Завдання № 20

№ 20 ЗПС Геометрія = № 20 ЗПС Математика

ΔABC — рівнобедрений з основою AB. Медіани AA₁ і BB₁ продовжено за точки A₁ і B₁ на відрізки A₁K і B₁L відповідно так, що A₁K = AA₁ і B₁L = BB₁. Доведіть, що ∠ALC = ∠BKC.

Розв'язок:

ΔABB₁ і ΔBAA₁: AB — спільна; AB₁ = BA₁ (половини рівних сторін AC і BC);
∠BAB₁ = ∠ABA₁ (кути при основі) ⇒ ΔABB₁ = ΔBAA₁ (за першою ознакою) ⇒ BB₁ = AA₁, тому BL = 2BB₁ = 2AA₁ = AK.
ΔABL і ΔBAK: AB — спільна; BL = AK;
∠ABB₁ = ∠BAA₁ ⇒ ΔABL = ΔBAK (за першою ознакою) ⇒ AL = BK, ∠BAL = ∠ABK.
∠BAL = ∠ABK і ∠BAC = ∠ABC ⇒ ∠LAC = ∠KBC; AL = BK, AC = BC ⇒ ΔALC = ΔBKC (за першою ознакою) ⇒ ∠ALC = ∠BKC.