Сторінка 80
Варіант 1
С-2А
1. Накресліть за допомогою транспортира $\angle AOD = 110^\circ$. Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що $OA$ — їхня спільна сторона. Обчисліть його градусну міру.
Розв'язок:
За допомогою транспортира будуємо $\angle AOD = 110^\circ$. Продовжуємо промінь $OD$ за точку $O$ і на продовженні позначаємо точку $C$. Кут $AOC$ — суміжний з кутом $AOD$ (сторона $OA$ спільна, а $OC$ і $OD$ — доповняльні промені).
Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, тому
$\angle AOC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
Відповідь: $70^\circ$.
2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює $128^\circ$.
1) Знайдіть інші кути.
2) Знайдіть кут між прямими.
Розв'язок:
Нехай прямі $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $O$ і $\angle COB = 128^\circ$.
1) $\angle AOD = \angle COB = 128^\circ$ (як вертикальні).
$\angle AOC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$ (суміжний з кутом $COB$).
$\angle BOD = \angle AOC = 52^\circ$ (як вертикальні).
2) Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $52^\circ$.
Відповідь: 1) $128^\circ$, $52^\circ$, $52^\circ$;
2) $52^\circ$.
С-2Б
1. Знайдіть суміжні кути, якщо їхні градусні міри відносяться як $9 : 11$.
Розв'язок:
Нехай градусні міри кутів дорівнюють $9x$ і $11x$. Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, тому:
$9x + 11x = 180$
$20x = 180$
$x = 9$
Тоді кути дорівнюють $9 \cdot 9 = 81^\circ$ і $11 \cdot 9 = 99^\circ$.
Відповідь: $81^\circ$ і $99^\circ$.
2. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо сума трьох з утворених кутів дорівнює $293^\circ$.
Розв'язок:
При перетині двох прямих утворюються чотири кути, сума яких дорівнює $360^\circ$ (дві пари суміжних кутів: $180^\circ + 180^\circ$). Тому четвертий кут дорівнює:
$360^\circ - 293^\circ = 67^\circ$.
Тоді утворені кути: $67^\circ$, $180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$, $67^\circ$, $113^\circ$.
Кут між прямими — менший з них, тобто $67^\circ$.
Відповідь: $67^\circ$.
С-2В
1. Один з двох даних кутів на $20^\circ$ менший від іншого, а суміжні з ними відносяться як $6 : 5$. Знайдіть ці кути.
Розв'язок:
Нехай більший кут дорівнює $x^\circ$, тоді менший — $(x - 20)^\circ$. Кут, суміжний з меншим, більший, тому:
суміжний з меншим: $180 - (x - 20) = 200 - x$;
суміжний з більшим: $180 - x$.
За умовою $(200 - x) : (180 - x) = 6 : 5$, тому:
$5(200 - x) = 6(180 - x)$
$1000 - 5x = 1080 - 6x$
$6x - 5x = 1080 - 1000$
$x = 80$
Більший кут — $80^\circ$, менший — $80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.
Перевірка: суміжні кути $120^\circ$ і $100^\circ$;
$120 : 100 = 6 : 5$.
Відповідь: $60^\circ$ і $80^\circ$.
2. На малюнку зображено три прямі, які перетинаються в одній точці, $\angle 1 + \angle 2 = 135^\circ$. Знайдіть $\angle 3$.
Розв'язок:
Позначимо $\angle 4$ — кут між кутами 1 і 2 (див. малюнок). Кути 1, 4 і 2 разом утворюють розгорнутий кут, тому:
$\angle 4 = 180^\circ - (\angle 1 + \angle 2) = $
$= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Кути 3 і 4 — вертикальні, тому $\angle 3 = \angle 4 = 45^\circ$.
Відповідь: $45^\circ$.