Сторінка 38
298. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $c^5b^5$;
2) $8m^3n^3$;
3) $-k^7$;
4) $81m^4n^4$;
5) $-\frac{8}{125}a^3$;
6) $\frac{121}{625}a^2c^2$.
Розв'язок:
1) $c^5b^5 = (cb)^5$;
2) $8m^3n^3 = 2^3m^3n^3 = (2mn)^3$;
3) $-k^7 = (-k)^7$;
4) $81m^4n^4 = 3^4m^4n^4 = (3mn)^4$;
5) $-\frac{8}{125}a^3 = \left(-\frac{2}{5}\right)^3a^3 = \left(-\frac{2}{5}a\right)^3$;
6) $\frac{121}{625}a^2c^2 = \left(\frac{11}{25}\right)^2a^2c^2 = \left(\frac{11}{25}ac\right)^2$.
299. Обчисліть значення виразу, використовуючи властивість степеня добутку:
1) $5^2 \cdot 2^2$;
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot 20^3$;
3) $(0{,}5)^4 \cdot 20^4$;
4) $(1{,}2)^5 \cdot \left(1\frac{2}{3}\right)^5$.
Розв'язок:
1) $5^2 \cdot 2^2 = (5 \cdot 2)^2 = 10^2 = 100$;
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot 20^3 = \left(\frac{1}{4} \cdot 20\right)^3 = 5^3 = 125$;
3) $(0{,}5)^4 \cdot 20^4 = (0{,}5 \cdot 20)^4 = 10^4 = 10\,000$;
4) $(1{,}2)^5 \cdot \left(1\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3}\right)^5 = 2^5 = 32$.
300. Знайдіть значення виразу:
1) $0{,}5^7 \cdot 2^7$;
2) $\left(\frac{1}{8}\right)^4 \cdot 16^4$;
3) $\left(1\frac{1}{8}\right)^{10} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{10}$.
Розв'язок:
1) $0{,}5^7 \cdot 2^7 = (0{,}5 \cdot 2)^7 = 1^7 = 1$;
2) $\left(\frac{1}{8}\right)^4 \cdot 16^4 = \left(\frac{1}{8} \cdot 16\right)^4 = 2^4 = 16$;
3) $\left(1\frac{1}{8}\right)^{10} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{10} = \left(\frac{9}{8} \cdot \frac{8}{9}\right)^{10} =$
$= 1^{10} = 1$.
301. Обчисліть:
1) $0{,}2^8 \cdot 5^9$;
2) $\left(1\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^7$;
3) $0{,}25^{16} \cdot 4^{18}$.
Розв'язок:
1) $0{,}2^8 \cdot 5^9 = 0{,}2^8 \cdot 5^8 \cdot 5 = (0{,}2 \cdot 5)^8 \cdot 5 =$
$= 1 \cdot 5 = 5$;
2) $\left(1\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 =$
$= \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}\right)^5 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$;
3) $0{,}25^{16} \cdot 4^{18} = 0{,}25^{16} \cdot 4^{16} \cdot 4^2 =$
$= (0{,}25 \cdot 4)^{16} \cdot 16 = 16$.
302. Обчисліть:
1) $5^{11} \cdot 0{,}2^{10}$;
2) $\left(1\frac{1}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6$;
3) $0{,}4^{17} \cdot 2{,}5^{15}$.
Розв'язок:
1) $5^{11} \cdot 0{,}2^{10} = 5 \cdot 5^{10} \cdot 0{,}2^{10} =$
$= 5 \cdot (5 \cdot 0{,}2)^{10} = 5 \cdot 1 = 5$;
2) $\left(1\frac{1}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 =$
$= \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}\right)^6 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$;
3) $0{,}4^{17} \cdot 2{,}5^{15} = 0{,}4^2 \cdot 0{,}4^{15} \cdot 2{,}5^{15} =$
$= 0{,}16 \cdot (0{,}4 \cdot 2{,}5)^{15} = 0{,}16$.
303. Знайдіть значення змінної, за якого є правильною рівність:
1) $(a^3)^6 = a^{3 \cdot x}$;
2) $(5^6)^8 = 5^{24 \cdot x}$;
3) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{15}$;
4) $\left(\left(\left(\frac{3}{8}\right)^3\right)^x\right)^4 = \left(\frac{3}{8}\right)^{24}$.
