Сторінка 137
1. (1 бал.) Чи є коренем рівняння $x^2 = 4x + 5$ число:
1) $-1$;
2) $0$;
3) $5$;
4) $1$?
Розв'язок:
Підставимо кожне число в рівняння.
1) $(-1)^2 = 1$; $4 \cdot (-1) + 5 = 1$; $1 = 1$ – є коренем;
2) $0^2 = 0$; $4 \cdot 0 + 5 = 5$; $0 \ne 5$ – не є коренем;
3) $5^2 = 25$; $4 \cdot 5 + 5 = 25$; $25 = 25$ – є коренем;
4) $1^2 = 1$; $4 \cdot 1 + 5 = 9$; $1 \ne 9$ – не є коренем.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так;
4) ні.
2. (1 бал.) Знайдіть корінь рівняння:
1) $-8x = 4$;
2) $\frac{4}{9}x = 1{,}6$.
Розв'язок:
1) $-8x = 4$
$x = 4 : (-8)$
$x = -0{,}5$
2) $\frac{4}{9}x = 1{,}6$
$x = 1{,}6 : \frac{4}{9}$
$x = \frac{8}{5} \cdot \frac{9}{4}$
$x = \frac{18}{5}$
$x = 3{,}6$
Відповідь: 1) $-0{,}5$;
2) $3{,}6$.
3. (2 бали.) Чи рівносильні рівняння $7x - 2 = 3x + 10$ і $3(x - 2) = 2x - 3$?
Розв'язок:
Розв'яжемо кожне рівняння.
$7x - 2 = 3x + 10$
$7x - 3x = 10 + 2$
$4x = 12$
$x = 3$
$3(x - 2) = 2x - 3$
$3x - 6 = 2x - 3$
$3x - 2x = -3 + 6$
$x = 3$
Рівняння мають один і той самий корінь $3$, тому вони рівносильні.
Відповідь: так, рівносильні.
4. (2 бали.) У двох кошиках разом було 108 яблук, причому у першому кошику було у 2 рази більше яблук, ніж у другому. Скільки було яблук у кожному кошику?
Розв'язок:
Нехай у другому кошику було $x$ яблук, тоді в першому – $2x$ яблук. Маємо рівняння:
$x + 2x = 108$
$3x = 108$
$x = 36$
Отже, у другому кошику було 36 яблук, а в першому – $2 \cdot 36 = 72$.
Відповідь: 72 яблука і 36 яблук.
5. (4 бали.) Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x - 1}{3} = \frac{3x + 2}{4}$;
2) $4(x - 3) - x = 3x + 7$.
Розв'язок:
1) $\frac{x - 1}{3} = \frac{3x + 2}{4}$ $\quad| \cdot 12$
$4(x - 1) = 3(3x + 2)$
$4x - 4 = 9x + 6$
$4x - 9x = 6 + 4$
$-5x = 10$
$x = -2$
2) $4(x - 3) - x = 3x + 7$
$4x - 12 - x = 3x + 7$
$3x - 3x = 7 + 12$
$0x = 19$
Рівняння не має коренів.
Відповідь: 1) $-2$;
2) коренів немає.
6. (2 бали.) На першому складі було 154 кг фарби, а на другому 210 кг. Перший склад щодня відвантажував 17 кг фарби, а другий – 23 кг. Через скільки днів на другому складі залишиться на 32 кг фарби більше, ніж на першому?
Розв'язок:
Нехай це станеться через $x$ днів. Тоді на першому складі залишиться $(154 - 17x)$ кг, а на другому – $(210 - 23x)$ кг фарби. Маємо рівняння:
$210 - 23x - (154 - 17x) = 32$
$210 - 23x - 154 + 17x = 32$
$56 - 6x = 32$
$-6x = -24$
$x = 4$
Відповідь: через 4 дні.