Сторінка 39
308. Обчисліть значення виразу:
1) $\frac{10^7}{2^6 \cdot 5^6}$;
2) $\frac{3^{10} \cdot 5^{10}}{15^9}$;
3) $\frac{5^6 \cdot 7^7}{35^6}$;
4) $\frac{2^{15} \cdot 3^6}{24^5}$;
5) $\frac{36^5}{2^{10} \cdot 3^8}$;
6) $\frac{27^3}{18^4}$.
Розв'язок:
1) $\frac{10^7}{2^6 \cdot 5^6} = \frac{10^7}{(2 \cdot 5)^6} = \frac{10^7}{10^6} = 10$;
2) $\frac{3^{10} \cdot 5^{10}}{15^9} = \frac{(3 \cdot 5)^{10}}{15^9} = \frac{15^{10}}{15^9} = 15$;
3) $\frac{5^6 \cdot 7^7}{35^6} = \frac{5^6 \cdot 7^6 \cdot 7}{35^6} = \frac{35^6 \cdot 7}{35^6} = 7$;
4) $\frac{2^{15} \cdot 3^6}{24^5} = \frac{2^{15} \cdot 3^6}{(2^3 \cdot 3)^5} = \frac{2^{15} \cdot 3^6}{2^{15} \cdot 3^5} = 3$;
5) $\frac{36^5}{2^{10} \cdot 3^8} = \frac{(2^2 \cdot 3^2)^5}{2^{10} \cdot 3^8} = \frac{2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^8} =$
$= 3^2 = 9$;
6) $\frac{27^3}{18^4} = \frac{(3^3)^3}{(2 \cdot 3^2)^4} = \frac{3^9}{2^4 \cdot 3^8} = \frac{3}{16}$.
309. Обчисліть значення виразу:
1) $\frac{16^9}{8^{11}}$;
2) $\frac{27^{10}}{81^7}$;
3) $\frac{7^8 \cdot 49^6}{343^6}$;
4) $\frac{6^9}{2^8 \cdot 3^8}$;
5) $\frac{2^7 \cdot 5^7}{100^3}$;
6) $\frac{36^5}{24^4}$.
Розв'язок:
1) $\frac{16^9}{8^{11}} = \frac{(2^4)^9}{(2^3)^{11}} = \frac{2^{36}}{2^{33}} = 2^3 = 8$;
2) $\frac{27^{10}}{81^7} = \frac{(3^3)^{10}}{(3^4)^7} = \frac{3^{30}}{3^{28}} = 3^2 = 9$;
3) $\frac{7^8 \cdot 49^6}{343^6} = \frac{7^8 \cdot (7^2)^6}{(7^3)^6} = \frac{7^8 \cdot 7^{12}}{7^{18}} =$
$= \frac{7^{20}}{7^{18}} = 7^2 = 49$;
4) $\frac{6^9}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{6^9}{(2 \cdot 3)^8} = \frac{6^9}{6^8} = 6$;
5) $\frac{2^7 \cdot 5^7}{100^3} = \frac{10^7}{(10^2)^3} = \frac{10^7}{10^6} = 10$;
6) $\frac{36^5}{24^4} = \frac{(2^2 \cdot 3^2)^5}{(2^3 \cdot 3)^4} = \frac{2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^4} =$
$= \frac{3^6}{2^2} = \frac{729}{4} = 182\frac{1}{4}$.
310. Порівняйте:
1) $7^{14}$ і $49^7$;
2) $6^{12}$ і $12^6$;
3) $3^{18}$ і $9^{10}$;
4) $3^{300}$ і $4^{200}$.
Розв'язок:
1) $49^7 = (7^2)^7 = 7^{14}$, отже, $7^{14} = 49^7$;
2) $6^{12} = 6^6 \cdot 6^6$, $12^6 = (2 \cdot 6)^6 = 2^6 \cdot 6^6$;
$6^6 \gt 2^6$, отже, $6^{12} \gt 12^6$;
3) $9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{20}$; $3^{18} \lt 3^{20}$, отже, $3^{18} \lt 9^{10}$;
4) $3^{300} = (3^3)^{100} = 27^{100}$;
$4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100}$;
$27^{100} \gt 16^{100}$, отже, $3^{300} \gt 4^{200}$.
Відповідь: 1) $7^{14} = 49^7$;
2) $6^{12} \gt 12^6$;
3) $3^{18} \lt 9^{10}$;
4) $3^{300} \gt 4^{200}$.
