Сторінка 12
45. Ціну товару спочатку зменшили на 10 %, а потім нову ціну збільшили на 5 %. Як і на скільки відсотків змінилася ціна порівняно з початковою?
Розв'язок:
Нехай початкова ціна товару – $x$ грн. Після зменшення на $10\,\%$ ціна стала $100\,\% - 10\,\% = 90\,\%$ початкової, тобто $0{,}9x$ грн. Після збільшення на $5\,\%$ нова ціна стала $105\,\%$ від $0{,}9x$:
$0{,}9x \cdot 1{,}05 = 0{,}945x$ (грн).
$0{,}945x$ – це $94{,}5\,\%$ від $x$, тобто ціна зменшилася на
$100\,\% - 94{,}5\,\% = 5{,}5\,\%$.
Відповідь: зменшилася на $5{,}5\,\%$.
46. Ціну товару спочатку збільшили на 10 %, а потім нову ціну зменшили на 5 %. Як і на скільки відсотків змінилася ціна порівняно з початковою?
Розв'язок:
Нехай початкова ціна товару – $x$ грн. Після збільшення на $10\,\%$ ціна стала $100\,\% + 10\,\% = 110\,\%$ початкової, тобто $1{,}1x$ грн. Після зменшення на $5\,\%$ нова ціна стала $95\,\%$ від $1{,}1x$:
$1{,}1x \cdot 0{,}95 = 1{,}045x$ (грн).
$1{,}045x$ – це $104{,}5\,\%$ від $x$, тобто ціна збільшилася на
$104{,}5\,\% - 100\,\% = 4{,}5\,\%$.
Відповідь: збільшилася на $4{,}5\,\%$.
47. Скільком кілометрам на місцевості відповідає 1 см на карті з масштабом:
1) $1 : 200\,000$;
2) $1 : 9\,000\,000$;
3) $1 : 40\,000$?
Розв'язок:
1) 1 см на карті відповідає $200\,000$ см на місцевості, тобто $2000$ м, або $2$ км;
2) 1 см на карті відповідає $9\,000\,000$ см на місцевості, тобто $90\,000$ м, або $90$ км;
3) 1 см на карті відповідає $40\,000$ см на місцевості, тобто $400$ м, або $0{,}4$ км.
Відповідь: 1) 2 км;
2) 90 км;
3) 0,4 км.
48. Знайдіть невідомий член пропорції:
1) $x : 8 = 5 : 2$;
2) $\frac{7}{x} = \frac{14}{3}$;
3) $x : 15 = \frac{7}{80}$.
Розв'язок:
За основною властивістю пропорції добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх.
1) $x : 8 = 5 : 2$
$x \cdot 2 = 8 \cdot 5$
$2x = 40$
$x = 40 : 2$
$x = 20$
2) $\frac{7}{x} = \frac{14}{3}$
$14x = 7 \cdot 3$
$14x = 21$
$x = 21 : 14$
$x = 1{,}5$
3) $x : 15 = \frac{7}{80}$
$80x = 15 \cdot 7$
$80x = 105$
$x = 105 : 80$
$x = \frac{21}{16}$
$x = 1\frac{5}{16}$
Відповідь: 1) $20$;
2) $1{,}5$;
3) $1\frac{5}{16}$.
49. Знайдіть невідомий член пропорції:
1) $4 : 3 = x : 9$;
2) $\frac{x}{5} = \frac{9}{10}$;
3) $\frac{13}{20} = x : 4$.
Розв'язок:
За основною властивістю пропорції добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх.
1) $4 : 3 = x : 9$
$3x = 4 \cdot 9$
$3x = 36$
$x = 36 : 3$
$x = 12$
2) $\frac{x}{5} = \frac{9}{10}$
$10x = 5 \cdot 9$
$10x = 45$
$x = 45 : 10$
$x = 4{,}5$
3) $\frac{13}{20} = x : 4$
$20x = 13 \cdot 4$
$20x = 52$
$x = 52 : 20$
$x = 2{,}6$
Відповідь: 1) $12$;
2) $4{,}5$;
3) $2{,}6$.
50. Скільки відсотків становить:
1) $30$ від $50$;
2) $4{,}2$ від $8{,}4$;
3) $17$ від $1{,}7$;
4) $8$ від $24$?
Розв'язок:
1) $\frac{30}{50} \cdot 100\,\% = 60\,\%$;
2) $\frac{4{,}2}{8{,}4} \cdot 100\,\% = 0{,}5 \cdot 100\,\% = 50\,\%$;
3) $\frac{17}{1{,}7} \cdot 100\,\% = 10 \cdot 100\,\% = 1000\,\%$;
4) $\frac{8}{24} \cdot 100\,\% = \frac{1}{3} \cdot 100\,\% = 33\frac{1}{3}\,\%$.
51. Скільки відсотків становить:
1) $20$ від $80$;
2) $2{,}7$ від $10{,}8$;
3) $4$ від $0{,}4$;
4) $10$ від $15$?
