Сторінка 35
270. Розв'яжіть рівняння:
1) $17x^9 = 0$;
2) $4(x - 2)^5 = 0$;
3) $5x^2 - 5 = 0$;
4) $\frac{9x^7 - 9}{7} = 0$;
5) $(2x - 5)^4 = 1$;
6) $(5x + 7)^3 + 1 = 0$;
7) $\frac{(x + 2)^2}{5} + 0{,}2 = 0$;
8) $(x^2 - 1)^2 = 0$.
Розв'язок:
1) $17x^9 = 0$
$x^9 = 0$
$x = 0$
2) $4(x - 2)^5 = 0$
$(x - 2)^5 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$
3) $5x^2 - 5 = 0$
$5x^2 = 5$
$x^2 = 1$
$x = 1$ або $x = -1$
4) $\frac{9x^7 - 9}{7} = 0$
$9x^7 - 9 = 0$
$9x^7 = 9$
$x^7 = 1$
$x = 1$
5) $(2x - 5)^4 = 1$
$2x - 5 = 1$ або $2x - 5 = -1$
$2x = 6$ або $2x = 4$
$x = 3$ або $x = 2$
6) $(5x + 7)^3 + 1 = 0$
$(5x + 7)^3 = -1$
$5x + 7 = -1$
$5x = -8$
$x = -1{,}6$
7) $\frac{(x + 2)^2}{5} + 0{,}2 = 0$
$\frac{(x + 2)^2}{5} = -0{,}2$
$(x + 2)^2 = -1$
Квадрат числа не може бути від'ємним, тому рівняння не має коренів.
8) $(x^2 - 1)^2 = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ або $x = -1$
Відповідь: 1) $0$;
2) $2$;
3) $-1$; $1$;
4) $1$;
5) $2$; $3$;
6) $-1{,}6$;
7) коренів немає;
8) $-1$; $1$.
271. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $a^5a^7$;
2) $b^3b^{11}$;
3) $y^7y$;
4) $2^{10} \cdot 2^{11}$;
5) $7 \cdot 7^{13}$;
6) $xx^{14}$.
Розв'язок:
1) $a^5a^7 = a^{5+7} = a^{12}$;
2) $b^3b^{11} = b^{3+11} = b^{14}$;
3) $y^7y = y^{7+1} = y^8$;
4) $2^{10} \cdot 2^{11} = 2^{10+11} = 2^{21}$;
5) $7 \cdot 7^{13} = 7^{1+13} = 7^{14}$;
6) $xx^{14} = x^{1+14} = x^{15}$.
272. Запишіть добуток у вигляді степеня:
1) $m^3m^7$;
2) $c^5c^{15}$;
3) $bb^3$;
4) $5^8 \cdot 5^7$;
5) $8^{12} \cdot 8$;
6) $y^8y$.
Розв'язок:
1) $m^3m^7 = m^{3+7} = m^{10}$;
2) $c^5c^{15} = c^{5+15} = c^{20}$;
3) $bb^3 = b^{1+3} = b^4$;
4) $5^8 \cdot 5^7 = 5^{8+7} = 5^{15}$;
5) $8^{12} \cdot 8 = 8^{12+1} = 8^{13}$;
6) $y^8y = y^{8+1} = y^9$.
273. Подайте вираз $b^{14}$ у вигляді добутку двох степенів з однаковими основами, якщо один з множників дорівнює:
1) $b^6$;
2) $b^{13}$;
3) $b^2$;
4) $b$.
Розв'язок:
Показник другого множника дорівнює $14$ мінус показник першого.
1) $b^{14} = b^6 \cdot b^8$;
2) $b^{14} = b^{13} \cdot b$;
3) $b^{14} = b^2 \cdot b^{12}$;
4) $b^{14} = b \cdot b^{13}$.
274. Подайте степінь у вигляді добутку двох степенів з однаковими основами будь-яким способом:
1) $y^8$;
2) $c^{10}$;
3) $3^{14}$;
4) $5^{19}$.
Розв'язок:
Наприклад:
1) $y^8 = y^3 \cdot y^5$;
2) $c^{10} = c^4 \cdot c^6$;
3) $3^{14} = 3^7 \cdot 3^7$;
4) $5^{19} = 5^{10} \cdot 5^9$.
275. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $(-7)^2 \cdot (-7)^3 \cdot (-7)^4$;
2) $xx^9x^{17}$;
3) $aaaa^7$;
4) $(a - b)(a - b)^3$;
5) $4^{15} \cdot 4 \cdot 4^{10}$;
6) $\left(2\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3$.
Розв'язок:
1) $(-7)^2 \cdot (-7)^3 \cdot (-7)^4 =$
$= (-7)^{2+3+4} = (-7)^9$;
2) $xx^9x^{17} = x^{1+9+17} = x^{27}$;
3) $aaaa^7 = a^{1+1+1+7} = a^{10}$;
4) $(a - b)(a - b)^3 = (a - b)^{1+3} = (a - b)^4$;
5) $4^{15} \cdot 4 \cdot 4^{10} = 4^{15+1+10} = 4^{26}$;
6) $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, тому
$\left(2\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3 =$
$= \left(\frac{5}{2}\right)^{2+3} = \left(\frac{5}{2}\right)^5$.
276. Запишіть добуток у вигляді степеня:
1) $14^5 \cdot 14 \cdot 14^8$;
2) $(x + y)^7(x + y)(x + y)^4$;
3) $mmm^2m$;
4) $\left(1\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2$.
Розв'язок:
1) $14^5 \cdot 14 \cdot 14^8 = 14^{5+1+8} = 14^{14}$;
2) $(x + y)^7(x + y)(x + y)^4 =$
$= (x + y)^{7+1+4} = (x + y)^{12}$;
3) $mmm^2m = m^{1+1+2+1} = m^5$;
4) $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, тому
$\left(1\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 =$
$= \left(\frac{3}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{3}{2}\right)^5$.
277. Обчисліть значення виразу, використовуючи властивості степенів і таблицю степенів чисел 2 і 3 (див. вправу 246):
1) $2^2 \cdot 2^3$;
2) $3^2 \cdot 9 \cdot 3^3$;
3) $2 \cdot 2^3 \cdot 2^3$;
4) $27 \cdot 3^2 \cdot 81$;
5) $\left(-\frac{16}{2^2}\right)^3$;
6) $\left(\frac{9}{3^1}\right)^8$.
Розв'язок:
1) $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$;
2) $3^2 \cdot 9 \cdot 3^3 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3 =$
$= 3^{2+2+3} = 3^7 = 2187$;
3) $2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{1+3+3} = 2^7 = 128$;
4) $27 \cdot 3^2 \cdot 81 = 3^3 \cdot 3^2 \cdot 3^4 =$
$= 3^{3+2+4} = 3^9 = 19\,683$;
5) $\left(-\frac{16}{2^2}\right)^3 = \left(-\frac{16}{4}\right)^3 = (-4)^3 = -64$;
6) $\left(\frac{9}{3^1}\right)^8 = \left(\frac{9}{3}\right)^8 = 3^8 = 6561$.
278. Подайте частку у вигляді степеня:
1) $a^7 : a^3$;
2) $x^{10} : x^5$;
3) $c^7 : c$;
4) $y^5 : y^4$;
5) $(x - y)^{10} : (x - y)^8$;
6) $(0{,}2)^{10} : (0{,}2)^6$.
Розв'язок:
1) $a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4$;
2) $x^{10} : x^5 = x^{10-5} = x^5$;
3) $c^7 : c = c^{7-1} = c^6$;
4) $y^5 : y^4 = y^{5-4} = y$;
5) $(x - y)^{10} : (x - y)^8 =$
$= (x - y)^{10-8} = (x - y)^2$;
6) $(0{,}2)^{10} : (0{,}2)^6 = (0{,}2)^{10-6} = (0{,}2)^4$.
279. Виконайте ділення:
1) $c^{10} : c^6$;
2) $a^5 : a$;
3) $x^{19} : x^{18}$;
4) $10^{12} : 10^8$;
5) $(a + b)^8 : (a + b)^3$;
6) $2{,}5^{12} : 2{,}5^{10}$.
Розв'язок:
1) $c^{10} : c^6 = c^{10-6} = c^4$;
2) $a^5 : a = a^{5-1} = a^4$;
3) $x^{19} : x^{18} = x^{19-18} = x$;
4) $10^{12} : 10^8 = 10^{12-8} = 10^4 = 10\,000$;
5) $(a + b)^8 : (a + b)^3 =$
$= (a + b)^{8-3} = (a + b)^5$;
6) $2{,}5^{12} : 2{,}5^{10} = 2{,}5^{12-10} = 2{,}5^2 = 6{,}25$.