Сторінка 18
105. Які з рівнянь є лінійними:
1) $15x = 0$;
2) $-8x^2 = 14$;
3) $7x = -\frac{2}{3}$;
4) $0x = 17$;
5) $x^2 = x^3$;
6) $0x = 0$?
Розв'язок:
Лінійне рівняння з однією змінною має вигляд $ax = b$, де $x$ – змінна, $a$ і $b$ – деякі числа. Такий вигляд мають рівняння 1), 3), 4) і 6); у рівнянні 4) $a = 0$, $b = 17$, у рівнянні 6) $a = 0$, $b = 0$. Рівняння 2) і 5) містять $x^2$ і $x^3$, тому не є лінійними.
Відповідь: 1), 3), 4), 6).
106. Розв'яжіть рівняння:
1) $-7x = -21$;
2) $-3x = \frac{2}{7}$;
3) $-5 = -\frac{1}{5}x$;
4) $40x = -4$;
5) $-x = 1\frac{4}{9}$;
6) $-\frac{3}{7}x = \frac{2}{14}$.
Розв'язок:
1) $-7x = -21$
$x = -21 : (-7)$
$x = 3$
2) $-3x = \frac{2}{7}$
$x = \frac{2}{7} : (-3)$
$x = -\frac{2}{21}$
3) $-5 = -\frac{1}{5}x$
$x = -5 : \left(-\frac{1}{5}\right)$
$x = 25$
4) $40x = -4$
$x = -4 : 40$
$x = -0{,}1$
5) $-x = 1\frac{4}{9}$
$x = -1\frac{4}{9}$
6) $-\frac{3}{7}x = \frac{2}{14}$
$x = \frac{2}{14} : \left(-\frac{3}{7}\right)$
$x = -\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{3}$
$x = -\frac{1}{3}$
Відповідь: 1) $3$;
2) $-\frac{2}{21}$;
3) $25$;
4) $-0{,}1$;
5) $-1\frac{4}{9}$;
6) $-\frac{1}{3}$.
107. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{1}{4}x = 11$;
2) $-2x = \frac{1}{7}$;
3) $\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$;
4) $-10x = -2$;
5) $\frac{2}{3}x = 0$;
6) $-\frac{2}{9}x = -\frac{4}{27}$.
Розв'язок:
1) $\frac{1}{4}x = 11$
$x = 11 : \frac{1}{4}$
$x = 44$
2) $-2x = \frac{1}{7}$
$x = \frac{1}{7} : (-2)$
$x = -\frac{1}{14}$
3) $\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
$x = \frac{1}{6} : \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{6} \cdot 3$
$x = \frac{1}{2}$
4) $-10x = -2$
$x = -2 : (-10)$
$x = 0{,}2$
5) $\frac{2}{3}x = 0$
$x = 0 : \frac{2}{3}$
$x = 0$
6) $-\frac{2}{9}x = -\frac{4}{27}$
$x = -\frac{4}{27} : \left(-\frac{2}{9}\right)$
$x = \frac{4}{27} \cdot \frac{9}{2}$
$x = \frac{2}{3}$
Відповідь: 1) $44$;
2) $-\frac{1}{14}$;
3) $\frac{1}{2}$;
4) $0{,}2$;
5) $0$;
6) $\frac{2}{3}$.
108. На дошці було записано лінійне рівняння, але його праву частину стерли. Поновіть її:
1) $6x =$ …, $x = -10$;
2) $7x =$ …, $x = 0$;
3) $\frac{2}{3}x =$ …, $x = 12$.
Розв'язок:
Права частина дорівнює значенню лівої частини, коли $x$ дорівнює кореню.
1) якщо $x = -10$, то $6x = 6 \cdot (-10) = -60$;
2) якщо $x = 0$, то $7x = 7 \cdot 0 = 0$;
3) якщо $x = 12$, то $\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$.
Відповідь: 1) $6x = -60$;
2) $7x = 0$;
3) $\frac{2}{3}x = 8$.
109. Розв'яжіть рівняння:
1) $4x + 8 = 0$;
2) $0{,}2x - 24 = 0{,}4x - 22$;
3) $3x + 2 = 5x - 14$;
4) $4x + (2x - 7) = 9$;
5) $48 = 11 - (9x + 2)$;
6) $(2x + 1) - (7x + 5) = 14$.
Розв'язок:
1) $4x + 8 = 0$
$4x = -8$
$x = -8 : 4$
$x = -2$
2) $0{,}2x - 24 = 0{,}4x - 22$
$0{,}2x - 0{,}4x = -22 + 24$
$-0{,}2x = 2$
$x = 2 : (-0{,}2)$
$x = -10$
3) $3x + 2 = 5x - 14$
$3x - 5x = -14 - 2$
$-2x = -16$
$x = -16 : (-2)$
$x = 8$
4) $4x + (2x - 7) = 9$
$4x + 2x - 7 = 9$
$6x = 9 + 7$
$6x = 16$
$x = 16 : 6$
$x = 2\frac{2}{3}$
5) $48 = 11 - (9x + 2)$
$48 = 11 - 9x - 2$
$9x = 11 - 2 - 48$
$9x = -39$
$x = -39 : 9$
$x = -4\frac{1}{3}$
6) $(2x + 1) - (7x + 5) = 14$
$2x + 1 - 7x - 5 = 14$
$2x - 7x = 14 - 1 + 5$
$-5x = 18$
$x = 18 : (-5)$
$x = -3\frac{3}{5}$
Відповідь: 1) $-2$;
2) $-10$;
3) $8$;
4) $2\frac{2}{3}$;
5) $-4\frac{1}{3}$;
6) $-3\frac{3}{5}$.
