Сторінка 19
114. За якого значення $x$ значення виразу:
1) $2x + 3$ дорівнює $-7$;
2) $3(x - 1)$ дорівнює значенню виразу $4x + 11$?
Розв'язок:
1) $2x + 3 = -7$
$2x = -7 - 3$
$2x = -10$
$x = -10 : 2$
$x = -5$
2) $3(x - 1) = 4x + 11$
$3x - 3 = 4x + 11$
$3x - 4x = 11 + 3$
$-x = 14$
$x = -14$
Відповідь: 1) $-5$;
2) $-14$.
115. Розв'яжіть рівняння:
1) $(5x - 3) + (7x - 4) =$
$= 7 - (14 - 11x)$;
2) $(4 - 5x) - (9 - 4x) + (5x + 7) = 10$;
3) $(2 - 3x) + (5 - 2x) + (9 - 5x) =$
$= 19 + 7x$;
4) $-(4 - 2x) + (5 - 3x) + (9 - x) =$
$= -(x + 5)$.
Розв'язок:
1) $(5x - 3) + (7x - 4) =$
$= 7 - (14 - 11x)$
$5x - 3 + 7x - 4 = 7 - 14 + 11x$
$5x + 7x - 11x = 7 - 14 + 3 + 4$
$x = 0$
2) $(4 - 5x) - (9 - 4x) + (5x + 7) = 10$
$4 - 5x - 9 + 4x + 5x + 7 = 10$
$-5x + 4x + 5x = 10 - 4 + 9 - 7$
$4x = 8$
$x = 2$
3) $(2 - 3x) + (5 - 2x) + (9 - 5x) =$
$= 19 + 7x$
$2 - 3x + 5 - 2x + 9 - 5x = 19 + 7x$
$-3x - 2x - 5x - 7x =$
$= 19 - 2 - 5 - 9$
$-17x = 3$
$x = 3 : (-17)$
$x = -\frac{3}{17}$
4) $-(4 - 2x) + (5 - 3x) + (9 - x) =$
$= -(x + 5)$
$-4 + 2x + 5 - 3x + 9 - x = -x - 5$
$2x - 3x - x + x = -5 + 4 - 5 - 9$
$-x = -15$
$x = 15$
Відповідь: 1) $0$;
2) $2$;
3) $-\frac{3}{17}$;
4) $15$.
116. Розв'яжіть рівняння:
1) $5x + 7 = 2(3x - 4) - x$;
2) $2(x - 3) = 22 - (2x + 28) + 4x$.
Розв'язок:
1) $5x + 7 = 2(3x - 4) - x$
$5x + 7 = 6x - 8 - x$
$5x - 6x + x = -8 - 7$
$0x = -15$
рівняння коренів не має.
2) $2(x - 3) = 22 - (2x + 28) + 4x$
$2x - 6 = 22 - 2x - 28 + 4x$
$2x + 2x - 4x = 22 - 28 + 6$
$0x = 0$
$x$ – будь-яке число.
Відповідь: 1) коренів немає;
2) $x$ – будь-яке число.
117. Розв'яжіть рівняння:
1) $(10x - 3) + (14x - 4) =$
$= 17 - (24 - 22x)$;
2) $(7 - 10x) - (8 - 8x) + (10x + 6) = -8$;
3) $(2x + 3) - (5x + 11) =$
$= 7 + (13 - 2x)$;
4) $(9x + 4) - (5x + 9) = 4x - 5$.
Розв'язок:
1) $(10x - 3) + (14x - 4) =$
$= 17 - (24 - 22x)$
$10x - 3 + 14x - 4 = 17 - 24 + 22x$
$10x + 14x - 22x = 17 - 24 + 3 + 4$
$2x = 0$
$x = 0$
2) $(7 - 10x) - (8 - 8x) + (10x + 6) = -8$
$7 - 10x - 8 + 8x + 10x + 6 = -8$
$-10x + 8x + 10x = -8 - 7 + 8 - 6$
$8x = -13$
$x = -13 : 8$
$x = -1\frac{5}{8}$
3) $(2x + 3) - (5x + 11) =$
$= 7 + (13 - 2x)$
$2x + 3 - 5x - 11 = 7 + 13 - 2x$
$2x - 5x + 2x = 7 + 13 - 3 + 11$
$-x = 28$
$x = -28$
4) $(9x + 4) - (5x + 9) = 4x - 5$
$9x + 4 - 5x - 9 = 4x - 5$
$9x - 5x - 4x = -5 - 4 + 9$
$0x = 0$
$x$ – будь-яке число.
