Сторінка 82
Варіант 1
С-3А
1. Накресліть пряму $a$, позначте точку $N$, що міститься на відстані 1,5 см від прямої $a$, і точку $M$, що міститься на відстані 4 см від прямої $a$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $a$. За допомогою косинця проводимо перпендикуляр до прямої $a$ і на ньому від прямої відкладаємо 1,5 см — отримуємо точку $N$. Так само на іншому перпендикулярі до прямої $a$ відкладаємо 4 см — отримуємо точку $M$.
2. Проведіть пряму $CD$ і позначте точку $A$, що не належить їй. За допомогою косинця і лінійки через точку $A$ проведіть пряму, паралельну прямій $CD$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $CD$ і позначаємо точку $A$, що їй не належить. Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $CD$, а до другої його сторони — лінійку. Тримаючи лінійку нерухомо, пересуваємо косинець уздовж неї, доки перша сторона косинця не пройде через точку $A$. Уздовж цієї сторони проводимо пряму — вона паралельна прямій $CD$.
С-3Б
1. На малюнку $AB \perp CD$, $\angle KOL = 125^\circ$, $\angle KOA = 30^\circ$. Знайдіть $\angle LOD$.
Розв'язок:
Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle AOC = 90^\circ$. Промінь $OK$ проходить між сторонами кута $AOC$, тому
$\angle KOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Промінь $OC$ проходить між сторонами кута $KOL$, тому
$\angle COL = 125^\circ - 60^\circ = 65^\circ$.
Кути $COL$ і $LOD$ — суміжні, тому
$\angle LOD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.
Відповідь: $115^\circ$.
2. Прямі $a$ і $b$ — перетинаються. Пряма $m$ паралельна прямій $b$. Яким є взаємне розміщення прямих $a$ і $m$?
Розв'язок:
Нехай прямі $a$ і $b$ перетинаються в точці $K$. Оскільки $m \parallel b$, то точка $K$ не лежить на прямій $m$.
Якби прямі $a$ і $m$ не перетиналися ($a \parallel m$), то через точку $K$ проходили б дві прямі $a$ і $b$, паралельні прямій $m$, а це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, прямі $a$ і $m$ перетинаються.
Відповідь: перетинаються.
С-3В
1. Як, користуючись косинцем і шаблоном кута $14^\circ$, побудувати кут, який дорівнює $6^\circ$?
Розв'язок:
Оскільки $6 \cdot 14^\circ = 84^\circ$, то
$6^\circ = 90^\circ - 84^\circ = 90^\circ - 6 \cdot 14^\circ$.
За допомогою косинця будуємо прямий кут $AOB$. Від променя $OA$ всередину кута шаблоном послідовно відкладаємо шість кутів по $14^\circ$. Між останнім побудованим променем і променем $OB$ утворився кут $90^\circ - 84^\circ = 6^\circ$.
2. Прямі $a$ і $b$ не перетинаються, $b$ і $c$ — паралельні. Пряма $m$ перетинає пряму $c$. Доведіть, що пряма $m$ перетинає прямі $b$ і $a$.
Доведення:
Нехай пряма $m$ перетинає пряму $c$ у точці $M$. Оскільки $b \parallel c$, то точка $M$ не лежить на прямій $b$.
Припустимо, що пряма $m$ не перетинає пряму $b$, тобто $m \parallel b$. Тоді через точку $M$ проходять дві прямі $m$ і $c$, паралельні прямій $b$. Це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, пряма $m$ перетинає пряму $b$.
Прямі $a$ і $b$ не перетинаються, тобто $a \parallel b$. Пряма $m$ перетинає пряму $b$, тому, міркуючи так само, отримуємо, що пряма $m$ перетинає і пряму $a$.