110. Розв'яжіть рівняння:
1) $3x + 5 = 0$;
2) $1{,}3x - 11 = 0{,}8x + 5$;
3) $4x + 15 = 6x + 17$;
4) $13 - (5x + 11) = 6x$;
5) $7 - (8x + 11) = -2$;
6) $2 = (3x - 5) - (7 - 4x)$.
Розв'язок:
1) $3x + 5 = 0$
$3x = -5$
$x = -5 : 3$
$x = -1\frac{2}{3}$
2) $1{,}3x - 11 = 0{,}8x + 5$
$1{,}3x - 0{,}8x = 5 + 11$
$0{,}5x = 16$
$x = 16 : 0{,}5$
$x = 32$
3) $4x + 15 = 6x + 17$
$4x - 6x = 17 - 15$
$-2x = 2$
$x = 2 : (-2)$
$x = -1$
4) $13 - (5x + 11) = 6x$
$13 - 5x - 11 = 6x$
$-5x - 6x = 11 - 13$
$-11x = -2$
$x = -2 : (-11)$
$x = \frac{2}{11}$
5) $7 - (8x + 11) = -2$
$7 - 8x - 11 = -2$
$-8x = -2 - 7 + 11$
$-8x = 2$
$x = 2 : (-8)$
$x = -\frac{1}{4}$
6) $2 = (3x - 5) - (7 - 4x)$
$2 = 3x - 5 - 7 + 4x$
$-3x - 4x = -5 - 7 - 2$
$-7x = -14$
$x = -14 : (-7)$
$x = 2$
Відповідь: 1) $-1\frac{2}{3}$;
2) $32$;
3) $-1$;
4) $\frac{2}{11}$;
5) $-\frac{1}{4}$;
6) $2$.
111. Чи рівносильні рівняння:
1) $2x + 3x = 19$ і $5x = 19$;
2) $7x - 5 = 4x$ і $3x = -5$;
3) $4x = 12$ і $x + 3 = 6$;
4) $15x = 0$ і $14x = 14$?
Розв'язок:
1) Друге рівняння одержуємо з першого зведенням подібних доданків у лівій частині, тому рівняння рівносильні;
2) $7x - 5 = 4x$; $7x - 4x = 5$; $3x = 5$; $x = \frac{5}{3}$.
$3x = -5$; $x = -\frac{5}{3}$.
Корені різні, тому рівняння не рівносильні;
3) $4x = 12$; $x = 3$. $x + 3 = 6$; $x = 3$. Обидва рівняння мають єдиний корінь 3, тому вони рівносильні;
4) $15x = 0$; $x = 0$. $14x = 14$; $x = 1$. Корені різні, тому рівняння не рівносильні.
Відповідь: 1), 3) так;
2), 4) ні.
112. Чи рівносильні рівняння:
1) $5x - x = 6$ і $5x + x = 6$;
2) $9x - 4 = 5x$ і $4x = 4$;
3) $7x = 14$ і $x + 3 = 1$;
4) $7x = 0$ і $8x = 0$?
Розв'язок:
1) $5x - x = 6$; $4x = 6$; $x = 1{,}5$. $5x + x = 6$; $6x = 6$; $x = 1$. Корені різні, тому рівняння не рівносильні;
2) $9x - 4 = 5x$; $9x - 5x = 4$; $4x = 4$ – одержали друге рівняння, перенісши доданки зі зміною знаків і звівши подібні, тому рівняння рівносильні: обидва мають єдиний корінь $x = 1$;
3) $7x = 14$; $x = 2$. $x + 3 = 1$; $x = -2$. Корені різні, тому рівняння не рівносильні;
4) $7x = 0$; $x = 0$. $8x = 0$; $x = 0$. Обидва рівняння мають єдиний корінь 0, тому вони рівносильні.
Відповідь: 1), 3) ні;
2), 4) так.
113. За якого значення $y$ значення виразу:
1) $5y + 7$ дорівнює $-2$;
2) $2(y + 1)$ дорівнює значенню виразу $3y + 7$?
Розв'язок:
1) $5y + 7 = -2$
$5y = -2 - 7$
$5y = -9$
$y = -9 : 5$
$y = -1{,}8$
2) $2(y + 1) = 3y + 7$
$2y + 2 = 3y + 7$
$2y - 3y = 7 - 2$
$-y = 5$
$y = -5$
Відповідь: 1) $-1{,}8$;
2) $-5$.