: 1. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості...стор. № 8-15

Сторінка 11

28. Чи лежать точки $A$, $B$ і $C$ на одній прямій, якщо $AB = 4$ см 9 мм, $BC = 0{,}32$ дм, $AC = 17$ мм?

Розв'язок:

Виразимо довжини в міліметрах:
$AB = 49$ мм, $BC = 32$ мм, $AC = 17$ мм.

Більший відрізок — $AB$.
$AC + BC = 17 + 32 = 49$ (мм), тобто $AB = AC + BC$. Отже, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій (точка $C$ лежить між точками $A$ і $B$).

Малюнок до завдання № 28 посібника Геометрія 7 клас

Відповідь: так.

29. Чи лежать точки $M$, $N$ і $L$ на одній прямій, якщо $MN = 0{,}47$ дм, $NL = 2$ см 3 мм, $ML = 25$ мм?

Розв'язок:

Виразимо довжини в міліметрах:
$MN = 47$ мм, $NL = 23$ мм, $ML = 25$ мм.

Більший відрізок — $MN$.
$NL + ML = 23 + 25 = 48$ (мм), $48 \ne 47$, тобто $MN \ne NL + ML$. Отже, точки $M$, $N$ і $L$ не лежать на одній прямій.

Відповідь: ні.

30. На малюнку 13 $AB \gt CD$. Порівняйте довжини відрізків $AC$ і $BD$.

Мал. 13

Малюнок 13 до завдання № 30 посібника Геометрія 7 клас

Розв'язок:

Точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$, тому $AC = AB + BC$. Точка $C$ лежить між точками $B$ і $D$, тому $BD = BC + CD$.

$AB \gt CD$, тому $AB + BC \gt CD + BC$, тобто $AC \gt BD$.

Відповідь: $AC \gt BD$.

31. На малюнку 13 $AC \gt BD$. Порівняйте довжини відрізків $AB$ і $CD$.

Мал. 13

Малюнок 13 до завдання № 31 посібника Геометрія 7 клас

Розв'язок:

$AC = AB + BC$, $BD = BC + CD$.

$AC \gt BD$, тобто $AB + BC \gt CD + BC$, тому $AB \gt CD$.

Відповідь: $AB \gt CD$.

32. Точки $K$ і $L$ належать відрізку $AB$. Знайдіть відстань між точками $K$ і $L$, якщо $AB = 50$ см, $AK = 27$ см, $BL = 32$ см.

Розв'язок:

Точка $L$ належить відрізку $AB$, тому $AL + LB = AB$.
$AL = AB - BL = 50 - 32 = 18$ (см).
$AL = 18$ см менше від $AK = 27$ см, тому точка $L$ лежить між точками $A$ і $K$.

Малюнок до завдання № 32 посібника Геометрія 7 клас

$KL = AK - AL = 27 - 18 = 9$ (см).

Відповідь: 9 см.

33. Точки $A$ і $B$ належать відрізку $CD$. Знайдіть відстань між точками $A$ і $B$, якщо $CD = 40$ см, $CB = 31$ см, $AD = 27$ см.

Розв'язок:

Точка $A$ належить відрізку $CD$, тому $CA + AD = CD$.
$CA = CD - AD = 40 - 27 = 13$ (см).
$CA = 13$ см менше від $CB = 31$ см, тому точка $A$ лежить між точками $C$ і $B$.

Малюнок до завдання № 33 посібника Геометрія 7 клас

$AB = CB - CA = 31 - 13 = 18$ (см).

Відповідь: 18 см.

34. Точка $P$ належить відрізку $AB = 24$ см. Знайдіть довжини відрізків $AP$ і $PB$, якщо:

1) $AP$ коротший від $PB$ на 6 см;
2) $AP$ довший за $PB$ удвічі;
3) різниця між $AP$ і $PB$ дорівнює 10 см;
4) $AP : PB = 3 : 5$.

Розв'язок:

Малюнок до завдання № 34 посібника Геометрія 7 клас

Точка $P$ належить відрізку $AB$, тому $AP + PB = AB$ (за основною властивістю вимірювання відрізків).

