Сторінка 136
ДР–1 [1М]. Лінійні рівняння з однією змінною
Варіант 1
1. (1 бал.) Чи є коренем рівняння $x^2 = 3x + 4$ число:
1) $0$;
2) $-1$;
3) $1$;
4) $4$?
Розв'язок:
Підставимо кожне число в рівняння.
1) $0^2 = 0$; $3 \cdot 0 + 4 = 4$; $0 \ne 4$ – не є коренем;
2) $(-1)^2 = 1$; $3 \cdot (-1) + 4 = 1$; $1 = 1$ – є коренем;
3) $1^2 = 1$; $3 \cdot 1 + 4 = 7$; $1 \ne 7$ – не є коренем;
4) $4^2 = 16$; $3 \cdot 4 + 4 = 16$; $16 = 16$ – є коренем.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) ні;
4) так.
2. (1 бал.) Знайдіть корінь рівняння:
1) $-6x = 3$;
2) $\frac{3}{7}x = 1{,}2$.
Розв'язок:
1) $-6x = 3$
$x = 3 : (-6)$
$x = -0{,}5$
2) $\frac{3}{7}x = 1{,}2$
$x = 1{,}2 : \frac{3}{7}$
$x = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{3}$
$x = \frac{14}{5}$
$x = 2{,}8$
Відповідь: 1) $-0{,}5$;
2) $2{,}8$.
3. (2 бали.) Чи рівносильні рівняння $5x - 2 = 3x + 8$ і $2(x - 3) = x - 1$?
Розв'язок:
Розв'яжемо кожне рівняння.
$5x - 2 = 3x + 8$
$5x - 3x = 8 + 2$
$2x = 10$
$x = 5$
$2(x - 3) = x - 1$
$2x - 6 = x - 1$
$2x - x = -1 + 6$
$x = 5$
Рівняння мають один і той самий корінь $5$, тому вони рівносильні.
Відповідь: так, рівносильні.
4. (2 бали.) У першій шафі у 3 рази більше книжок, ніж у другій. Скільки книжок у кожній шафі, якщо у двох шафах разом 224 книжки?
Розв'язок:
Нехай у другій шафі $x$ книжок, тоді в першій – $3x$ книжок. Маємо рівняння:
$x + 3x = 224$
$4x = 224$
$x = 56$
Отже, у другій шафі 56 книжок, а в першій – $3 \cdot 56 = 168$.
Відповідь: 168 книжок і 56 книжок.
5. (4 бали.) Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{2x - 3}{5} = \frac{x - 3}{4}$;
2) $3(x - 2) - x = 2x + 3$.
Розв'язок:
1) $\frac{2x - 3}{5} = \frac{x - 3}{4}$ $\quad| \cdot 20$
$4(2x - 3) = 5(x - 3)$
$8x - 12 = 5x - 15$
$8x - 5x = -15 + 12$
$3x = -3$
$x = -1$
2) $3(x - 2) - x = 2x + 3$
$3x - 6 - x = 2x + 3$
$2x - 2x = 3 + 6$
$0x = 9$
Рівняння не має коренів.
Відповідь: 1) $-1$;
2) коренів немає.
6. (2 бали.) У першому магазині було 175 кг бананів, а у другому – 104 кг. Перший магазин продавав щодня по 25 кг, а другий – по 18 кг. Через скільки днів у першому магазині бананів залишиться на 50 кг більше, ніж у другому?
Розв'язок:
Нехай це станеться через $x$ днів. Тоді в першому магазині залишиться $(175 - 25x)$ кг, а в другому – $(104 - 18x)$ кг бананів. Маємо рівняння:
$175 - 25x - (104 - 18x) = 50$
$175 - 25x - 104 + 18x = 50$
$71 - 7x = 50$
$-7x = -21$
$x = 3$
Відповідь: через 3 дні.