Сторінка 30
227. Дві сторони трикутника дорівнюють по $a$ см, а третя сторона – на 2 см більша за кожну з двох перших сторін. Запишіть у вигляді виразу периметр трикутника та спростіть цей вираз.
Розв'язок:
Третя сторона трикутника дорівнює $(a + 2)$ см. Периметр:
$P = a + a + (a + 2) = 3a + 2$ (см).
Відповідь: $a + a + (a + 2) = 3a + 2$ (см).
228. Розкрийте дужки та спростіть вираз:
1) $a - (2a - (3a - 5))$;
2) $5x - ((x - y) + 3y)$;
3) $3m - (2m - (m - (2m - 1)))$;
4) $4y - (3y - ((m - y) - 2m))$;
5) $0{,}7\left(5a - \frac{4}{7}b\right) - 0{,}9\left(\frac{4}{9}a - 0{,}2b\right)$;
6) $-\frac{1}{9}(1{,}8a - 2{,}7b) + \frac{5}{6}(0{,}6b + 0{,}24a)$.
Розв'язок:
1) $a - (2a - (3a - 5)) =$
$= a - (2a - 3a + 5) =$
$= a - (-a + 5) = a + a - 5 = 2a - 5$;
2) $5x - ((x - y) + 3y) =$
$= 5x - (x - y + 3y) =$
$= 5x - (x + 2y) = 5x - x - 2y =$
$= 4x - 2y$;
3) $3m - (2m - (m - (2m - 1))) =$
$= 3m - (2m - (m - 2m + 1)) =$
$= 3m - (2m - (-m + 1)) =$
$= 3m - (2m + m - 1) =$
$= 3m - (3m - 1) = 3m - 3m + 1 = 1$;
4) $4y - (3y - ((m - y) - 2m)) =$
$= 4y - (3y - (m - y - 2m)) =$
$= 4y - (3y - (-m - y)) =$
$= 4y - (3y + m + y) =$
$= 4y - (4y + m) = 4y - 4y - m = -m$;
5) $0{,}7\left(5a - \frac{4}{7}b\right) - 0{,}9\left(\frac{4}{9}a - 0{,}2b\right) =$
$= 3{,}5a - 0{,}4b - 0{,}4a + 0{,}18b =$
$= 3{,}1a - 0{,}22b$;
6) $-\frac{1}{9}(1{,}8a - 2{,}7b) + \frac{5}{6}(0{,}6b + 0{,}24a) =$
$= -0{,}2a + 0{,}3b + 0{,}5b + 0{,}2a = 0{,}8b$.
Відповідь: 1) $2a - 5$;
2) $4x - 2y$;
3) $1$;
4) $-m$;
5) $3{,}1a - 0{,}22b$;
6) $0{,}8b$.
229. Розкрийте дужки та спростіть вираз:
1) $b - (b - (3b - 2))$;
2) $10a - ((a - b) + 5b)$;
3) $2a - (3a - (4a - (5a - 1)))$;
4) $\frac{1}{6}(1{,}2x - 1{,}8y) - \frac{3}{4}\left(\frac{4}{15}x - 0{,}8y\right)$.
Розв'язок:
1) $b - (b - (3b - 2)) =$
$= b - (b - 3b + 2) =$
$= b - (-2b + 2) = b + 2b - 2 = 3b - 2$;
2) $10a - ((a - b) + 5b) =$
$= 10a - (a - b + 5b) =$
$= 10a - (a + 4b) = 10a - a - 4b =$
$= 9a - 4b$;
3) $2a - (3a - (4a - (5a - 1))) =$
$= 2a - (3a - (4a - 5a + 1)) =$
$= 2a - (3a - (-a + 1)) =$
$= 2a - (3a + a - 1) =$
$= 2a - (4a - 1) = 2a - 4a + 1 = 1 - 2a$;
4) $\frac{1}{6}(1{,}2x - 1{,}8y) - \frac{3}{4}\left(\frac{4}{15}x - 0{,}8y\right) =$
$= 0{,}2x - 0{,}3y - 0{,}2x + 0{,}6y = 0{,}3y$.
