Сторінка 20
124. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x| - 3 = 8$;
2) $|x| + 2 = -1$;
3) $\frac{1}{3}|x| - 2 = 0$;
4) $|3x + 12| = 0$;
5) $|5 - x| = -4$;
6) $|x + 7| = 1$;
7) $|3 - 4x| = 5$;
8) $4|x| + 1 = 1$;
9) $2(|x| + 1) = 6$.
Розв'язок:
1) $|x| - 3 = 8$
$|x| = 11$
$x = 11$ або $x = -11$
2) $|x| + 2 = -1$
$|x| = -3$ – рівняння коренів не має, бо модуль не може бути від'ємним.
3) $\frac{1}{3}|x| - 2 = 0$
$\frac{1}{3}|x| = 2$
$|x| = 6$
$x = 6$ або $x = -6$
4) $|3x + 12| = 0$
$3x + 12 = 0$
$3x = -12$
$x = -4$
5) $|5 - x| = -4$ – рівняння коренів не має, бо модуль не може бути від'ємним.
6) $|x + 7| = 1$
$x + 7 = 1$ або $x + 7 = -1$
$x = -6$ або $x = -8$
7) $|3 - 4x| = 5$
$3 - 4x = 5$ або $3 - 4x = -5$
$-4x = 2$ або $-4x = -8$
$x = -0{,}5$ або $x = 2$
8) $4|x| + 1 = 1$
$4|x| = 0$
$|x| = 0$
$x = 0$
9) $2(|x| + 1) = 6$
$|x| + 1 = 3$
$|x| = 2$
$x = 2$ або $x = -2$
Відповідь: 1) $-11$; $11$;
2) коренів немає;
3) $-6$; $6$;
4) $-4$;
5) коренів немає;
6) $-6$; $-8$;
7) $-0{,}5$; $2$;
8) $0$;
9) $-2$; $2$.
125. За якого значення $m$ рівняння:
1) $2mx = 32$ має корінь, що дорівнює $4$;
2) $5x = m$ має корінь, що дорівнює $\frac{3}{7}$;
3) $4(m + 1)x = 48$ має корінь, що дорівнює $3$;
4) $mx = 12$ не має коренів;
5) $(m + 2)x = m + 2$ має коренем будь-яке число?
Розв'язок:
1) Підставимо $x = 4$:
$2m \cdot 4 = 32$
$8m = 32$
$m = 4$
2) підставимо $x = \frac{3}{7}$:
$5 \cdot \frac{3}{7} = m$
$m = \frac{15}{7}$
$m = 2\frac{1}{7}$
3) підставимо $x = 3$:
$4(m + 1) \cdot 3 = 48$
$12(m + 1) = 48$
$m + 1 = 4$
$m = 3$
4) рівняння $ax = b$ не має коренів, якщо $a = 0$, а $b \ne 0$. Тут $b = 12 \ne 0$, тому рівняння $mx = 12$ не має коренів, якщо $m = 0$: маємо $0x = 12$;
5) коренем рівняння $ax = b$ є будь-яке число, якщо $a = 0$ і $b = 0$. Тут $a = b = m + 2$, тож $m + 2 = 0$, звідки $m = -2$; тоді маємо $0x = 0$.
Відповідь: 1) $4$;
2) $2\frac{1}{7}$;
3) $3$;
4) $0$;
5) $-2$.
126. За якого значення $a$ рівняння:
1) $(4a - 3)x = 5$ не має коренів;
2) $(a - 3)x + 3 = a$ має коренем будь-яке число;
3) $4(a + 1)x = 128$ має корінь, що дорівнює $4$?
Розв'язок:
1) Права частина $5 \ne 0$, тому рівняння не має коренів, якщо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю:
$4a - 3 = 0$
$4a = 3$
$a = \frac{3}{4}$
2) $(a - 3)x + 3 = a$
$(a - 3)x = a - 3$
Коренем є будь-яке число, якщо $a - 3 = 0$, тобто $a = 3$; тоді маємо $0x = 0$;
3) підставимо $x = 4$:
$4(a + 1) \cdot 4 = 128$
$16(a + 1) = 128$
$a + 1 = 8$
$a = 7$
Відповідь: 1) $\frac{3}{4}$;
2) $3$;
3) $7$.
