Сторінка 17
Загальні відомості про рівняння
95. Чи є число 1 коренем рівняння:
1) $x + 5 = 6$;
2) $x^2 - 2x = 1$;
3) $13 - x = 9$;
4) $x : 5 = 5$;
5) $x^2 + 2x - 3 = 0$;
6) $x + 13 = 12$?
Розв'язок:
Підставимо число 1 замість $x$ у кожне рівняння.
1) $1 + 5 = 6$ – правильна рівність, тому 1 є коренем;
2) $1^2 - 2 \cdot 1 = -1$; $-1 \ne 1$ – не є коренем;
3) $13 - 1 = 12$; $12 \ne 9$ – не є коренем;
4) $1 : 5 = 0{,}2$; $0{,}2 \ne 5$ – не є коренем;
5) $1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$ – правильна рівність, тому 1 є коренем;
6) $1 + 13 = 14$; $14 \ne 12$ – не є коренем.
Відповідь: 1), 5) так;
2), 3), 4), 6) ні.
96. Чи є коренем рівняння $x^2 = 3x - 2$ число:
1) $0$;
2) $1$;
3) $2$;
4) $-1$?
Розв'язок:
Підставимо кожне число в рівняння.
1) $0^2 = 0$; $3 \cdot 0 - 2 = -2$; $0 \ne -2$ – не є коренем;
2) $1^2 = 1$; $3 \cdot 1 - 2 = 1$; $1 = 1$ – є коренем;
3) $2^2 = 4$; $3 \cdot 2 - 2 = 4$; $4 = 4$ – є коренем;
4) $(-1)^2 = 1$; $3 \cdot (-1) - 2 = -5$; $1 \ne -5$ – не є коренем.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) так;
4) ні.
97. Чи є коренем рівняння:
1) $x^2 - 2x = 8$ число $0$; число $-2$;
2) $5x + 7 = 2x + 4$ число $-1$; число $2$;
3) $2x^2 + 3 = x^2 + 7$ число $2$; число $0$;
4) $2(x + 1) = 2x$ число $-3$; число $1$?
Розв'язок:
1) $0^2 - 2 \cdot 0 = 0$; $0 \ne 8$ – 0 не є коренем;
$(-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8$ – $-2$ є коренем;
2) $5 \cdot (-1) + 7 = 2$; $2 \cdot (-1) + 4 = 2$; $2 = 2$ – $-1$ є коренем;
$5 \cdot 2 + 7 = 17$; $2 \cdot 2 + 4 = 8$; $17 \ne 8$ – 2 не є коренем;
3) $2 \cdot 2^2 + 3 = 11$; $2^2 + 7 = 11$; $11 = 11$ – 2 є коренем;
$2 \cdot 0^2 + 3 = 3$; $0^2 + 7 = 7$; $3 \ne 7$ – 0 не є коренем;
4) $2 \cdot (-3 + 1) = -4$; $2 \cdot (-3) = -6$; $-4 \ne -6$ – $-3$ не є коренем;
$2 \cdot (1 + 1) = 4$; $2 \cdot 1 = 2$; $4 \ne 2$ – 1 не є коренем.
Відповідь: 1) 0 – ні, $-2$ – так;
2) $-1$ – так, 2 – ні;
3) 2 – так, 0 – ні;
4) $-3$ – ні, 1 – ні.
98. Використовуючи знання з попередніх класів, розв'яжіть рівняння:
1) $12 + x = 16$;
2) $x + 798 = -13$;
3) $x - 145 = 12$;
4) $192 - x = 542$;
5) $6x = 18$;
6) $-11x = 12$;
7) $x : (-8) = 13$;
8) $140 : x = -7$;
9) $-\frac{1}{3} : x = \frac{1}{9}$.