Розв'язок:
1) $(a^3)^6 = a^{18}$, тому $3x = 18$, $x = 6$;
2) $(5^6)^8 = 5^{48}$, тому $24x = 48$, $x = 2$;
3) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{5x}$, тому $5x = 15$, $x = 3$;
4) $\left(\left(\left(\frac{3}{8}\right)^3\right)^x\right)^4 = \left(\frac{3}{8}\right)^{12x}$, тому $12x = 24$, $x = 2$.
Відповідь: 1) $x = 6$;
2) $x = 2$;
3) $x = 3$;
4) $x = 2$.
304. Уставте у клітинку степінь з основою $a$ так, щоб утворена рівність була тотожністю:
1) $a^3 \cdot \square^2 = a^7$;
2) $a^6 \cdot \square^2 = a^8$.
Розв'язок:
1) $a^7 : a^3 = a^4 = (a^2)^2$, отже, $a^3 \cdot (a^2)^2 = a^7$;
2) $a^8 : a^6 = a^2$, отже, $a^6 \cdot a^2 = a^8$.
305. Замініть * таким виразом, щоб рівність була тотожністю:
1) $(x \cdot x^5)^2 : * = x^2$;
2) $(x^3)^2 \cdot * = -x^{24}$;
3) $(x^2)^3 \cdot * = x^{14}$;
4) $x^6 \cdot (x \cdot x^2)^2 = * \cdot (-x^4)$.
Розв'язок:
1) $(x \cdot x^5)^2 = (x^6)^2 = x^{12}$; $x^{12} : x^{10} = x^2$, отже, $* = x^{10}$;
2) $(x^3)^2 = x^6$; $x^6 \cdot (-x^{18}) = -x^{24}$, отже, $* = -x^{18}$;
3) $(x^2)^3 = x^6$; $x^6 \cdot x^8 = x^{14}$, отже, $* = x^8$;
4) $x^6 \cdot (x \cdot x^2)^2 = x^6 \cdot x^6 = x^{12}$;
$x^{12} = (-x^8) \cdot (-x^4)$, отже, $* = -x^8$.
306. Подайте вираз:
1) $8^5$; $(16^2)^5$ у вигляді степеня з основою $2$;
2) $4^2$; $((-4)^3)^2$ у вигляді степеня з основою $-2$.
Розв'язок:
1) $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$;
$(16^2)^5 = 16^{10} = (2^4)^{10} = 2^{40}$;
2) $4^2 = ((-2)^2)^2 = (-2)^4$;
$((-4)^3)^2 = (-4)^6 = 4^6 =$
$= ((-2)^2)^6 = (-2)^{12}$.
307. Знайдіть значення виразу, використовуючи властивості степенів:
1) $\frac{9^4}{3^7}$;
2) $\frac{8^5}{4^6}$;
3) $\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^2}$;
4) $\frac{(4^2)^3 \cdot 8}{(2^3)^4}$;
5) $\frac{25^4 \cdot 125^{10}}{5^{36}}$;
6) $\frac{10^2 \cdot 100^7}{1000^5}$.
Розв'язок:
1) $\frac{9^4}{3^7} = \frac{(3^2)^4}{3^7} = \frac{3^8}{3^7} = 3$;
2) $\frac{8^5}{4^6} = \frac{(2^3)^5}{(2^2)^6} = \frac{2^{15}}{2^{12}} = 2^3 = 8$;
3) $\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^2)^4}{(3^4)^2} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^8} =$
$= 3^6 = 729$;
4) $\frac{(4^2)^3 \cdot 8}{(2^3)^4} = \frac{(2^4)^3 \cdot 2^3}{2^{12}} = \frac{2^{12} \cdot 2^3}{2^{12}} = 2^3 = 8$;
5) $\frac{25^4 \cdot 125^{10}}{5^{36}} = \frac{(5^2)^4 \cdot (5^3)^{10}}{5^{36}} = \frac{5^8 \cdot 5^{30}}{5^{36}} =$
$= \frac{5^{38}}{5^{36}} = 5^2 = 25$;
6) $\frac{10^2 \cdot 100^7}{1000^5} = \frac{10^2 \cdot (10^2)^7}{(10^3)^5} = \frac{10^2 \cdot 10^{14}}{10^{15}} =$
$= \frac{10^{16}}{10^{15}} = 10$.