Відповідь: 1) $0$;
2) $-1\frac{5}{8}$;
3) $-28$;
4) $x$ – будь-яке число.
118. Розв'яжіть рівняння відносно $x$:
1) $a + x = 2x + a$;
2) $c + x = d - x$;
3) $7x + 2b = 2x - 8b$;
4) $9m + x = 3n - 2x$.
Розв'язок:
1) $a + x = 2x + a$
$x - 2x = a - a$
$-x = 0$
$x = 0$
2) $c + x = d - x$
$x + x = d - c$
$2x = d - c$
$x = \frac{d - c}{2}$
3) $7x + 2b = 2x - 8b$
$7x - 2x = -8b - 2b$
$5x = -10b$
$x = -10b : 5$
$x = -2b$
4) $9m + x = 3n - 2x$
$x + 2x = 3n - 9m$
$3x = 3n - 9m$
$x = (3n - 9m) : 3$
$x = n - 3m$
Відповідь: 1) $x = 0$ для всіх значень $a$;
2) $x = \frac{d - c}{2}$;
3) $x = -2b$;
4) $x = n - 3m$.
119. Розв'яжіть рівняння відносно $x$:
1) $m + 3x = 2x - 3m$;
2) $2a + x = b - x$;
3) $4a + 2x = 3a - x$;
4) $x - 4p = 2p - x$.
Розв'язок:
1) $m + 3x = 2x - 3m$
$3x - 2x = -3m - m$
$x = -4m$
2) $2a + x = b - x$
$x + x = b - 2a$
$2x = b - 2a$
$x = \frac{b - 2a}{2}$
3) $4a + 2x = 3a - x$
$2x + x = 3a - 4a$
$3x = -a$
$x = -\frac{a}{3}$
4) $x - 4p = 2p - x$
$x + x = 2p + 4p$
$2x = 6p$
$x = 3p$
Відповідь: 1) $x = -4m$;
2) $x = \frac{b - 2a}{2}$;
3) $x = -\frac{a}{3}$;
4) $x = 3p$.
120. Чи рівносильні рівняння:
1) $2x - 5 = 1$ і $5(x - 3) + 2 = 3x - 7$;
2) $5x + 4 = 9$ і $7(x - 2) + 22 = 4x + 5$;
3) $2x = 0$ і $0x = 2$;
4) $4x + 1 = 4x + 2$ і $4(x + 1) = 4x + 4$;
5) $0 : x = 5$ і $0x = 5$;
6) $2(x + 1) = 2x + 2$ і $7x + 2 = 7(x + 1) - 5$?
Розв'язок:
1) $2x - 5 = 1$; $2x = 6$; $x = 3$.
$5(x - 3) + 2 = 3x - 7$; $5x - 15 + 2 = 3x - 7$;
$5x - 3x = -7 + 15 - 2$; $2x = 6$; $x = 3$.
Обидва рівняння мають єдиний корінь 3 – рівносильні;
2) $5x + 4 = 9$; $5x = 5$; $x = 1$.
$7(x - 2) + 22 = 4x + 5$; $7x - 14 + 22 = 4x + 5$;
$7x - 4x = 5 + 14 - 22$; $3x = -3$; $x = -1$.
