Сторінка 37
288. Подайте вираз у вигляді степеня:
1) $(x^3)^2 \cdot x^8$;
2) $((a^3)^2)^3$;
3) $(b^{10})^3 : (b^3)^5$;
4) $(a^3)^5 \cdot (a^4)^2$;
5) $(7^4)^5 : (7^3)^2$;
6) $(-3)^5 : ((-3)^2)^2$.
Розв'язок:
1) $(x^3)^2 \cdot x^8 = x^6 \cdot x^8 = x^{14}$;
2) $((a^3)^2)^3 = (a^6)^3 = a^{18}$;
3) $(b^{10})^3 : (b^3)^5 = b^{30} : b^{15} = b^{15}$;
4) $(a^3)^5 \cdot (a^4)^2 = a^{15} \cdot a^8 = a^{23}$;
5) $(7^4)^5 : (7^3)^2 = 7^{20} : 7^6 = 7^{14}$;
6) $(-3)^5 : ((-3)^2)^2 =$
$= (-3)^5 : (-3)^4 = (-3)^1$.
289. Подайте вираз у вигляді степеня:
1) $(a^3)^6$;
2) $(-b^7)^3$;
3) $(-m^2)^6$;
4) $(c^7)^3 : c^{15}$;
5) $((x^5)^4)^2$;
6) $(m^3)^4 \cdot (m^2)^6$.
Розв'язок:
1) $(a^3)^6 = a^{18}$;
2) $(-b^7)^3 = -(b^7)^3 = -b^{21}$;
3) $(-m^2)^6 = (m^2)^6 = m^{12}$;
4) $(c^7)^3 : c^{15} = c^{21} : c^{15} = c^6$;
5) $((x^5)^4)^2 = (x^{20})^2 = x^{40}$;
6) $(m^3)^4 \cdot (m^2)^6 = m^{12} \cdot m^{12} = m^{24}$.
290. Знайдіть значення змінної, за якого є правильною рівність:
1) $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+x}$;
2) $3^5 \cdot 3^2 = 3^{1+x}$;
3) $4^x \cdot 4^5 = 4^8$.
Розв'язок:
1) $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$, тому $5 + x = 8$, $x = 3$;
2) $3^5 \cdot 3^2 = 3^7$, тому $1 + x = 7$, $x = 6$;
3) $4^x \cdot 4^5 = 4^{x+5}$, тому $x + 5 = 8$, $x = 3$.
Відповідь: 1) $x = 3$;
2) $x = 6$;
3) $x = 3$.
291. Уставте у клітинку степінь з основою $a$ так, щоб утворена рівність була тотожністю:
1) $a^2 \cdot \square = a^5$;
2) $a^{14} \cdot \square \cdot a = a^{17}$;
3) $a^3 \cdot \square = a^8$;
4) $a^9 \cdot a \cdot \square = a^{11}$.
Розв'язок:
1) $5 - 2 = 3$: $a^2 \cdot a^3 = a^5$;
2) $17 - 14 - 1 = 2$: $a^{14} \cdot a^2 \cdot a = a^{17}$;
3) $8 - 3 = 5$: $a^3 \cdot a^5 = a^8$;
4) $11 - 9 - 1 = 1$: $a^9 \cdot a \cdot a = a^{11}$.
292. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
1) $128 : 2^3$;
2) $81 : 3^3 \cdot 27$;
3) $\frac{125 \cdot 5^2}{5 \cdot 25}$.
Розв'язок:
1) $128 : 2^3 = 2^7 : 2^3 = 2^4 = 16$;
2) $81 : 3^3 \cdot 27 = 3^4 : 3^3 \cdot 3^3 =$
$= 3^{4-3+3} = 3^4 = 81$;
3) $\frac{125 \cdot 5^2}{5 \cdot 25} = \frac{5^3 \cdot 5^2}{5 \cdot 5^2} = \frac{5^5}{5^3} = 5^2 = 25$.
293. Знайдіть значення змінної, за якого є правильною рівність:
1) $1{,}7^3 : 1{,}7 = 1{,}7^{14-x}$;
2) $5^7 : 5^2 = 5^x$;
3) $4^{10} : 4^x = 4^6$.
Розв'язок:
1) $1{,}7^3 : 1{,}7 = 1{,}7^2$, тому $14 - x = 2$, $x = 12$;
2) $5^7 : 5^2 = 5^5$, тому $x = 5$;
3) $4^{10} : 4^x = 4^{10-x}$, тому $10 - x = 6$, $x = 4$.
Відповідь: 1) $x = 12$;
2) $x = 5$;
3) $x = 4$.