Розв'язок:
1) $\frac{20}{80} \cdot 100\,\% = 25\,\%$;
2) $\frac{2{,}7}{10{,}8} \cdot 100\,\% = 0{,}25 \cdot 100\,\% = 25\,\%$;
3) $\frac{4}{0{,}4} \cdot 100\,\% = 10 \cdot 100\,\% = 1000\,\%$;
4) $\frac{10}{15} \cdot 100\,\% = \frac{2}{3} \cdot 100\,\% = 66\frac{2}{3}\,\%$.
52. Поділіть число:
1) $35$ на дві частини у відношенні $3 : 4$;
2) $80$ на три частини у відношенні $1 : 2 : 7$.
Розв'язок:
1) $3 + 4 = 7$ (частин);
$35 : 7 = 5$ – припадає на одну частину;
$5 \cdot 3 = 15$; $5 \cdot 4 = 20$.
2) $1 + 2 + 7 = 10$ (частин);
$80 : 10 = 8$ – припадає на одну частину;
$8 \cdot 1 = 8$; $8 \cdot 2 = 16$; $8 \cdot 7 = 56$.
Відповідь: 1) $15$ і $20$;
2) $8$, $16$ і $56$.
53. Поділіть число:
1) $24$ на дві частини у відношенні $1 : 5$;
2) $90$ на три частини у відношенні $3 : 4 : 2$.
Розв'язок:
1) $1 + 5 = 6$ (частин);
$24 : 6 = 4$ – припадає на одну частину;
$4 \cdot 1 = 4$; $4 \cdot 5 = 20$.
2) $3 + 4 + 2 = 9$ (частин);
$90 : 9 = 10$ – припадає на одну частину;
$10 \cdot 3 = 30$; $10 \cdot 4 = 40$; $10 \cdot 2 = 20$.
Відповідь: 1) $4$ і $20$;
2) $30$, $40$ і $20$.
54. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x - 2}{4} = \frac{5}{16}$;
2) $\frac{7}{10} = \frac{x + 3}{20}$;
3) $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{6}$.
Розв'язок:
Використаємо основну властивість пропорції.
1) $\frac{x - 2}{4} = \frac{5}{16}$
$16(x - 2) = 4 \cdot 5$
$16x - 32 = 20$
$16x = 20 + 32$
$16x = 52$
$x = 3{,}25$
2) $\frac{7}{10} = \frac{x + 3}{20}$
$10(x + 3) = 7 \cdot 20$
$10x + 30 = 140$
$10x = 140 - 30$
$10x = 110$
$x = 11$
3) $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{6}$
$6(2x - 1) = 3(x + 4)$
$12x - 6 = 3x + 12$
$12x - 3x = 12 + 6$
$9x = 18$
$x = 2$
Відповідь: 1) $3{,}25$;
2) $11$;
3) $2$.
55. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{2}{5} = \frac{x - 3}{10}$;
2) $\frac{x + 8}{9} = \frac{11}{36}$;
3) $\frac{4x - 2}{3} = \frac{x + 7}{12}$.
Розв'язок:
Використаємо основну властивість пропорції.
1) $\frac{2}{5} = \frac{x - 3}{10}$
$5(x - 3) = 2 \cdot 10$
$5x - 15 = 20$
$5x = 20 + 15$
$5x = 35$
$x = 7$
2) $\frac{x + 8}{9} = \frac{11}{36}$
$36(x + 8) = 9 \cdot 11$
$36x + 288 = 99$
$36x = 99 - 288$
$36x = -189$
$x = -5{,}25$
3) $\frac{4x - 2}{3} = \frac{x + 7}{12}$
$12(4x - 2) = 3(x + 7)$
$48x - 24 = 3x + 21$
$48x - 3x = 21 + 24$
$45x = 45$
$x = 1$
Відповідь: 1) $7$;
2) $-5{,}25$;
3) $1$.
56. Ціна деякого виробу дорівнювала 500 грн і її було спочатку знижено на 20 %, а потім нову ціну було підвищено на 10 %. Знайдіть:
1) ціну виробу після зниження;
2) ціну виробу після підвищення;
3) на скільки гривень змінилася ціна виробу;
4) на скільки відсотків змінилася ціна виробу.
Розв'язок:
1) Після зниження на $20\,\%$ ціна становила $80\,\%$ початкової:
$500 \cdot 0{,}8 = 400$ (грн);
2) після підвищення на $10\,\%$ – $110\,\%$ від $400$ грн:
$400 \cdot 1{,}1 = 440$ (грн);
3) $500 - 440 = 60$ (грн) – на стільки зменшилася ціна;
4) $\frac{60}{500} \cdot 100\,\% = 12\,\%$ – на стільки відсотків зменшилася ціна.
Відповідь: 1) 400 грн;
2) 440 грн;
3) зменшилася на 60 грн;
4) зменшилася на $12\,\%$.