127. За якого значення $b$ мають спільний корінь рівняння:
1) $4x - 5 = 11$ і $2x + b = 19$;
2) $4x + b = 9$ і $3x - b = 5$?
Розв'язок:
1) $4x - 5 = 11$; $4x = 16$; $x = 4$.
Щоб число 4 було й коренем другого рівняння, має виконуватися рівність:
$2 \cdot 4 + b = 19$
$b = 19 - 8$
$b = 11$
2) Нехай $x$ – спільний корінь. З першого рівняння $b = 9 - 4x$; підставимо в друге:
$3x - (9 - 4x) = 5$
$3x - 9 + 4x = 5$
$7x = 14$
$x = 2$
Тоді $b = 9 - 4 \cdot 2 = 1$.
Відповідь: 1) $11$;
2) $1$.
128. Знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $ax = 12$ має:
1) додатний корінь;
2) від'ємний корінь.
Розв'язок:
Якщо $a = 0$, то маємо $0x = 12$ – рівняння коренів не має. Якщо $a \ne 0$, то рівняння має єдиний корінь $x = \frac{12}{a}$.
1) Дріб $\frac{12}{a}$ додатний, якщо $a \gt 0$;
2) дріб $\frac{12}{a}$ від'ємний, якщо $a \lt 0$.
Відповідь: 1) $a \gt 0$;
2) $a \lt 0$.
129. Знайдіть усі цілі значення $m$, за яких корінь рівняння $mx = 6$ є цілим числом.
Розв'язок:
Якщо $m = 0$, рівняння коренів не має. Якщо $m \ne 0$, то $x = \frac{6}{m}$. Це число ціле, якщо $m$ – дільник числа 6 (додатний або від'ємний): $m = \pm 1$; $\pm 2$; $\pm 3$; $\pm 6$.
Відповідь: $-6$; $-3$; $-2$; $-1$; $1$; $2$; $3$; $6$.
130. Знайдіть усі цілі значення $b$, за яких корінь рівняння $bx = -8$ є натуральним числом.
Розв'язок:
Якщо $b = 0$, рівняння коренів не має. Якщо $b \ne 0$, то $x = \frac{-8}{b}$. Це число натуральне, якщо $b$ від'ємне і $-b$ – дільник числа 8:
якщо $b = -1$, то $x = 8$;
якщо $b = -2$, то $x = 4$;
якщо $b = -4$, то $x = 2$;
якщо $b = -8$, то $x = 1$.
Відповідь: $-8$; $-4$; $-2$; $-1$.
131. Розв'яжіть рівняння:
1) $7|2x - 3| + 8 = 15$;
2) $-4|x - 8| - 5 = 0$;
3) $|7x - 8| + 5 = 7$;
4) $||x| - 1| = 1$;
5) $|2|x| - 3| = 5$;
6) $|3|x| - 7| = 4$.
Розв'язок:
1) $7|2x - 3| + 8 = 15$
$7|2x - 3| = 7$
$|2x - 3| = 1$
$2x - 3 = 1$ або $2x - 3 = -1$
$2x = 4$ або $2x = 2$
$x = 2$ або $x = 1$
2) $-4|x - 8| - 5 = 0$
$-4|x - 8| = 5$
$|x - 8| = -1{,}25$ – рівняння коренів не має, бо модуль не може бути від'ємним.