311. Порівняйте:
1) $8^{16}$ і $64^7$;
2) $16^8$ і $8^{16}$;
3) $7^{16}$ і $49^8$;
4) $5^{200}$ і $4^{300}$.
Розв'язок:
1) $8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$; $64^7 = (2^6)^7 = 2^{42}$;
$2^{48} \gt 2^{42}$, отже, $8^{16} \gt 64^7$;
2) $16^8 = (2^4)^8 = 2^{32}$; $8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$;
$2^{32} \lt 2^{48}$, отже, $16^8 \lt 8^{16}$;
3) $49^8 = (7^2)^8 = 7^{16}$, отже, $7^{16} = 49^8$;
4) $5^{200} = (5^2)^{100} = 25^{100}$;
$4^{300} = (4^3)^{100} = 64^{100}$;
$25^{100} \lt 64^{100}$, отже, $5^{200} \lt 4^{300}$.
Відповідь: 1) $8^{16} \gt 64^7$;
2) $16^8 \lt 8^{16}$;
3) $7^{16} = 49^8$;
4) $5^{200} \lt 4^{300}$.
312. Чи ділиться число $10^{18} + 7$ на 9?
Розв'язок:
$10^{18}$ – це одиниця з 18 нулями, тому число $10^{18} + 7$ записується одиницею, 17 нулями і цифрою 7. Сума його цифр: $1 + 7 = 8$. Число $8$ не ділиться на 9, тому й число $10^{18} + 7$ не ділиться на 9.
Відповідь: ні.
313. Доведіть, що число $10^{19} + 2$ ділиться на 3.
Розв'язок:
$10^{19}$ – це одиниця з 19 нулями, тому число $10^{19} + 2$ записується одиницею, 18 нулями і цифрою 2. Сума його цифр: $1 + 2 = 3$ – ділиться на 3. Отже, і число $10^{19} + 2$ ділиться на 3.
314. Якою цифрою закінчується сума $12^7 + 10^{11} + 107^3$?
Розв'язок:
Остання цифра степеня залежить лише від останньої цифри основи.
$12^7$ закінчується тією самою цифрою, що й $2^7 = 128$, тобто цифрою 8.
$10^{11}$ закінчується цифрою 0.
$107^3$ закінчується тією самою цифрою, що й $7^3 = 343$, тобто цифрою 3.
$8 + 0 + 3 = 11$, отже, сума закінчується цифрою 1.
Відповідь: 1.
315. Якою цифрою закінчується сума $15^7 + 26^9 + 11^8$?
Розв'язок:
Будь-який натуральний степінь числа, що закінчується цифрою 5, закінчується цифрою 5; цифрою 6 – цифрою 6; цифрою 1 – цифрою 1.
Отже, $15^7$ закінчується цифрою 5, $26^9$ – цифрою 6, $11^8$ – цифрою 1.
$5 + 6 + 1 = 12$, отже, сума закінчується цифрою 2.
Відповідь: 2.
316. Чи є тотожними вирази:
1) $(-x)^2$ і $x^2$;
2) $-x^2$ і $(-x)^2$;
3) $(-x)^3$ і $x^3$;
4) $-x^3$ і $(-x)^3$?
Розв'язок:
1) $(-x)^2 = x^2$ – так, тотожні;
2) $(-x)^2 = x^2$; при $x = 1$: $-x^2 = -1$, а $(-x)^2 = 1$ – ні, не тотожні;
3) $(-x)^3 = -x^3$; при $x = 1$: $(-x)^3 = -1$, а $x^3 = 1$ – ні, не тотожні;
4) $(-x)^3 = -x^3$ – так, тотожні.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) ні;
4) так.
317. Виконуючи завдання на перетворення виразів, що містять степені, учень припустився помилок:
1) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 4^5$;
2) $(-4)^2 = -4 \cdot 4 = -16$;
3) $8^1 = 1$;
4) $0^4 = 4$;
5) $a^7 \cdot a^3 = a^{21}$;
6) $2^3 \cdot 2^5 = 4^8$;
7) $3^2 + 3^8 = 3^{10}$;
8) $5^{10} : 5^2 = 5^5$;
9) $a^5b^5 = (ab)^{25}$;
10) $(2a)^3 = 2a^3$;
11) $(b^3)^2 = b^9$;
12) $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2 = (a^6)^5 = a^{30}$.
Поясніть, яких означень, властивостей або правил не знає учень. Виконайте приклади правильно.
Розв'язок:
1) Не знає означення степеня: основа – це множник, а показник – кількість однакових множників.
$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
2) Не знає означення степеня: множником двічі береться все число $-4$.
$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$.
3) Не знає, що перший степінь числа дорівнює самому числу.
$8^1 = 8$.
4) Не знає, що будь-який натуральний степінь нуля дорівнює нулю.
$0^4 = 0$.
5) Не знає, що під час множення степенів з однаковими основами показники додають.
$a^7 \cdot a^3 = a^{7+3} = a^{10}$.
6) Не знає, що під час множення степенів з однаковими основами основу залишають тією самою.
$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
7) Застосував властивість множення степенів до суми; для суми степенів такої властивості немає.
$3^2 + 3^8 = 9 + 6561 = 6570$.
8) Не знає, що під час ділення степенів з однаковими основами показники віднімають.
$5^{10} : 5^2 = 5^{10-2} = 5^8$.
9) Не знає властивості степеня добутку: $(ab)^n = a^nb^n$.
$a^5b^5 = (ab)^5$.
10) Не знає властивості степеня добутку: до степеня підносять кожен множник.
$(2a)^3 = 2^3a^3 = 8a^3$.
11) Не знає, що під час піднесення степеня до степеня показники перемножують.
$(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
12) Не знає правил піднесення степеня до степеня й множення степенів.
$(a^2)^3 \cdot (a^4)^2 = a^6 \cdot a^8 = a^{14}$.
318. Розв'яжіть рівняння:
1) $x^2 \cdot x^3 = 0$;
2) $x^7 \cdot x^2 = 1$;
3) $(x^3)^2 = 1$;
4) $x^2 \cdot x^5 = 2^7$;
5) $(x^2)^3 = 0$;
6) $x^6 = 2^{12}$.
Розв'язок:
1) $x^2 \cdot x^3 = 0$
$x^5 = 0$
$x = 0$
2) $x^7 \cdot x^2 = 1$
$x^9 = 1$
$x = 1$
3) $(x^3)^2 = 1$
$x^6 = 1$
$x = 1$ або $x = -1$
4) $x^2 \cdot x^5 = 2^7$
$x^7 = 2^7$
$x = 2$
5) $(x^2)^3 = 0$
$x^6 = 0$
$x = 0$
6) $x^6 = 2^{12}$
$x^6 = (2^2)^6$
$x^6 = 4^6$
$x = 4$ або $x = -4$, бо $(-4)^6 = 4^6$.
У відповідях посібника до 6) вказано лише $4$, але число $-4$ теж є коренем рівняння.
Відповідь: 1) $0$;
2) $1$;
3) $-1$; $1$;
4) $2$;
5) $0$;
6) $-4$; $4$.
319. Розв'яжіть рівняння:
1) $x^3 \cdot x^6 + 1 = 0$;
2) $\frac{x^9 \cdot x^7}{x^8} = 1$;
3) $\frac{(x^2)^3(x^9)^2}{x(x^2)^{11}} = 14$;
4) $(x + 1)^2(x + 1)^3 = 0$;
5) $(x - 7)^3(x - 7) = 1$;
6) $x^8 \cdot x^6 = -1$.
Розв'язок:
1) $x^3 \cdot x^6 + 1 = 0$
$x^9 = -1$
$x = -1$
2) $\frac{x^9 \cdot x^7}{x^8} = 1$, $x \ne 0$
$\frac{x^{16}}{x^8} = 1$
$x^8 = 1$
$x = 1$ або $x = -1$
3) $\frac{(x^2)^3(x^9)^2}{x(x^2)^{11}} = 14$, $x \ne 0$
$\frac{x^6 \cdot x^{18}}{x \cdot x^{22}} = 14$
$\frac{x^{24}}{x^{23}} = 14$
$x = 14$
4) $(x + 1)^2(x + 1)^3 = 0$
$(x + 1)^5 = 0$
$x + 1 = 0$
$x = -1$
5) $(x - 7)^3(x - 7) = 1$
$(x - 7)^4 = 1$
$x - 7 = 1$ або $x - 7 = -1$
$x = 8$ або $x = 6$
6) $x^8 \cdot x^6 = -1$
$x^{14} = -1$
Степінь з парним показником не може бути від'ємним, тому рівняння не має коренів.
Відповідь: 1) $-1$;
2) $-1$; $1$;
3) $14$;
4) $-1$;
5) $6$; $8$;
6) коренів немає.