Відповідь: 1) $3b - 2$;
2) $9a - 4b$;
3) $1 - 2a$;
4) $0{,}3y$.
230. Доведіть тотожність:
1) $8m - (-(4m + 16)) = 4(3m + 4)$;
2) $4(x - y - z) + 3(x - y) + 4z = 7(x - y)$.
Розв'язок:
1) Ліва частина:
$8m - (-(4m + 16)) = 8m + 4m + 16 =$
$= 12m + 16$.
Права частина:
$4(3m + 4) = 12m + 16$.
Ліва і права частини рівні, отже, тотожність доведено.
2) $4(x - y - z) + 3(x - y) + 4z =$
$= 4x - 4y - 4z + 3x - 3y + 4z =$
$= 7x - 7y = 7(x - y)$.
Отримали праву частину, отже, тотожність доведено.
231. Доведіть тотожність:
1) $12a - (-(6a + 12)) = 6(3a + 2)$;
2) $7(a - b - c) + 2(a - b) + 7c = 9(a - b)$.
Розв'язок:
1) Ліва частина:
$12a - (-(6a + 12)) = 12a + 6a + 12 =$
$= 18a + 12$.
Права частина:
$6(3a + 2) = 18a + 12$.
Ліва і права частини рівні, отже, тотожність доведено.
2) $7(a - b - c) + 2(a - b) + 7c =$
$= 7a - 7b - 7c + 2a - 2b + 7c =$
$= 9a - 9b = 9(a - b)$.
Отримали праву частину, отже, тотожність доведено.
232. Доведіть, що значення виразу
$1{,}2(a - 2) + 1{,}8(3 - a) + 0{,}3(2a - 7)$
не залежить від значення змінної.
Розв'язок:
$1{,}2(a - 2) + 1{,}8(3 - a) + 0{,}3(2a - 7) =$
$= 1{,}2a - 2{,}4 + 5{,}4 - 1{,}8a + 0{,}6a - 2{,}1 =$
$= 0{,}9$.
За будь-якого значення $a$ вираз дорівнює $0{,}9$, отже, його значення не залежить від значення змінної.
233. Доведіть, що значення виразу $m - (m - (2m + 3)) - 2(m - 7)$ є одним і тим самим числом.
Розв'язок:
$m - (m - (2m + 3)) - 2(m - 7) =$
$= m - (m - 2m - 3) - 2m + 14 =$
$= m - (-m - 3) - 2m + 14 =$
$= m + m + 3 - 2m + 14 = 17$.
За будь-якого значення $m$ вираз дорівнює $17$, отже, його значення є одним і тим самим числом.
234. Доведіть, що сума трьох послідовних натуральних чисел кратна числу 3.
Розв'язок:
Нехай $n$ – менше з трьох послідовних натуральних чисел, тоді два наступні – $n + 1$ і $n + 2$. Їхня сума:
$n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 =$
$= 3(n + 1)$.
Добуток $3(n + 1)$ ділиться на 3, отже, сума трьох послідовних натуральних чисел кратна числу 3.
235. Доведіть, що коли $n$ – натуральне число, то значення виразу $-2(3{,}5n - 4) + 1\frac{1}{2}\left(6n - 4\frac{2}{3}\right)$ є непарним числом.
Розв'язок:
$-2(3{,}5n - 4) + 1\frac{1}{2}\left(6n - 4\frac{2}{3}\right) =$
$= -7n + 8 + \frac{3}{2} \cdot 6n - \frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3} =$
$= -7n + 8 + 9n - 7 = 2n + 1$.
Число $2n$ парне, а $2n + 1$ на 1 більше за парне число, отже, значення виразу – непарне число.
236. Доведіть, що коли $m$ – натуральне число, то значення виразу $-4(0{,}5m - 2) + 1\frac{1}{3}(3m - 6)$ є парним числом.
Розв'язок:
$-4(0{,}5m - 2) + 1\frac{1}{3}(3m - 6) =$
$= -2m + 8 + \frac{4}{3} \cdot 3m - \frac{4}{3} \cdot 6 =$
$= -2m + 8 + 4m - 8 = 2m$.
Число $2m$ ділиться на 2, отже, значення виразу – парне число.