Корені різні – не рівносильні;
3) $2x = 0$; $x = 0$, а рівняння $0x = 2$ коренів не має – не рівносильні;
4) рівняння $4x + 1 = 4x + 2$ коренів не має (ліва частина завжди на 1 менша від правої), а рівняння $4(x + 1) = 4x + 4$, тобто $4x + 4 = 4x + 4$, має коренем будь-яке число – не рівносильні;
5) обидва рівняння коренів не мають: $0 : x = 0$ для будь-якого $x \ne 0$ і $0x = 0$ для будь-якого $x$, а $0 \ne 5$. Рівняння, які не мають коренів, вважають рівносильними;
6) $2(x + 1) = 2x + 2$, тобто $2x + 2 = 2x + 2$, – коренем є будь-яке число;
$7x + 2 = 7(x + 1) - 5$, тобто $7x + 2 = 7x + 2$, – коренем є будь-яке число. Рівняння рівносильні.
Відповідь: 1), 5), 6) так;
2), 3), 4) ні.
121. За якого значення $y$ значення виразу:
1) $5y + 7$ утричі більше за значення виразу $y + 3$;
2) $9y - 2$ на $0{,}8$ більше за значення виразу $5y + 11$?
Розв'язок:
1) $5y + 7 = 3(y + 3)$
$5y + 7 = 3y + 9$
$5y - 3y = 9 - 7$
$2y = 2$
$y = 1$
2) $(9y - 2) - (5y + 11) = 0{,}8$
$9y - 2 - 5y - 11 = 0{,}8$
$4y = 0{,}8 + 2 + 11$
$4y = 13{,}8$
$y = 13{,}8 : 4$
$y = 3{,}45$
Відповідь: 1) $1$;
2) $3{,}45$.
122. За якого значення $x$ значення виразу:
1) $7x - 3$ на $1{,}2$ більше за значення виразу $4x + 9$;
2) $6x + 4$ удвічі більше за значення виразу $x + 7$?
Розв'язок:
1) $(7x - 3) - (4x + 9) = 1{,}2$
$7x - 3 - 4x - 9 = 1{,}2$
$3x = 1{,}2 + 3 + 9$
$3x = 13{,}2$
$x = 13{,}2 : 3$
$x = 4{,}4$
2) $6x + 4 = 2(x + 7)$
$6x + 4 = 2x + 14$
$6x - 2x = 14 - 4$
$4x = 10$
$x = 2{,}5$
Відповідь: 1) $4{,}4$;
2) $2{,}5$.
123. Розв'яжіть рівняння:
1) $|x| + 4 = 17$;
2) $|x| - 7 = -8$;
3) $3|x| - 12 = 0$;
4) $|3x - 2| = 0$;
5) $|8 - x| = 3$;
6) $|x + 7| = -1$;
7) $|2x - 1| = 7$;
8) $|2x - 1| + 1 = 1$;
9) $2(|x| - 1) = -2$.
Розв'язок:
Щоб модуль виразу дорівнював додатному числу $a$, значення цього виразу має дорівнювати $a$ або $-a$. Модуль дорівнює нулю лише тоді, коли вираз дорівнює нулю, і не може бути від'ємним.
1) $|x| + 4 = 17$
$|x| = 13$
$x = 13$ або $x = -13$
2) $|x| - 7 = -8$
$|x| = -1$ – рівняння коренів не має, бо модуль не може бути від'ємним.
3) $3|x| - 12 = 0$
$3|x| = 12$
$|x| = 4$
$x = 4$ або $x = -4$
4) $|3x - 2| = 0$
$3x - 2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
5) $|8 - x| = 3$
$8 - x = 3$ або $8 - x = -3$
$x = 5$ або $x = 11$
6) $|x + 7| = -1$ – рівняння коренів не має, бо модуль не може бути від'ємним.
7) $|2x - 1| = 7$
$2x - 1 = 7$ або $2x - 1 = -7$
$2x = 8$ або $2x = -6$
$x = 4$ або $x = -3$
8) $|2x - 1| + 1 = 1$
$|2x - 1| = 0$
$2x - 1 = 0$
$x = 0{,}5$
9) $2(|x| - 1) = -2$
$|x| - 1 = -1$
$|x| = 0$
$x = 0$
Відповідь: 1) $-13$; $13$;
2) коренів немає;
3) $-4$; $4$;
4) $\frac{2}{3}$;
5) $5$; $11$;
6) коренів немає;
7) $-3$; $4$;
8) $0{,}5$;
9) $0$.