Сторінка 34
261. Знайдіть значення виразу:
1) $x^2 - y^2$, якщо $x = -6$, $y = -8$;
2) $(x - y)^3$, якщо $x = 0{,}2$, $y = -0{,}3$;
3) $a^2m^3$, якщо $a = 1\frac{1}{2}$, $m = -1\frac{1}{3}$.
Розв'язок:
1) $(-6)^2 - (-8)^2 = 36 - 64 = -28$;
2) $(0{,}2 - (-0{,}3))^3 = 0{,}5^3 = 0{,}125$;
3) $\left(1\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^3 =$
$= \frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{64}{27}\right) = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.
262. Знайдіть значення виразу:
1) $0{,}01y^4$, якщо $y = 5; -2; 10$;
2) $3c^2 + 2$, якщо $c = -1; 0; 2; 10$;
3) $7x^3 - x^2$, якщо $x = 0; -1; 2$;
4) $(x + y)^3$, якщо $x = -7$, $y = 6{,}2$;
5) $a^3 - b^3$, якщо $a = -1$, $b = -5$;
6) $x^2y$, якщо $x = -2{,}5$, $y = 6$.
Розв'язок:
1) Якщо $y = 5$, то $0{,}01 \cdot 5^4 = 0{,}01 \cdot 625 = 6{,}25$;
якщо $y = -2$, то $0{,}01 \cdot (-2)^4 = 0{,}01 \cdot 16 = 0{,}16$;
якщо $y = 10$, то $0{,}01 \cdot 10^4 = 0{,}01 \cdot 10\,000 = 100$.
2) Якщо $c = -1$, то $3 \cdot (-1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5$;
якщо $c = 0$, то $3 \cdot 0^2 + 2 = 2$;
якщо $c = 2$, то $3 \cdot 2^2 + 2 = 12 + 2 = 14$;
якщо $c = 10$, то $3 \cdot 10^2 + 2 = 300 + 2 = 302$.
3) Якщо $x = 0$, то $7 \cdot 0^3 - 0^2 = 0$;
якщо $x = -1$, то $7 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 = -7 - 1 = -8$;
якщо $x = 2$, то $7 \cdot 2^3 - 2^2 = 56 - 4 = 52$.
4) $(-7 + 6{,}2)^3 = (-0{,}8)^3 = -0{,}512$;
5) $(-1)^3 - (-5)^3 = -1 - (-125) =$
$= -1 + 125 = 124$;
6) $(-2{,}5)^2 \cdot 6 = 6{,}25 \cdot 6 = 37{,}5$.
263. Не виконуючи обчислень, порівняйте числа:
1) $-3^2$ і $(-3)^2$;
2) $(-6)^3$ і $(-5)^2$;
3) $(-2)^8$ і $2^8$;
4) $-2^3$ і $(-2)^3$.
Розв'язок:
1) $-3^2 \lt 0$, $(-3)^2 \gt 0$, тому $-3^2 \lt (-3)^2$;
2) $(-6)^3 \lt 0$ (непарний показник), $(-5)^2 \gt 0$, тому $(-6)^3 \lt (-5)^2$;
3) показник парний, тому $(-2)^8 = 2^8$;
4) показник непарний, тому $(-2)^3 = -2^3$, тобто $-2^3 = (-2)^3$.
264. Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразу з нулем:
1) $(-2{,}1)^{13} \cdot (-4{,}2)^2$;
2) $(-4{,}2)^3 : (-4{,}21)$;
3) $-2{,}5^2 \cdot (-1{,}8)^4$;
4) $-(-2{,}4)^4 \cdot (-6{,}2)^5$.
Розв'язок:
1) $(-2{,}1)^{13} \lt 0$, $(-4{,}2)^2 \gt 0$, тому $(-2{,}1)^{13} \cdot (-4{,}2)^2 \lt 0$;
2) $(-4{,}2)^3 \lt 0$, $-4{,}21 \lt 0$, тому $(-4{,}2)^3 : (-4{,}21) \gt 0$;
3) $-2{,}5^2 \lt 0$, $(-1{,}8)^4 \gt 0$, тому $-2{,}5^2 \cdot (-1{,}8)^4 \lt 0$;
4) $-(-2{,}4)^4 \lt 0$, $(-6{,}2)^5 \lt 0$, тому $-(-2{,}4)^4 \cdot (-6{,}2)^5 \gt 0$.
265. Порівняйте значення виразів:
1) $-a^2$ і $(-a)^2$, якщо $a = 4; -2; 0$;
2) $-a^3$ і $(-a)^3$, якщо $a = -5; 3; 0$.
Розв'язок:
1) Якщо $a = 4$, то $-4^2 = -16$, $(-4)^2 = 16$, $-16 \lt 16$;
якщо $a = -2$, то $-(-2)^2 = -4$, $(-(-2))^2 = 2^2 = 4$, $-4 \lt 4$;
якщо $a = 0$, то $-0^2 = 0$, $(-0)^2 = 0$, значення рівні.
2) Якщо $a = -5$, то $-(-5)^3 = 125$, $(-(-5))^3 = 5^3 = 125$, значення рівні;
якщо $a = 3$, то $-3^3 = -27$, $(-3)^3 = -27$, значення рівні;
якщо $a = 0$, то $-0^3 = 0$, $(-0)^3 = 0$, значення рівні.
