Сторінка 31
237. Доведіть, що рівність не є тотожністю:
1) $(x - 2)^2 = x^2 - 4$;
2) $(a + 1)(a - 1) = (a + 1)a - 1$;
3) $(x + y)^2 = x^2 + y^2$;
4) $(m + 1)^3 = m^3 + 1$.
Розв'язок:
Щоб довести, що рівність не є тотожністю, достатньо знайти хоча б одне значення змінних, за якого значення лівої і правої частин різні.
1) Якщо $x = 0$, то $(0 - 2)^2 = 4$, а $0^2 - 4 = -4$;
$4 \ne -4$, отже, рівність не є тотожністю.
2) Якщо $a = 1$, то $(1 + 1)(1 - 1) = 0$, а $(1 + 1) \cdot 1 - 1 = 1$;
$0 \ne 1$, отже, рівність не є тотожністю.
3) Якщо $x = 1$, $y = 1$, то $(1 + 1)^2 = 4$, а $1^2 + 1^2 = 2$;
$4 \ne 2$, отже, рівність не є тотожністю.
4) Якщо $m = 1$, то $(1 + 1)^3 = 8$, а $1^3 + 1 = 2$;
$8 \ne 2$, отже, рівність не є тотожністю.
238. Доведіть, що рівність не є тотожністю:
1) $(a + 1)^2 = a^2 + 1$;
2) $(p - 2)(p + 2) = (p - 2)p + 2$;
3) $(a - b)^2 = a^2 - b^2$;
4) $(c - 1)^3 = c^3 - 1$.
Розв'язок:
1) Якщо $a = 1$, то $(1 + 1)^2 = 4$, а $1^2 + 1 = 2$;
$4 \ne 2$, отже, рівність не є тотожністю.
2) Якщо $p = 0$, то $(0 - 2)(0 + 2) = -4$, а $(0 - 2) \cdot 0 + 2 = 2$;
$-4 \ne 2$, отже, рівність не є тотожністю.
3) Якщо $a = 0$, $b = 1$, то $(0 - 1)^2 = 1$, а $0^2 - 1^2 = -1$;
$1 \ne -1$, отже, рівність не є тотожністю.
4) Якщо $c = 2$, то $(2 - 1)^3 = 1$, а $2^3 - 1 = 7$;
$1 \ne 7$, отже, рівність не є тотожністю.
239. Назвіть основу та показник степеня:
1) $0{,}5^7$;
2) $(-8)^4$;
3) $(ab)^4$;
4) $(c + d)^9$;
5) $\left(\frac{1}{4}a^2b\right)^2$;
6) $(a^2 - b^2)^4$.
Розв'язок:
1) основа $0{,}5$, показник $7$;
2) основа $-8$, показник $4$;
3) основа $ab$, показник $4$;
4) основа $c + d$, показник $9$;
5) основа $\frac{1}{4}a^2b$, показник $2$;
6) основа $a^2 - b^2$, показник $4$.
240. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $0{,}4 \cdot 0{,}4$;
2) $-5 \cdot (-5) \cdot (-5)$;
3) $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7}$;
4) $-\frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)$;
5) $aaaa$;
6) $(xy) \cdot (xy) \cdot (xy)$;
7) $\underbrace{t \cdot t \cdot \ldots \cdot t}_{30\text{ множників}}$;
8) $(a - b)(a - b)$.
Розв'язок:
1) $0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}4^2$;
2) $-5 \cdot (-5) \cdot (-5) = (-5)^3$;
3) $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \left(\frac{1}{7}\right)^4$;
4) $-\frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = \left(-\frac{4}{9}\right)^2$;
5) $aaaa = a^4$;
6) $(xy) \cdot (xy) \cdot (xy) = (xy)^3$;
7) $\underbrace{t \cdot t \cdot \ldots \cdot t}_{30} = t^{30}$;
8) $(a - b)(a - b) = (a - b)^2$.
241. Подайте добуток у вигляді степеня:
1) $xx$;
2) $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$;
3) $-p \cdot (-p) \cdot (-p)$;
4) $(ab) \cdot (ab) \cdot (ab) \cdot (ab)$;
5) $(x - 2)(x - 2)$;
6) $\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{40\text{ множників}}$.
Розв'язок:
1) $xx = x^2$;
2) $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$;
3) $-p \cdot (-p) \cdot (-p) = (-p)^3$;
4) $(ab) \cdot (ab) \cdot (ab) \cdot (ab) = (ab)^4$;
5) $(x - 2)(x - 2) = (x - 2)^2$;
6) $\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{40} = a^{40}$.
242. Подайте степінь у вигляді добутку рівних множників:
1) $5^3$;
2) $c^2$;
3) $(m - 1)^4$;
4) $\left(\frac{p}{p - 1}\right)^2$;
5) $t^5$;
6) $x^6$.
Розв'язок:
1) $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$;
2) $c^2 = c \cdot c$;
3) $(m - 1)^4 =$
$= (m - 1)(m - 1)(m - 1)(m - 1)$;
4) $\left(\frac{p}{p - 1}\right)^2 = \frac{p}{p - 1} \cdot \frac{p}{p - 1}$;
5) $t^5 = t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t$;
6) $x^6 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$.
243. Подайте степінь у вигляді добутку рівних множників:
1) $2^4$;
2) $c^3$;
3) $(x - y)^3$;
4) $\left(\frac{a}{a + b}\right)^5$.
Розв'язок:
1) $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$;
2) $c^3 = c \cdot c \cdot c$;
3) $(x - y)^3 = (x - y)(x - y)(x - y)$;
4) $\left(\frac{a}{a + b}\right)^5 =$
$= \frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b}$.
244. Обчисліть:
1) $2^3$;
2) $(0{,}3)^2$;
3) $\left(\frac{1}{3}\right)^4$;
4) $\left(1\frac{1}{2}\right)^5$;
5) $(-8)^2$;
6) $(-0{,}5)^3$;
7) $(-1)^7$;
8) $0^{16}$;
9) $-5^2$;
10) $-\left(-\frac{3}{4}\right)^3$;
11) $-(-0{,}2)^3$;
12) $\left(-2\frac{1}{3}\right)^2$.
Розв'язок:
1) $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$;
2) $(0{,}3)^2 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$;
3) $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$;
4) $\left(1\frac{1}{2}\right)^5 = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32} = 7\frac{19}{32}$;
5) $(-8)^2 = (-8) \cdot (-8) = 64$;
6) $(-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) =$
$= -0{,}125$;
7) $(-1)^7 = -1$;
8) $0^{16} = 0$;
9) $-5^2 = -25$;
10) $-\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\left(-\frac{27}{64}\right) = \frac{27}{64}$;
11) $-(-0{,}2)^3 = -(-0{,}008) = 0{,}008$;
12) $\left(-2\frac{1}{3}\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.