Сторінка 83
С-3А
1. Накресліть пряму $a$, позначте точку $K$, що міститься на відстані 2,5 см від прямої $a$, та точку $L$, що міститься на відстані 3 см від прямої $a$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $a$. За допомогою косинця проводимо перпендикуляр до прямої $a$ і на ньому від прямої відкладаємо 2,5 см — отримуємо точку $K$. Так само на іншому перпендикулярі до прямої $a$ відкладаємо 3 см — отримуємо точку $L$.
2. Проведіть пряму $AB$ і позначте точку $C$, що не належить їй. За допомогою косинця і лінійки через точку $C$ проведіть пряму, паралельну прямій $AB$.
Розв'язок:
Проводимо пряму $AB$ і позначаємо точку $C$, що їй не належить. Прикладаємо косинець однією стороною прямого кута до прямої $AB$, а до другої його сторони — лінійку. Тримаючи лінійку нерухомо, пересуваємо косинець уздовж неї, доки перша сторона косинця не пройде через точку $C$. Уздовж цієї сторони проводимо пряму — вона паралельна прямій $AB$.
С-3Б
1. На малюнку $AB \perp CD$, $\angle AON = 120^\circ$, $\angle COM = 45^\circ$. Знайдіть $\angle MON$.
Розв'язок:
Оскільки $AB \perp CD$, то $\angle COB = 90^\circ$. Промінь $OM$ проходить між сторонами кута $COB$, тому
$\angle MOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Кути $AON$ і $NOB$ — суміжні, тому
$\angle NOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Промінь $OB$ проходить між сторонами кута $MON$, тому
$\angle MON = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.
Відповідь: $105^\circ$.
2. Прямі $c$ і $d$ паралельні. Пряма $a$ перетинає пряму $c$. Яким є взаємне розміщення прямих $a$ і $d$?
Розв'язок:
Нехай пряма $a$ перетинає пряму $c$ у точці $K$. Оскільки $c \parallel d$, то точка $K$ не лежить на прямій $d$.
Якби прямі $a$ і $d$ не перетиналися ($a \parallel d$), то через точку $K$ проходили б дві прямі $a$ і $c$, паралельні прямій $d$, а це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, прямі $a$ і $d$ перетинаються.
Відповідь: перетинаються.
С-3В
1. Як, користуючись косинцем і шаблоном кута $16^\circ$, побудувати кут, який дорівнює $6^\circ$?
Розв'язок:
Оскільки $6 \cdot 16^\circ = 96^\circ$, то
$6^\circ = 96^\circ - 90^\circ = 6 \cdot 16^\circ - 90^\circ$.
За допомогою косинця будуємо прямий кут $AOB$. Від променя $OA$ шаблоном послідовно відкладаємо шість кутів по $16^\circ$ (п'ять із них — усередині прямого кута, шостий виходить за промінь $OB$). Між променем $OB$ і останнім побудованим променем утворився кут $96^\circ - 90^\circ = 6^\circ$.
2. Прямі $m$ і $n$ паралельні, пряма $l$ не перетинає пряму $n$, але перетинає пряму $a$. Доведіть, що пряма $a$ перетинає прямі $m$ і $n$.
Доведення:
Пряма $l$ не перетинає пряму $n$, тобто $l \parallel n$. Нехай пряма $a$ перетинає пряму $l$ у точці $K$; точка $K$ не лежить на прямій $n$.
Припустимо, що пряма $a$ не перетинає пряму $n$, тобто $a \parallel n$. Тоді через точку $K$ проходять дві прямі $a$ і $l$, паралельні прямій $n$. Це суперечить аксіомі паралельності прямих. Отже, пряма $a$ перетинає пряму $n$.
Оскільки $m \parallel n$, а пряма $a$ перетинає пряму $n$, то, міркуючи так само, отримуємо, що пряма $a$ перетинає і пряму $m$.