3) $|7x - 8| + 5 = 7$
$|7x - 8| = 2$
$7x - 8 = 2$ або $7x - 8 = -2$
$7x = 10$ або $7x = 6$
$x = 1\frac{3}{7}$ або $x = \frac{6}{7}$
4) $||x| - 1| = 1$
$|x| - 1 = 1$ або $|x| - 1 = -1$
$|x| = 2$ або $|x| = 0$
$x = 2$, $x = -2$ або $x = 0$
5) $|2|x| - 3| = 5$
$2|x| - 3 = 5$ або $2|x| - 3 = -5$
$2|x| = 8$ або $2|x| = -2$
$|x| = 4$ або $|x| = -1$, але рівняння $|x| = -1$ коренів не має, тому
$x = 4$ або $x = -4$
6) $|3|x| - 7| = 4$
$3|x| - 7 = 4$ або $3|x| - 7 = -4$
$3|x| = 11$ або $3|x| = 3$
$|x| = 3\frac{2}{3}$ або $|x| = 1$
$x = 3\frac{2}{3}$, $x = -3\frac{2}{3}$, $x = 1$ або $x = -1$
Відповідь: 1) $2$; $1$;
2) коренів немає;
3) $1\frac{3}{7}$; $\frac{6}{7}$;
4) $0$; $-2$; $2$;
5) $-4$; $4$;
6) $-3\frac{2}{3}$; $3\frac{2}{3}$; $-1$; $1$.
132. Розв'яжіть рівняння, де $x$ – змінна:
1) $(a - 1)x = 5$;
2) $(a + 2)x = a + 2$;
3) $(|a| - 3)x = 3 - a$.
Розв'язок:
1) Якщо $a - 1 = 0$, тобто $a = 1$, то маємо $0x = 5$ – рівняння коренів не має.
Якщо $a \ne 1$, то $x = \frac{5}{a - 1}$.
2) Якщо $a + 2 = 0$, тобто $a = -2$, то маємо $0x = 0$ – $x$ – будь-яке число.
Якщо $a \ne -2$, то $x = \frac{a + 2}{a + 2} = 1$.
3) $|a| - 3 = 0$, якщо $a = 3$ або $a = -3$.
Якщо $a = 3$, то маємо $0x = 0$ – $x$ – будь-яке число.
Якщо $a = -3$, то маємо $0x = 6$ – рівняння коренів не має.
Якщо $a \ne 3$ і $a \ne -3$, то $x = \frac{3 - a}{|a| - 3}$.
Відповідь: 1) якщо $a = 1$, то коренів немає; якщо $a \ne 1$, то $x = \frac{5}{a - 1}$;
2) якщо $a = -2$, то $x$ – будь-яке число; якщо $a \ne -2$, то $x = 1$;
3) якщо $a = 3$, то $x$ – будь-яке число; якщо $a = -3$, то коренів немає; якщо $a \ne 3$ і $a \ne -3$, то $x = \frac{3 - a}{|a| - 3}$.
133. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x| + 3x = -18$;
2) $|4x| - x = 15$.
Розв'язок:
Розглянемо два випадки: $x \ge 0$, тоді $|x| = x$, і $x \lt 0$, тоді $|x| = -x$.
1) Якщо $x \ge 0$, то $x + 3x = -18$; $4x = -18$; $x = -4{,}5$ – не задовольняє умову $x \ge 0$.
Якщо $x \lt 0$, то $-x + 3x = -18$; $2x = -18$; $x = -9$ – задовольняє умову $x \lt 0$.
2) Якщо $x \ge 0$, то $|4x| = 4x$, тому $4x - x = 15$; $3x = 15$; $x = 5$ – задовольняє умову $x \ge 0$.
Якщо $x \lt 0$, то $|4x| = -4x$, тому $-4x - x = 15$; $-5x = 15$; $x = -3$ – задовольняє умову $x \lt 0$.
Відповідь: 1) $-9$;
2) $-3$; $5$.
134. Розв'яжіть рівняння:
1) $2x + |x| = 15$;
2) $x - |3x| = -8$.
Розв'язок:
1) Якщо $x \ge 0$, то $|x| = x$, тому $2x + x = 15$; $3x = 15$; $x = 5$ – задовольняє умову $x \ge 0$.
Якщо $x \lt 0$, то $|x| = -x$, тому $2x - x = 15$; $x = 15$ – не задовольняє умову $x \lt 0$.
2) Якщо $x \ge 0$, то $|3x| = 3x$, тому $x - 3x = -8$; $-2x = -8$; $x = 4$ – задовольняє умову $x \ge 0$.
Якщо $x \lt 0$, то $|3x| = -3x$, тому $x + 3x = -8$; $4x = -8$; $x = -2$ – задовольняє умову $x \lt 0$.
Відповідь: 1) $5$;
2) $4$; $-2$.