1) Нехай $AP = x$ см, тоді $PB = (x + 6)$ см. Маємо рівняння:
$x + (x + 6) = 24$;
$2x + 6 = 24$;
$x = 9$ (см).
Отже, $AP = 9$ см, $PB = 9 + 6 = 15$ (см).

2) Нехай $PB = x$ см, тоді $AP = 2x$ см.
$2x + x = 24$;
$3x = 24$;
$x = 8$ (см).
Отже, $PB = 8$ см, $AP = 2 \cdot 8 = 16$ (см).

3) $AP - PB = 10$ см, тобто $AP$ довший за $PB$ на 10 см. Нехай $PB = x$ см, тоді $AP = (x + 10)$ см.
$(x + 10) + x = 24$;
$2x + 10 = 24$;
$x = 7$ (см).
Отже, $PB = 7$ см, $AP = 7 + 10 = 17$ (см).

4) Нехай $AP = 3x$ см, тоді $PB = 5x$ см.
$3x + 5x = 24$;
$8x = 24$;
$x = 3$.
Отже, $AP = 3 \cdot 3 = 9$ (см), $PB = 5 \cdot 3 = 15$ (см).

Відповідь: 1) $AP = 9$ см, $PB = 15$ см;
2) $AP = 16$ см, $PB = 8$ см;
3) $AP = 17$ см, $PB = 7$ см;
4) $AP = 9$ см, $PB = 15$ см.

35. Точка $A$ належить відрізку $CD = 36$ см. Знайдіть довжини відрізків $AC$ і $AD$, якщо:

1) $AC$ довший за $AD$ на 4 см;
2) $AC$ коротший від $AD$ утричі;
3) різниця між $AD$ і $AC$ дорівнює 8 см;
4) $AC : AD = 2 : 1$.

Розв'язок:

Малюнок до завдання № 35 посібника Геометрія 7 клас

Точка $A$ належить відрізку $CD$, тому $AC + AD = CD$ (за основною властивістю вимірювання відрізків).

1) Нехай $AD = x$ см, тоді $AC = (x + 4)$ см. Маємо рівняння:
$(x + 4) + x = 36$;
$2x + 4 = 36$;
$x = 16$ (см).
Отже, $AD = 16$ см, $AC = 16 + 4 = 20$ (см).

2) Нехай $AC = x$ см, тоді $AD = 3x$ см.
$x + 3x = 36$;
$4x = 36$;
$x = 9$ (см).
Отже, $AC = 9$ см, $AD = 3 \cdot 9 = 27$ (см).

3) $AD - AC = 8$ см, тобто $AD$ довший за $AC$ на 8 см. Нехай $AC = x$ см, тоді $AD = (x + 8)$ см.
$x + (x + 8) = 36$;
$2x + 8 = 36$;
$x = 14$ (см).
Отже, $AC = 14$ см, $AD = 14 + 8 = 22$ (см).

4) Нехай $AD = x$ см, тоді $AC = 2x$ см.
$2x + x = 36$;
$3x = 36$;
$x = 12$ (см).
Отже, $AD = 12$ см, $AC = 2 \cdot 12 = 24$ (см).

Відповідь: 1) $AC = 20$ см, $AD = 16$ см;
2) $AC = 9$ см, $AD = 27$ см;
3) $AC = 14$ см, $AD = 22$ см;
4) $AC = 24$ см, $AD = 12$ см.

36. Точки $C$, $D$ і $M$ лежать на одній прямій, причому $CD = 17$ см, $DM = 5$ см. Знайдіть відстань між точками $C$ і $M$. Скільки розв'язків має задача?

Розв'язок:

З трьох точок на прямій одна лежить між двома іншими. Точка $C$ не може лежати між точками $D$ і $M$, бо тоді $CD$ було б менше від $DM$, а $17 \gt 5$. Можливі два випадки.

1) Точка $M$ лежить між точками $C$ і $D$:

Малюнок до завдання № 36 (випадок 1) посібника Геометрія 7 клас

$CM = CD - DM = 17 - 5 = 12$ (см).

