Завдання № 515

№ 515 Геометрія = № 40.22 Математика

Умова:

Доведіть, що два рівнобедрених трикутники рівні, якщо відповідно рівні їхні бічні сторони і висоти, проведені до основ.

Розв'язок:

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AB = BC, ΔA₁B₁C₁ — рівнобедрений, A₁B₁ = B₁C₁, BK ⊥ AC, B₁K₁ ⊥ A₁C₁.
ΔABK = ΔA₁B₁K₁ (за гіпотенузою AB = A₁B₁ і катетом BK = B₁K₁).
З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A₁, AK = A₁K₁.
Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A₁K₁ = K₁C₁.
Враховуючи, що AK = A₁K₁, маємо AC = A₁C₁.
Отже, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ за двома сторонами і кутом між ними
(AB = A₁B₁ за умовою, ∠A = ∠A₁, AC = A₁C₁ за доведенням).

Відповідь: