Сторінка 81
С-2А
1. Накресліть за допомогою транспортира $\angle BOC = 120^\circ$. Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що $OC$ — їхня спільна сторона. Обчисліть його градусну міру.
Розв'язок:
За допомогою транспортира будуємо $\angle BOC = 120^\circ$. Продовжуємо промінь $OB$ за точку $O$ і на продовженні позначаємо точку $A$. Кут $COA$ — суміжний з кутом $BOC$ (сторона $OC$ спільна, а $OA$ і $OB$ — доповняльні промені).
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, тому
$\angle COA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Відповідь: $60^\circ$.
2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює $135^\circ$.
1) Знайдіть інші кути.
2) Знайдіть кут між прямими.
Розв'язок:
Нехай прямі $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $O$ і $\angle COB = 135^\circ$.
1) $\angle AOD = \angle COB = 135^\circ$ (як вертикальні).
$\angle AOC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ (суміжний з кутом $COB$).
$\angle BOD = \angle AOC = 45^\circ$ (як вертикальні).
2) Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $45^\circ$.
Відповідь: 1) $135^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$;
2) $45^\circ$.
С-2Б
1. Знайдіть суміжні кути, якщо їхні градусні міри відносяться як $13 : 7$.
Розв'язок:
Нехай градусні міри кутів дорівнюють $13x$ і $7x$. Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, тому:
$13x + 7x = 180$
$20x = 180$
$x = 9$
Тоді кути дорівнюють $13 \cdot 9 = 117^\circ$ і $7 \cdot 9 = 63^\circ$.
Відповідь: $117^\circ$ і $63^\circ$.
2. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо сума трьох з утворених кутів дорівнює $289^\circ$.
Розв'язок:
При перетині двох прямих утворюються чотири кути, сума яких дорівнює $360^\circ$ (дві пари суміжних кутів: $180^\circ + 180^\circ$). Тому четвертий кут дорівнює:
$360^\circ - 289^\circ = 71^\circ$.
Тоді утворені кути: $71^\circ$, $180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$, $71^\circ$, $109^\circ$.
Кут між прямими — менший з них, тобто $71^\circ$.
Відповідь: $71^\circ$.
С-2В
1. Один з двох даних кутів на $40^\circ$ більший за інший, а суміжні з ними відносяться як $3 : 4$. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 40)^\circ$. Кут, суміжний з більшим, менший, тому:
суміжний з більшим: $180 - (x + 40) = 140 - x$;
суміжний з меншим: $180 - x$.
За умовою $(140 - x) : (180 - x) = 3 : 4$, тому:
$4(140 - x) = 3(180 - x)$
$560 - 4x = 540 - 3x$
$560 - 540 = 4x - 3x$
$x = 20$
Менший кут — $20^\circ$, більший — $20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$.
Перевірка: суміжні кути $120^\circ$ і $160^\circ$;
$120 : 160 = 3 : 4$.
Відповідь: $20^\circ$ і $60^\circ$.
2. На малюнку зображено три прямі, які перетинаються в одній точці, $\angle 2 + \angle 3 = 125^\circ$. Знайдіть $\angle 1$.
Розв'язок:
Позначимо $\angle 4$ — кут між кутами 1 і 2 (див. малюнок). Кути 3 і 4 — вертикальні, тому $\angle 4 = \angle 3$.
Кути 1, 4 і 2 разом утворюють розгорнутий кут, тому:
$\angle 1 = 180^\circ - (\angle 4 + \angle 2) = $
$= 180^\circ - (\angle 3 + \angle 2) = $
$= 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
Відповідь: $55^\circ$.