Розв'язок:
1) $12 + x = 16$
$x = 16 - 12$
$x = 4$
2) $x + 798 = -13$
$x = -13 - 798$
$x = -811$
3) $x - 145 = 12$
$x = 12 + 145$
$x = 157$
4) $192 - x = 542$
$x = 192 - 542$
$x = -350$
5) $6x = 18$
$x = 18 : 6$
$x = 3$
6) $-11x = 12$
$x = 12 : (-11)$
$x = -1\frac{1}{11}$
7) $x : (-8) = 13$
$x = 13 \cdot (-8)$
$x = -104$
8) $140 : x = -7$
$x = 140 : (-7)$
$x = -20$
9) $-\frac{1}{3} : x = \frac{1}{9}$
$x = -\frac{1}{3} : \frac{1}{9}$
$x = -\frac{1}{3} \cdot 9$
$x = -3$
Відповідь: 1) $4$;
2) $-811$;
3) $157$;
4) $-350$;
5) $3$;
6) $-1\frac{1}{11}$;
7) $-104$;
8) $-20$;
9) $-3$.
99. Які з рівнянь рівносильні рівнянню $7x = 14$:
1) $x + 3 = 5$;
2) $2 - x = 4$;
3) $x + 2 = x + 4$;
4) $x - 5 = -3$;
5) $3x = 16 - 5x$;
6) $2x - 2 = 2x$?
Розв'язок:
Рівняння $7x = 14$ має єдиний корінь: $x = 14 : 7 = 2$. Рівносильні йому ті рівняння, які теж мають єдиний корінь 2.
1) $x + 3 = 5$; $x = 5 - 3$; $x = 2$ – рівносильне;
2) $2 - x = 4$; $x = 2 - 4$; $x = -2$ – не рівносильне;
3) $x + 2 = x + 4$ – коренів не має, бо за будь-якого $x$ ліва частина на 2 менша від правої; не рівносильне;
4) $x - 5 = -3$; $x = -3 + 5$; $x = 2$ – рівносильне;
5) $3x = 16 - 5x$; $3x + 5x = 16$; $8x = 16$; $x = 2$ – рівносильне;
6) $2x - 2 = 2x$ – коренів не має, бо за будь-якого $x$ ліва частина на 2 менша від правої; не рівносильне.
Відповідь: 1), 4), 5).
100. Які з рівнянь рівносильні рівнянню $-2x = 6$:
1) $x - 7 = 4$;
2) $9 : x = -3$;
3) $x - 3 = x + 5$;
4) $6x = 18$;
5) $3x = x - 6$;
6) $4x = 4x + 2$?
Розв'язок:
Рівняння $-2x = 6$ має єдиний корінь: $x = 6 : (-2) = -3$. Рівносильні йому ті рівняння, які теж мають єдиний корінь $-3$.
1) $x - 7 = 4$; $x = 4 + 7$; $x = 11$ – не рівносильне;
2) $9 : x = -3$; $x = 9 : (-3)$; $x = -3$ – рівносильне;
3) $x - 3 = x + 5$ – коренів не має, бо за будь-якого $x$ ліва частина на 8 менша від правої; не рівносильне;
4) $6x = 18$; $x = 18 : 6$; $x = 3$ – не рівносильне;
5) $3x = x - 6$; $3x - x = -6$; $2x = -6$; $x = -3$ – рівносильне;
6) $4x = 4x + 2$ – коренів не має, бо за будь-якого $x$ ліва частина на 2 менша від правої; не рівносильне.
Відповідь: 2), 5).
101. Не розв'язуючи, поясніть, чому рівносильні рівняння:
1) $3(x - 1) = 5$ і $3x - 3 = 5$;
2) $2x + 3x = 7$ і $5x = 7$;
3) $2x + 3 = x - 5$ і $2x - x = -5 - 3$;
4) $6(x - 3) = 30$ і $x - 3 = 5$.
