Сторінка 23
161. У двох ящиках була однакова кількість банок з консервами. Після того як з першого ящика переклали до другого 4 банки, у ньому стало у 2 рази менше банок з консервами, ніж у другому. Скільки банок з консервами було в кожному ящику спочатку?
Розв'язок:
Нехай у кожному ящику було $x$ банок. Після перекладання в першому стало $(x - 4)$, а в другому – $(x + 4)$ банки. Маємо рівняння:
$2(x - 4) = x + 4$
$2x - 8 = x + 4$
$x = 12$
Відповідь: по 12 банок.
162. У кошику яблук у 4 рази менше, ніж у ящику. Після того як з ящика до кошика переклали 1 кг яблук, там яблук стало у 3 рази менше, ніж у ящику. Скільки кілограмів яблук було спочатку в кошику і скільки в ящику?
Розв'язок:
Нехай у кошику було $x$ кг яблук, тоді в ящику – $4x$ кг. Після перекладання в кошику стало $(x + 1)$ кг, а в ящику – $(4x - 1)$ кг. Маємо рівняння:
$3(x + 1) = 4x - 1$
$3x + 3 = 4x - 1$
$3x - 4x = -1 - 3$
$-x = -4$
$x = 4$
Отже, у кошику було 4 кг, а в ящику – $4 \cdot 4 = 16$ (кг).
Відповідь: 4 кг; 16 кг.
163. Маса бідона з молоком 22 кг і ще половина його маси. Яка маса бідона з молоком?
Розв'язок:
Нехай маса бідона з молоком $x$ кг. Маємо рівняння:
$x = 22 + \frac{x}{2}$
$x - \frac{x}{2} = 22$
$\frac{x}{2} = 22$
$x = 44$
Відповідь: 44 кг.
164. У кошику було вдвічі менше винограду, ніж у ящику. Після того як у кошик додали 1,5 кг, у ньому стало на 2,5 кг менше, ніж у ящику. Скільки винограду було в кошику і скільки в ящику спочатку?
Розв'язок:
Нехай у кошику було $x$ кг винограду, тоді в ящику – $2x$ кг. Маємо рівняння:
$x + 1{,}5 = 2x - 2{,}5$
$x - 2x = -2{,}5 - 1{,}5$
$-x = -4$
$x = 4$
Отже, у кошику було 4 кг, а в ящику – $2 \cdot 4 = 8$ (кг).
Відповідь: 4 кг і 8 кг.
165. У першій бригаді робітників було у 3 рази більше, ніж у другій. Після того як з першої бригади пішло 6 людей, а ще 14 перейшли у другу бригаду, робітників у обох бригадах стало порівну. Скільки робітників було в кожній бригаді спочатку?
Розв'язок:
Нехай у другій бригаді було $x$ робітників, тоді в першій – $3x$. Після змін у першій стало $(3x - 6 - 14) = (3x - 20)$, а в другій – $(x + 14)$ робітників. Маємо рівняння:
$3x - 20 = x + 14$
$2x = 34$
$x = 17$
Отже, у другій бригаді було 17 робітників, а в першій – $3 \cdot 17 = 51$.
Відповідь: 51 роб. і 17 роб.
166. У двох учнів була однакова кількість наліпок. Після того як перший учень купив 17 наліпок, а другий – 5 наліпок, у першого учня стало в 1,5 раза більше наліпок, ніж у другого. Скільки наліпок мав кожний учень спочатку?
Розв'язок:
Нехай кожний учень мав $x$ наліпок. Тоді в першого стало $(x + 17)$, а в другого – $(x + 5)$ наліпок. Маємо рівняння:
$x + 17 = 1{,}5(x + 5)$
$x + 17 = 1{,}5x + 7{,}5$
$x - 1{,}5x = 7{,}5 - 17$
$-0{,}5x = -9{,}5$
$x = 19$
Відповідь: по 19 наліпок.
167. Катер у стоячій воді має швидкість 18 км/год. Швидкість течії – 2 км/год. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо рейс туди і назад катер здійснив за 9 год.
Розв'язок:
Швидкість катера за течією – $18 + 2 = 20$ (км/год), проти течії – $18 - 2 = 16$ (км/год).
Нехай відстань між пристанями $x$ км. Тоді за течією катер плив $\frac{x}{20}$ год, а проти течії – $\frac{x}{16}$ год. Маємо рівняння:
$\frac{x}{20} + \frac{x}{16} = 9$ $\quad| \cdot 80$
$4x + 5x = 720$
$9x = 720$
$x = 80$
Відповідь: 80 км.
168. За 4,5 год теплохід пропливає за течією річки такий самий шлях, як за 5,5 год проти течії. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки – 2 км/год.
Розв'язок:
Нехай власна швидкість $x$ км/год. Тоді за течією швидкість $(x + 2)$ км/год, а проти течії – $(x - 2)$ км/год. Маємо рівняння:
$4{,}5(x + 2) = 5{,}5(x - 2)$
$4{,}5x + 9 = 5{,}5x - 11$
$4{,}5x - 5{,}5x = -11 - 9$
$-x = -20$
$x = 20$
Відповідь: 20 км/год.
169. Швидкість катера у стоячій воді – 22 км/год, а швидкість течії – 2 км/год. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо в один бік катер пропливає її на 25 хв швидше, ніж у інший.
Розв'язок:
Швидкість катера за течією – $22 + 2 = 24$ (км/год), проти течії – $22 - 2 = 20$ (км/год); 25 хв $= \frac{25}{60}$ год $= \frac{5}{12}$ год.
Нехай відстань між пристанями $x$ км. Проти течії катер пливе довше, тому маємо рівняння:
$\frac{x}{20} - \frac{x}{24} = \frac{5}{12}$ $\quad| \cdot 120$
$6x - 5x = 50$
$x = 50$
Відповідь: 50 км.
170. Поїзд було затримано на 1 год. Збільшивши швидкість на 30 км/год, він через 3 год прибув на кінцеву станцію точно за розкладом. Якою була швидкість поїзда до зупинки?
Розв'язок:
Нехай швидкість поїзда до зупинки $x$ км/год. За розкладом решту шляху він мав проїхати за $1 + 3 = 4$ (год), тобто цей шлях дорівнює $4x$ км. Насправді його проїхали за 3 год зі швидкістю $(x + 30)$ км/год. Маємо рівняння:
$4x = 3(x + 30)$
$4x = 3x + 90$
$x = 90$
Відповідь: 90 км/год.
171. Велосипедист за 3 год проїжджає на 16 км більше, ніж пішохід проходить за 5 год. Знайдіть швидкість пішохода, якщо вона на 8 км/год менша, ніж велосипедиста.
Розв'язок:
Нехай швидкість пішохода $x$ км/год, тоді велосипедиста – $(x + 8)$ км/год. Маємо рівняння:
$3(x + 8) - 5x = 16$
$3x + 24 - 5x = 16$
$-2x = -8$
$x = 4$
Відповідь: 4 км/год.