294. Уставте у клітинку степінь з основою $b$ так, щоб утворена рівність була тотожністю:
1) $b^9 : \square = b^4$;
2) $b^{30} : \square = b^9$;
3) $\square : b^7 = b^5$;
4) $b^{10} : \square = b^9$;
5) $b^7 : \square \cdot b^5 = b^9$;
6) $b^{10} : \square : b^7 = b$.
Розв'язок:
1) $9 - 4 = 5$: $b^9 : b^5 = b^4$;
2) $30 - 9 = 21$: $b^{30} : b^{21} = b^9$;
3) $5 + 7 = 12$: $b^{12} : b^7 = b^5$;
4) $10 - 9 = 1$: $b^{10} : b = b^9$;
5) $7 + 5 - 9 = 3$: $b^7 : b^3 \cdot b^5 = b^9$;
6) $10 - 7 - 1 = 2$: $b^{10} : b^2 : b^7 = b$.
295. Подайте у вигляді степеня вираз ($n$ – натуральне число):
1) $x^3 \cdot x^n$;
2) $x^{10} : x^n$, $n \lt 10$;
3) $x^n : (x^5 \cdot x^8)$, $n \gt 13$;
4) $x^{5n} : x^{3n} \cdot x^{2n+1}$;
5) $(x^5 \cdot x^{3n}) : (x^{2n} \cdot x^4)$;
6) $(x^{10} : x^{2n})(x^8 : x^n)$, $n \lt 5$.
Розв'язок:
1) $x^3 \cdot x^n = x^{3+n}$;
2) $x^{10} : x^n = x^{10-n}$;
3) $x^n : (x^5 \cdot x^8) = x^n : x^{13} = x^{n-13}$;
4) $x^{5n} : x^{3n} \cdot x^{2n+1} = x^{5n-3n+2n+1} =$
$= x^{4n+1}$;
5) $(x^5 \cdot x^{3n}) : (x^{2n} \cdot x^4) = x^{3n+5} : x^{2n+4} =$
$= x^{n+1}$;
6) $(x^{10} : x^{2n})(x^8 : x^n) = x^{10-2n} \cdot x^{8-n} =$
$= x^{18-3n}$.
296. Подайте праву частину рівності у вигляді відповідного степеня та знайдіть значення змінної, за якого ця рівність є правильною:
1) $2^x = 4$;
2) $3^x = 27$;
3) $7^x = 7$;
4) $10^y = 100$;
5) $(0{,}1)^y = 0{,}01$;
6) $2^y = 32$;
7) $3^z = 81$;
8) $\left(\frac{3}{5}\right)^z = \frac{9}{25}$;
9) $\left(\frac{2}{3}\right)^z = \frac{16}{81}$.
Розв'язок:
1) $2^x = 2^2$, $x = 2$;
2) $3^x = 3^3$, $x = 3$;
3) $7^x = 7^1$, $x = 1$;
4) $10^y = 10^2$, $y = 2$;
5) $(0{,}1)^y = (0{,}1)^2$, $y = 2$;
6) $2^y = 2^5$, $y = 5$;
7) $3^z = 3^4$, $z = 4$;
8) $\left(\frac{3}{5}\right)^z = \left(\frac{3}{5}\right)^2$, $z = 2$;
9) $\left(\frac{2}{3}\right)^z = \left(\frac{2}{3}\right)^4$, $z = 4$.
Відповідь: 1) $x = 2$;
2) $x = 3$;
3) $x = 1$;
4) $y = 2$;
5) $y = 2$;
6) $y = 5$;
7) $z = 4$;
8) $z = 2$;
9) $z = 4$.
297. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $m^4n^4$;
2) $36c^2a^2$;
3) $0{,}001m^3n^3$;
4) $-x^3$;
5) $-8m^3$;
6) $-32a^5b^5$;
7) $-x^7y^7z^7$;
8) $0{,}027a^3b^3m^3$;
9) $-\frac{27}{64}p^3q^3$.
Розв'язок:
1) $m^4n^4 = (mn)^4$;
2) $36c^2a^2 = 6^2c^2a^2 = (6ca)^2$;
3) $0{,}001m^3n^3 = 0{,}1^3m^3n^3 = (0{,}1mn)^3$;
4) $-x^3 = (-x)^3$;
5) $-8m^3 = (-2)^3m^3 = (-2m)^3$;
6) $-32a^5b^5 = (-2)^5a^5b^5 = (-2ab)^5$;
7) $-x^7y^7z^7 = (-xyz)^7$;
8) $0{,}027a^3b^3m^3 = 0{,}3^3a^3b^3m^3 = (0{,}3abm)^3$;
9) $-\frac{27}{64}p^3q^3 = \left(-\frac{3}{4}\right)^3p^3q^3 = \left(-\frac{3}{4}pq\right)^3$.