Розв'язок:
1) Друге рівняння одержуємо з першого розкриттям дужок у його лівій частині;
2) друге рівняння одержуємо з першого зведенням подібних доданків у його лівій частині;
3) друге рівняння одержуємо з першого перенесенням доданка $x$ з правої частини в ліву, а доданка 3 – з лівої в праву зі зміною їхніх знаків на протилежні;
4) друге рівняння одержуємо з першого діленням обох його частин на 6.
Під час таких перетворень одержуємо рівняння, рівносильне даному.
102. Поясніть, не розв'язуючи рівнянь, чому вони рівносильні:
1) $4(x + 2) = 7$ і $4x + 8 = 7$;
2) $9x - 2x = 2$ і $7x = 2$;
3) $3x + 5 = 2 - x$ і $3x + x = 2 - 5$;
4) $\frac{2x}{3} = 5$ і $2x = 15$.
Розв'язок:
1) Друге рівняння одержуємо з першого розкриттям дужок у його лівій частині;
2) друге рівняння одержуємо з першого зведенням подібних доданків у його лівій частині;
3) друге рівняння одержуємо з першого перенесенням доданка $-x$ з правої частини в ліву, а доданка 5 – з лівої в праву зі зміною їхніх знаків на протилежні;
4) друге рівняння одержуємо з першого множенням обох його частин на 3.
Під час таких перетворень одержуємо рівняння, рівносильне даному.
103. Поясніть, чому не має розв'язків рівняння:
1) $x + 8 = x$;
2) $y - 7 = y + 2$;
3) $0x = 13$;
4) $5 - m = 4 - m$;
5) $0 : x = 13$;
6) $2(x - 3) = 2x + 1$.
Розв'язок:
1) За будь-якого значення $x$ ліва частина рівняння на 8 більша за праву, тому рівняння коренів не має;
2) за будь-якого значення $y$ ліва частина рівняння на 9 менша від правої, тому рівняння коренів не має;
3) за будь-якого значення $x$ ліва частина рівняння дорівнює 0, а $0 \ne 13$, тому рівняння коренів не має;
4) за будь-якого значення $m$ ліва частина рівняння на 1 більша за праву, тому рівняння коренів не має;
5) $x \ne 0$, бо на нуль ділити не можна; а для будь-якого $x \ne 0$ маємо $0 : x = 0$, і $0 \ne 13$, тому рівняння коренів не має;
6) розкриємо дужки: $2x - 6 = 2x + 1$. За будь-якого значення $x$ ліва частина рівняння на 7 менша від правої, тому рівняння коренів не має.
104. Чи має розв'язки рівняння:
1) $x + 4 = 4 - x$;
2) $x + 2 = 2 + x$;
3) $x + 3 = -3 + x$;
4) $0x = 0$;
5) $0 \cdot (x + 4) = 7$;
6) $3(x + 1) = 3x + 3$;
7) $0 : x = 0$;
8) $5(x - 1) = 5x - 4$?
Розв'язок:
1) $x + 4 = 4 - x$; $x + x = 4 - 4$; $2x = 0$; $x = 0$ – рівняння має корінь 0;
2) обидві частини рівняння рівні за будь-якого значення $x$, тому коренем є будь-яке число;
3) за будь-якого значення $x$ ліва частина рівняння на 6 більша за праву, тому рівняння коренів не має;
4) $0x = 0$ за будь-якого значення $x$, тому коренем є будь-яке число;
5) ліва частина дорівнює 0 за будь-якого значення $x$, а $0 \ne 7$, тому рівняння коренів не має;
6) розкриємо дужки: $3x + 3 = 3x + 3$ – рівність правильна за будь-якого значення $x$, тому коренем є будь-яке число;
7) для будь-якого $x \ne 0$ маємо $0 : x = 0$, тому коренем є будь-яке число, відмінне від нуля;
8) розкриємо дужки: $5x - 5 = 5x - 4$. За будь-якого значення $x$ ліва частина на 1 менша від правої, тому рівняння коренів не має.
Відповідь: 1), 2), 4), 6), 7) так;
3), 5), 8) ні.