266. Поставте замість … такий із знаків $\gt$, $\lt$, $\ge$, $\le$, при якому отримана нерівність буде правильною за будь-якого значення змінних:
1) $x^2 \ldots 0$;
2) $-a^2 \ldots 0$;
3) $b^2 + 4 \ldots 0$;
4) $-m^2 - 1 \ldots 0$;
5) $(y + 2)^2 \ldots 0$;
6) $x^2 + a^2 \ldots 0$;
7) $a^2 + b^2 + 5 \ldots 0$;
8) $(m - n)^2 \ldots 0$;
9) $-7(x + y)^2 \ldots 0$.
Розв'язок:
Квадрат будь-якого числа – число невід'ємне.
1) $x^2 \ge 0$;
2) $-a^2 \le 0$;
3) $b^2 + 4 \gt 0$;
4) $-m^2 - 1 \lt 0$;
5) $(y + 2)^2 \ge 0$;
6) $x^2 + a^2 \ge 0$;
7) $a^2 + b^2 + 5 \gt 0$;
8) $(m - n)^2 \ge 0$;
9) $-7(x + y)^2 \le 0$.
267. Якого найменшого значення може набувати вираз:
1) $x^2 + 3$;
2) $5 + (x - 2)^2$;
3) $(7 - x)^4 + 14$;
4) $(x - 8)^6 - 10$?
Розв'язок:
1) $x^2 \ge 0$, тому $x^2 + 3 \ge 3$; найменше значення $3$ (якщо $x = 0$);
2) $(x - 2)^2 \ge 0$, тому $5 + (x - 2)^2 \ge 5$; найменше значення $5$ (якщо $x = 2$);
3) $(7 - x)^4 \ge 0$, тому $(7 - x)^4 + 14 \ge 14$; найменше значення $14$ (якщо $x = 7$);
4) $(x - 8)^6 \ge 0$, тому $(x - 8)^6 - 10 \ge -10$; найменше значення $-10$ (якщо $x = 8$).
Відповідь: 1) $3$;
2) $5$;
3) $14$;
4) $-10$.
268. Якого найбільшого значення може набувати вираз:
1) $-x^2 + 2$;
2) $4 - (x + 7)^2$;
3) $-(x - 2)^4 + 4$;
4) $-(x - 8)^{10} - 5$?
Розв'язок:
1) $-x^2 \le 0$, тому $-x^2 + 2 \le 2$; найбільше значення $2$ (якщо $x = 0$);
2) $-(x + 7)^2 \le 0$, тому $4 - (x + 7)^2 \le 4$; найбільше значення $4$ (якщо $x = -7$);
3) $-(x - 2)^4 \le 0$, тому $-(x - 2)^4 + 4 \le 4$; найбільше значення $4$ (якщо $x = 2$);
4) $-(x - 8)^{10} \le 0$, тому $-(x - 8)^{10} - 5 \le -5$; найбільше значення $-5$ (якщо $x = 8$).
Відповідь: 1) $2$;
2) $4$;
3) $4$;
4) $-5$.
269. Розв'яжіть рівняння:
1) $x^7 = 0$;
2) $x^8 = 0$;
3) $(x - 4)^5 = 0$;
4) $5(x + 3)^2 = 0$;
5) $(4x + 3)^9 = 0$;
6) $x^7 = 1$;
7) $x^{10} = 1$;
8) $(x - 4)^2 = 1$;
9) $(2x - 3)^5 = 1$;
10) $x^8 + 1 = 0$;
11) $(x + 1)^{10} + 1 = 0$;
12) $(x + 2)^7 + 1 = 0$.
Розв'язок:
1) $x^7 = 0$
$x = 0$
2) $x^8 = 0$
$x = 0$
3) $(x - 4)^5 = 0$
$x - 4 = 0$
$x = 4$
4) $5(x + 3)^2 = 0$
$(x + 3)^2 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = -3$
5) $(4x + 3)^9 = 0$
$4x + 3 = 0$
$4x = -3$
$x = -0{,}75$
6) $x^7 = 1$
$x = 1$
7) $x^{10} = 1$
$x = 1$ або $x = -1$
8) $(x - 4)^2 = 1$
$x - 4 = 1$ або $x - 4 = -1$
$x = 5$ або $x = 3$
9) $(2x - 3)^5 = 1$
$2x - 3 = 1$
$2x = 4$
$x = 2$
10) $x^8 + 1 = 0$
$x^8 = -1$
Степінь з парним показником не може бути від'ємним, тому рівняння не має коренів.
11) $(x + 1)^{10} + 1 = 0$
$(x + 1)^{10} = -1$
Степінь з парним показником не може бути від'ємним, тому рівняння не має коренів.
12) $(x + 2)^7 + 1 = 0$
$(x + 2)^7 = -1$
$x + 2 = -1$
$x = -3$
Відповідь: 1) $0$;
2) $0$;
3) $4$;
4) $-3$;
5) $-0{,}75$;
6) $1$;
7) $-1$; $1$;
8) $3$; $5$;
9) $2$;
10) коренів немає;
11) коренів немає;
12) $-3$.