
1) $26^\circ$;
2) $78^\circ$;
3) $37^\circ$?
Розв'язок:
1) $26^\circ = 2 \cdot 13^\circ$. Від променя $OA$ шаблоном послідовно відкладаємо два кути по $13^\circ$; кут між променем $OA$ і другим побудованим променем $OB$ дорівнює $26^\circ$.
2) $78^\circ = 6 \cdot 13^\circ$. Від променя $OA$ послідовно відкладаємо шість кутів по $13^\circ$; кут між $OA$ і шостим променем $OB$ дорівнює $78^\circ$.
3) $37^\circ = 180^\circ - 143^\circ =$
$= 180^\circ - 11 \cdot 13^\circ$.
Будуємо розгорнутий кут $AOB$. Від променя $OA$ послідовно відкладаємо одинадцять кутів по $13^\circ$ (разом $143^\circ$). Кут між останнім побудованим променем і променем $OB$ дорівнює $37^\circ$.
84. Як, маючи шаблон кута, який дорівнює $59^\circ$, побудувати кут, градусна міра якого дорівнює $3^\circ$?
Розв'язок:
$3^\circ = 180^\circ - 177^\circ =$
$= 180^\circ - 3 \cdot 59^\circ$.
Будуємо розгорнутий кут $AOB$. Від променя $OA$ послідовно відкладаємо три кути по $59^\circ$ (разом $177^\circ$). Кут між третім побудованим променем і променем $OB$ дорівнює $3^\circ$.