2) Точка $D$ лежить між точками $C$ і $M$:

Малюнок до завдання № 36 (випадок 2) посібника Геометрія 7 клас

$CM = CD + DM = 17 + 5 = 22$ (см).

Відповідь: 12 см або 22 см;
два розв'язки.

37. Точки $A$, $B$ і $K$ лежать на одній прямій, причому $AB = 9$ см, $AK = 12$ см. Знайдіть відстань між точками $B$ і $K$. Скільки розв'язків має задача?

Розв'язок:

Точка $K$ не може лежати між точками $A$ і $B$, бо тоді $AK$ було б менше від $AB$, а $12 \gt 9$. Можливі два випадки.

1) Точка $B$ лежить між точками $A$ і $K$:

Малюнок до завдання № 37 (випадок 1) посібника Геометрія 7 клас

$BK = AK - AB = 12 - 9 = 3$ (см).

2) Точка $A$ лежить між точками $B$ і $K$:

Малюнок до завдання № 37 (випадок 2) посібника Геометрія 7 клас

$BK = BA + AK = 9 + 12 = 21$ (см).

Відповідь: 3 см або 21 см;
два розв'язки.

38. Точка $K$ ділить відрізок $AB$ завдовжки 18 см на два неоднакових відрізки. Знайдіть відстань між серединами відрізків $AK$ і $KB$.

Розв'язок:

Нехай $M$ — середина відрізка $AK$, $N$ — середина відрізка $KB$.

Малюнок до завдання № 38 посібника Геометрія 7 клас

Тоді $MK = \frac{AK}{2}$, $KN = \frac{KB}{2}$. Точка $K$ лежить між точками $M$ і $N$, тому
$MN = MK + KN = \frac{AK}{2} + \frac{KB}{2} =$
$= \frac{AK + KB}{2} = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (см).

Відповідь: 9 см.

39. Точка $M$ ділить відрізок $CD$ на два неоднакових відрізки. $K$ — середина відрізка $CM$, $L$ — середина відрізка $MD$, $KL = 7$ см. Знайдіть довжину відрізка $CD$.

Розв'язок:

Малюнок до завдання № 39 посібника Геометрія 7 клас

$K$ — середина відрізка $CM$, тому $CM = 2 \cdot KM$; $L$ — середина відрізка $MD$, тому $MD = 2 \cdot ML$. Точка $M$ лежить між точками $K$ і $L$, тому $KM + ML = KL = 7$ см.

$CD = CM + MD =$
$= 2 \cdot KM + 2 \cdot ML =$
$= 2 \cdot (KM + ML) = 2 \cdot 7 = 14$ (см).

Відповідь: 14 см.

40. Довжина відрізка $CD$ дорівнює 10 см. Знайдіть на прямій $CD$ всі такі точки, для яких сума відстаней до точок $C$ і $D$ дорівнює:

1) 12 см;
2) 10 см;
3) 8 см.

Розв'язок:

Нехай $X$ — точка прямої $CD$. Якщо $X$ лежить на відрізку $CD$, то $XC + XD = CD = 10$ см. Якщо $X$ лежить поза відрізком $CD$, наприклад за точкою $D$, то точка $D$ лежить між точками $C$ і $X$, тому $XC = CD + DX$ і
$XC + XD = 10 + 2 \cdot XD \gt 10$ (см).
Так само, якщо $X$ лежить за точкою $C$.

1) $12 \gt 10$, тому шукані точки лежать поза відрізком $CD$. Для точки $B$ за точкою $D$:
$10 + 2 \cdot BD = 12$;
$BD = 1$ (см), $BC = 10 + 1 = 11$ (см).
Так само за точкою $C$ — точка $A$, для якої $AC = 1$ см, $AD = 11$ см.

Малюнок до завдання № 40 посібника Геометрія 7 клас

2) Сума дорівнює 10 см для кожної точки відрізка $CD$ і лише для них.

3) Сума відстаней не буває меншою від 10 см, тому таких точок немає.

Відповідь: 1) точка $A$, для якої $AC = 1$ см, $AD = 11$ см, і точка $B$, для якої $BD = 1$ см, $BC = 11$ см;
2) будь-яка точка відрізка $CD$;
3) таких точок немає.